高壓管匯活動彎頭接觸特性分析*

張 國 友

(中石化四機石油機械有限公司)

0 引 言

壓裂技術在油氣田中使用日益廣泛[1]，在非常規油氣開發中[2]，通常需要面對復雜的井身結構、復雜的巖性和復雜的流體性質，這對壓裂設備提出了更高的要求，需要有良好的耐高壓、抗腐蝕、耐沖蝕特性。但是目前高壓管匯在實際工作中的壽命遠遠短于其他的壓裂設備，嚴重制約了油氣田整體開發效益，所以需要對高壓管匯易損件進行研究[3-7]。

為了延長活動彎頭的使用壽命，許多學者進行了大量研究并取得了一定進展。徐曉東等[8]通過對活動彎頭結構和加工工藝改進來延長活動彎頭使用壽命。敬佳佳等[9]利用CFD軟件分析放噴管角度、位置、放噴量、含砂率、顆粒形狀對壁面沖蝕率的影響，指出含砂率對最大沖蝕率的影響較大，彎管位置對最大沖蝕率的影響較小，放噴管最大沖蝕率隨含砂率、顆粒形狀系數的增大而增大，隨彎管角度和直管段長度增大而減小，隨著放噴量的增加最大沖蝕率先增大后減小。郭登明等[10]針對現有活動彎頭出現明顯壓痕和點蝕的情況，以20CrNiMo活動彎頭為研究對象，將活動彎頭進行滲碳+等溫淬火+回火熱處理，觀察活動彎頭金相組織的變化，發現工件表面為下貝氏體金相組織，該組織具有良好的耐磨性和抗腐蝕性，內部為下貝氏體和馬氏體的混合金相組織，該組織可以有效防止裂紋擴散。

以上研究多以彎頭加工工藝、彎頭最大沖蝕率、彎頭熱處理工藝為主，對大通徑四滾道活動彎頭接觸特性規律研究有待完善。筆者以大通徑四滾道活動彎頭為研究對象，采用增廣拉格朗日乘子法[11]，分析不同滾道軸向間距、徑向間距、滾道半徑對活動彎頭最大接觸應力的影響規律。筆者對滾道接觸應力進行分析總結，以期為活動彎頭的設計、優化提供指導。

1 有限元接觸算法

1.1 罰函數法

罰函數法相當于在接觸面與目標面之間引入彈簧系統。在未接觸時，彈簧系統不發生作用；在接觸發生時，彈簧系統就會阻止接觸物體相互嵌入[12]。為方便系統計算，在不含接觸總位能基礎上引入一個懲罰勢能：

(1)

式中：ΠP(U)為懲罰勢能，J；EP為懲罰因子，N/m；P為嵌入深度，m；U為節點位移，m。

這樣，接觸問題就等價于無約束優化問題：

minΠ*(U)=Π(U)+ΠP(U)

(2)

式中：Π*(U)為接觸總位能，J；Π(U)為不含接觸總位能，J。

罰函數法受接觸剛度的影響較大。接觸剛度越大，穿透量越??；接觸剛度越小，穿透量就越大。理論上而言，當我們將接觸剛度設定到無窮大時，其穿透量即可以為0，但是剛度矩陣不可能無窮大，否則剛度矩陣呈現病態。

1.2 拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法[13]是通過類比拉格朗日法的數學意義，以g(x)為約束條件，f(x)作為目標函數，引入拉格朗日乘子λ來構造公式：

L(x)=f(x)+λg(x)

(3)

在接觸非線性問題上，拉格朗日乘子法以接觸力的拉格朗日乘子λ乘以無侵徹條件，構造接觸約束條件的附加泛函：

ΠC(U，λ)=λg

(4)

式中：ΠC(U，λ)為含接觸約束條件的附加泛函，J；λ為拉格朗日乘子；g為接觸約束條件。

最終將約束條件極值問題轉化為無條件極值問題：

minΠ*(U，λ)=Π(U)+ΠC(U，λ)

(5)

