工科專業的大學數學課程教學研究*

劉東旭 司文藝

（1.延邊大學理學院 吉林延吉 133002；2.東北大學流程工業綜合自動化國家重點實驗室 遼寧沈陽 110819；3.延邊教育出版社數字出版中心 吉林延吉 133000）

大學數學一般包括“高等數學”“線性代數”和“概率論與數理統計”三門基礎課，以及一些根據專業需要，專門為某些專業開設的課程，如自動化專業和通信工程專業的“復變函數與積分變換”、土木工程專業的“射影幾何”、物理專業的“數學物理方程”等。

大學數學課程的教師大多畢業于數學專業，并且從教于數學專業或大學數學中心。而數學專業的核心基礎課為“數學分析”和“高等代數”，其內容分別對應了“高等數學”和“線性代數”。前者相較于后者，并不是簡單的內容擴展，而是更加深入地討論數學工具的特性，具有更強的邏輯性和抽象性。反過來講，如果單純地將后者理解成前者的刪減版，那么在教學過程中，教育工作者常常會走向兩個極端：一是只注重講解計算技巧而忽略數理邏輯；二是以深入的理論去解讀計算技巧，造成學生理解上的困難。

事實上，工科專業對數學的要求甚高，如果在本科階段不能讓工科學生掌握數學的核心技巧和思想，那么對他們的后續學習將產生巨大的負面影響。如自動化專業的核心專業課“自動控制原理”“信號與系統”等課程，需要學生對復變函數、積分變換以及微積分有極深的理解，對某些方面的理解要求甚至超過對數學系本科生的要求（如傅里葉變換等工具）。而“現代控制理論”和“線性系統理論”等課程又需要大量與矩陣和泛函分析相關的理論工具，有些變換和技巧數學系本科階段的課程都沒有涵蓋（如多項式矩陣，黎卡提方程，變分法等）。因此，不能將工科的大學數學教學簡單地看做數學系課程的簡化版本，而應該是與其專業課程相結合，有針對性地進行知識點講解。對一些教學大綱不做要求但對專業課用處很大的知識點，應予以擴展到位，打通基礎課和專業課的關鍵聯系點。這對學生的理論學習是非常有益的。

一、工科專業大學數學教學的現狀

工科專業低年級的數學課程主要包括“高等數學”“線性代數”和“概率論與數理統計”?！案叩葦祵W”一般于第一和第二學期開設，“線性代數”一般在第二學期開設?！案怕收撆c數理統計”一般在第三學期，即大學二年級第一學期開設。除此之外，電器類和自動化等專業在一般在第四學期開設“復變函數與積分變換”等課程，建筑類和工業設計等專業一般在第四學期開設“攝影幾何”等課程[1]。

“高等數學”是工科專業大學數學教學的重中之重，將學習兩個學期。其內容一般包含分析學的三大基本理論，即極限理論，微積分理論和級數理論。微積分理論是高等數學和初等數學的分水嶺，其在17世紀中后葉由牛頓和萊布尼斯分別獨立建立。但當時的微積分無法描述“無窮小”量，因此其理論框架不夠嚴謹。后來由法國數學家柯西和德國數學家維爾斯特拉斯建立了極限理論，并系統地說明了“無窮小”變量以及引入了“ε-δ”語言等工具，將微積分理論嚴格化。但在教科書中，我們以形式邏輯為主體，顛倒了上述兩個理論的誕生順序，先講授極限理論，后講授微積分理論，使其形成嚴謹的邏輯自洽，并且易于初學者接受。而級數理論是基于極限理論的另一個分析學分支，從離散角度分析函數，并可用于近似計算。而有些專業開設的“復變函數與積分變換”課程，可以視作微積分理論在復數域的推廣。其理論結果更加豐富多彩，且在后續學習的信號與系統中是極為重要的分析工具。