拉格朗日法不再通過定義剛度來計算接觸力，而是將接觸力作為一個自由度，擴大了剛度矩陣。該算法優點是精度高；缺點是失去系數矩陣正定性，不易收斂。

1.3 增廣拉格朗日乘子法

在增廣拉格朗日乘子法[14]下，系統的總位能由不含接觸約束條件的總位能Π(U)和懲罰勢能ΠP(U)以及含接觸約束條件的附加泛函ΠC構成，構造修正的勢能泛函如下：

Π*=Π(U)+ΠP(U)+ΠC(U，λ)

(6)

增廣拉格朗日是先將程序按照罰函數法進行開始計算，通過賦予允許穿透的最大值。如果在計算迭代過程中出現穿透量大于許用穿透量，則對剛度矩陣進行更新，將各個接觸單元的接觸剛度加上接觸力乘以拉格朗日乘子的數值，形成不斷更新剛度矩陣的罰函數法，也就是拉格朗日法。隨著剛度矩陣的不斷更新，最終穿透量將小于允許值，計算則停止。極大地克服了罰函數法的病態矩陣，以及拉格朗日法的剛度矩陣零對角元問題。

2 活動彎頭有限元接觸分析

2.1 物理模型及網格劃分

本文選取某廠型號為?130.2 mm-105 MPa(5in-15 000 psi)的大通徑活動彎頭為研究對象，采用Solidworks對其進行三維建模。該活動彎頭為四滾道活動彎頭，4個滾道安裝鋼球數量分別為32、33、34和35顆，其中第一滾道鋼球數量為32顆。因為活動彎頭活動節整體結構比較復雜，無法對其直接進行接觸分析。查閱文獻可知，活動彎頭第一滾道接觸應力較大，所以模型以第一滾道32顆鋼球為參考，建立活動彎頭活動節1/32分析模型，如圖1所示。

圖1 活動彎頭簡化模型示意圖

在活動彎頭使用期間，活動彎頭滾道表面容易出現壓痕和點蝕。其中第一滾道最嚴重。因此，需要對活動彎頭進行彈塑性接觸分析，其中在活動彎頭活動節塑性階段采用雙線性模型。材料的密度ρ=7 850 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比υ=0.275，屈服強度σs=896 MPa，切線模量Etan=21 GPa。

考慮到彈塑性接觸分析對網格要求較高，本文采用如下網格劃分方式：首先對球體進行切分，切分后可以自動生成規則的六面體網格；為保證滾道網格基本與鋼球網格一致，采用球體加密網格方式，以鋼球球心為坐標原點，對滾道一圈進行網格加密。對于非接觸區域不存在塑性變形，順延滾道六面體劃分方式。網格大小設置為5 mm，劃分結果如圖2所示。

圖2 活動彎頭網格劃分

2.2 邊界條件

根據活動彎頭的實際工況，對活動彎頭有限元網格模型施加載荷和邊界條件?；顒訌濐^主要承受2種載荷：內壓和軸向載荷。內壓作用在外接頭和內接頭內壁面，外接頭在管壁內壓作用下產生徑向位移，鋼球在外接頭和內接頭共同作用下產生擠壓變形；軸向載荷是在管內流體壓力作用下，將管道看作密閉容器，外接頭和內接頭都將受到管內流體對管道的橫向作用力。在施加載荷時，根據施加工況直接在外接頭和內接頭管道內表面施加內壓105 MPa的壓力；軸向載荷可以在內接頭端面施加，外接頭端面采用位移約束，約束外接頭端面軸向位移。內接頭端面載荷采用均布載荷方式施加，均布載荷p可以通過下式求得：

(7)

式中：po為管壁內壓，MPa；Si為內接頭外端面內圓的面積，mm2；So為內接頭外端面外圓的面積，mm2；di為內接頭外端面的內徑，mm；do為內接頭外端面的外徑，mm。

活動彎頭鋼球多，鋼球與滾道接觸較多，不利于分析。上文對模型進行簡化，取1/32進行分析，所以對外接頭和內接頭側面需要進行合理約束，本文采用法向無位移約束。施加載荷和邊界條件后的模型如圖3所示。

圖3 邊界條件和載荷施加圖

2.3 網格無關性驗證

通過對數值模型的試算，鋼球的法向接觸剛度因子與網格數量對彈塑性接觸非線性仿真分析結果有較大影響，為確保計算結果的正確性，進行無關性驗證。首先計算最大接觸應力與網格大小的關系，計算結果如圖4所示。