“線性代數”的主要學習對象是矩陣。本課程一般從解多元線性代數方程組講起，當方程的個數和未知數個數不等式，自然引出了矩陣的概念。并以此介紹了矩陣的性質，各種代數運算，以及各種變換。矩陣作為數學中強有力的工具，廣泛運用于工學各個理論課程以及科研領域中?！熬€性代數”的內容和課時均少于“高等數學”課程，但其講解過程并不容易。其內容可以相當寬泛，而且矩陣變換和運算的背后所蘊含的數學理論和事實非常的豐富和深刻。受課時所限，教師想在課堂上全部講透幾乎不可能。線性代數的講授角度也存在爭議。我國廣泛使用的思路，是從解多遠線性代數方程組的角度進行講授。其優點是形式邏輯強，學生易學易懂。但其缺點在于大部分的計算和矩陣的性質，學生只能通過背結論的方式學習，很難理解其背后的深刻含義。另一種講授角度是從線性變換的角度引入矩陣。這種方法可將對矩陣的性質和運算介紹得非常透徹和深入，并使學生接觸到泛函分析的一些知識。但缺點在于難度較高，初學者不容易理解。第三種角度是從代數學結構體的“?！边@一角度講授線性代數的相關知識。但這種方式僅適用于數學專業，工學專業不開“代數學”這門課程，因此這種講授方法并不合適[2]。

“概率論與數理統計”是以隨機事件為研究對象的一門課程。其理論與方法已廣泛應用于工業、農業、軍事和科學技術中，如預測和濾波應用于空間技術和自動控制，時間序列分析應用于石油勘測和經濟管理，馬爾科夫過程與點過程統計分析應用于地震預測等，同時他又向基礎學科、工科學科滲透，與其他學科相結合發展成為邊緣學科，這是概率論與數理統計發展的一個新趨勢。

二、工科專業大學數學教學中存在的問題

數學是工科專業核心課程的重要理論工具。例如信號與系統、自動控制原理等課程，需要用到很深的復變函數知識。如頻域方法、伯德圖和奈奎斯特曲線等工具背后的數學知識，需要學生有較強的數學功底才能完全理解。而上述工具的數學理論在大學數學課中都有涉及[3]。

但多年來，通過院系反饋和學生反饋，我們發現，專業課教師在教授學生這些專業課時，一旦涉及背后的較深入的數學知識，教學通常會有很大的困難。有些教師甚至反映，學生好像從來沒學過相應的數學知識。學生也普遍反映，感覺到數學功底不夠，學習過程比較吃力。

除此之外，工科專業的學生普遍專注于計算方法，而忽略其背后的理論；重計算結果，而忽略算法的適用范圍和先決條件。這是工科數學教學中廣泛存在的問題。例如，在自動控制原理、信號與系統等課程中，系統經常采用傳遞函數進行描述，而傳遞函數即為微分方程的拉普拉斯變換，學生在學習時只考慮傳遞函數的性能，但很少考慮系統可否進行拉普拉斯變換，能否用傳遞函數表示等問題，即忽略了拉普拉斯變換的適用范圍。

線性代數是大學數學課程中比較抽象的一門課程。其中大量的定理與結論證明略顯煩瑣，且非常不直觀。因此，學生在學習過程中普遍存在生記硬背的現象，考試中經常將算法和公式生搬硬套，最后得出的結果是錯誤的。

此外，工科專業高年級課程中大量的計算問題，無法采用大學數學中學習的方法進行直接計算。事實上，大學數學中的計算方法和技巧適用范圍非常有限。例如，求矩陣特征值的題目一般在考題中超過三階的方陣，必有計算技巧。但在專業課中涉及的很多實際問題，高階矩陣不夠特殊，無法用大學數學中的計算技巧進行求解，從而使學生要重新學習使用軟件進行數值求解。

基于上述問題，我們圍繞數學問題描述的適用性、計算方法的有效性和分析方法的前提條件等因素給出工科大學數學教學的建議。

三、數學問題（模型）描述的適用性

大學數學課程中對問題的描述往往相對比較抽象，初學者在理解上往往存在困難。例如，函數極限中常用的“N-ε”和“ε-δ”語言。從理解難度上講，這是大學數學第一學期中最難懂的一個知識點。但為了極限理論和微積分理論的嚴格性，此處的理論鋪墊不能省略。因此，教師在講述理論的同時，必須佐以適當的例子和圖像，讓學生明確二者的適用范圍，即如何描述對應的極限[4]。

再如，線性代數中矩陣的加法和乘法運算，教師在講授時應給予一定的拓展和適用性說明?！凹臃ā焙汀俺朔ā眱煞N運算的概念，教學大綱上是沒有的，即使在數學系，這兩種運算的概念也是在高年級的課程中才予以詳細講授。但對工科專業的學生，兩種運算概念的簡述，不僅可以拓寬他們的知識面，而且可以促使學生理解為何矩陣的加法和乘法與實數的相應運算差異如此巨大。比如，從概念上來說，乘法并不要求運算的元素滿足交換律。實數的乘法滿足交換律是因為實數集的特殊性（因為實數集構成“域”，即實數域），而矩陣的乘法不滿足交換律并不特殊，而是乘法的一般情況。另外，矩陣乘法也可以給出對應的例子，輔助學生理解為何矩陣的乘法要如此定義。

四、計算方法的有效性

工科專業在后續的理論專業課中，大部分計算均借助計算機完成，而非手算。但在大學數學的課程當中，基本計算均是手算完成。從某種意義上講，二者的銜接存在一定問題。因為能夠通過推導求出的計算結果，一般其對應的問題不能太復雜，只能以簡單的算例和考題為載體為學生進行講解和考評。這會使得學生在大學初期誤認為計算僅此而已，而當專業課中出現較復雜的數學問題時，學生有時會誤以為按照基本的計算方法即可算出結果，只是過程略顯復雜。而事實上，有些問題由于計算復雜度過高等原因，不可能利用簡單的推導進行計算。而有些理論上可行的算法有時在實際中甚至是無效的。當進一步講解有效的計算方法時，會造成學生的困惑，甚至覺得無法理解，也無必要[5]。

例如，在求矩陣A的特征值時，線性代數中一般是利用 det(sI-A)=0，以s為變元來求解特征值。而事實上，超過5次的一元代數方程是不存在一般的求根公式的。也即矩陣的維數超過5，則無法以解析方式表達矩陣的特征值，而要通過數值逼近來求解。維度更高的矩陣一般需要采取一些矩陣分解或分割的處理手段（如QR分解等），才能進行求解。這些問題應根據課時量給予學生一定程度的擴展。雖然在專業課學習中，學生往往采用數學軟件進行求解，無需知道背后的算法，但這些思想方法會使學生對問題的理解以及后續研究生階段學習“矩陣論”或“矩陣分析”打下良好的基礎。

五、分析方法的前提條件

大學數學中涉及很多定理和分析工具，使用時應特別注意其前提條件。但由于工科學生偏重計算技巧的學習，往往對前提條件不夠重視，甚至常常予以忽略。這可能給學生在后續的學習和理論研究過程中造成巨大的障礙和邏輯漏洞。因此，對于數學工具和分析方法的前提條件，應在教學過程中予以重點強調[6]。

又如，矩陣對角化問題。工科學生在專業課和文獻中遇到線性控制系統，有時需要利用矩陣變換將系統變量解耦。但此時系統矩陣能否對角化，需要根據其特征值的代數重數和幾何重數是否相等進行判斷，否則計算結果很可能造成錯誤。

“信號與系統”和“自動控制原理”等工科專業核心課程均是以傳遞函數描述控制系統，其數學工具為Laplace變換。這使很多工科學生誤以為Laplace變換對線性系統的描述是萬能的。因此，在大學數學的“復變函數與積分變換”課程中必須強調，系統可采用Laplace變換描述或求解，前提是系統初值必須屬于系統算子平方的定義域。如此條件得不到不滿足，則即使用Laplace變換可求出系統的解，那么此解也只是弱解（形式解），而不一定是系統的強解（真實解）。

結語

本文根據工科專業對數學的要求及理論特點，結合筆者自身的實際經歷和體會，給出了工科大學數學的幾點教學改進策略。即數學描述注重適用性，計算方法注重有效性，分析方法應注重前提條件等，均是我們作為大學數學課程的教師應重點關注的改進重點。