圖4 最大接觸應力與網格大小關系圖

通過對網格無關性驗證可以得到，隨著網格不斷減小，網格量不斷增大，結果趨于收斂。網格尺寸在0.65～1.05 mm時接觸應力波動較為平穩，分布較為均勻。若將網格繼續加密，接觸應力開始出現不規則，分布不均，開叉等不正?，F象。網格尺寸在0.65～1.05 mm范圍內的最大接觸應力為2 264.5 MPa，最小接觸應力為2 145.2 MPa，誤差為5.26%，精度滿足要求。綜合上述分析，本文選取網格大小為1.05 mm，在此基礎上選擇合適的法向接觸剛度因子，計算最大穿透量、最大接觸應力與接觸面法向接觸剛度因子的影響，如圖5所示。

圖5 最大接觸應力、最大穿透量與接觸剛度因子關系圖

查閱文獻可知[15]法向剛度控制接觸面和目標面之間的穿透量。較高的法向剛度會降低貫入量，但會導致整體剛度矩陣的病態和收斂困難。較低的法向剛度可能導致一定數量的穿透，并產生不準確的解決方案。理想情況下，需要一個足夠大的法向剛度，使滲透足夠小。通過對不同法向剛度分析計算，可以看出隨著接觸面法向剛度的增加，接觸面與目標面的最大穿透量不斷減少趨于收斂；最大接觸應力逐漸增大直至穩定，綜合考慮，選取法向接觸剛度因子為10。

2.4 仿真計算結果

采用Workbench軟件對活動彎頭進行彈塑性接觸非線性分析，得到滾道接觸應力如圖6和圖7所示。由圖6和圖7可知，接觸應力云圖呈現橢圓形，與赫茲理論假設一致，分析結果合理。外接頭和內接頭第一滾道接觸應力都明顯大于其余滾道，呈現逐漸減小趨勢，與現場第一滾道壓痕最為嚴重的現象一致。對比外接頭與內接頭滾道最大接觸應力可以發現，外接頭滾道最大接觸應力比內接頭大。

圖6 外接頭滾道接觸應力云圖

圖7 內接頭滾道接觸應力云圖

圖8為活動彎頭結構示意圖。本文將結構劃分為6個區域。由上文可知，活動彎頭所受載荷主要有2種?；顒訌濐^內壁在承受載荷時，活動彎頭所有區域在徑向上都會外擴，區域1壁厚較大，在區域5共同作用下，不易變形；區域4壁厚較大，在區域6共同作用下，不易變形；相較于區域1、區域4，區域2、區域3徑向變形較為容易。在內壓作用下，區域3推動區域1，區域4推動區域2，區域3可以過濾內壓能量不如區域4，剩余能量都由區域1承擔；區域4過濾較多的內壓能量，剩余的能量到區域2，又因為區域2徑向易變形，而區域1不易變形，所以造成滾道嚴重偏載?；顒訌濐^在承受軸向載荷時，所有區域在徑向上都會有遠離鋼球的趨勢，在第一滾道和第二滾道都有徑向易變形區和不易變形區，所以軸向載荷并不是造成滾道偏載的主要原因。

圖8 活動彎頭結構示意圖

以外接頭滾道最大接觸應力為判定依據，通過對活動彎頭內壓和軸向載荷單獨分析,再與載荷共同作用進行對比，得出不同載荷下滾道所受最大接觸應力，分析結果如表1所示。

表1 不同載荷工況下滾道最大接觸應力

由表1可以看出，在軸向載荷單獨作用下，滾道最大接觸應力相差不大；在管壁內壓單獨作用下，第一滾道相對第四滾道最大接觸應力降低了44.68%；在軸向載荷和管壁內壓共同作用下，最大接觸應力降低了31.70%。由此可見，軸向載荷對管壁內壓導致的滾道接觸應力偏載有一定的緩解作用。

3 活動彎頭接觸應力影響因素分析

由上述仿真可知，活動彎頭存在接觸應力過大和偏載現象，筆者對接觸應力偏載做出了解釋，并在此基礎上分析活動彎頭結構參數對滾道接觸應力的影響。彎頭結構參數主要包括滾道軸向間距、滾道徑向間距和滾道半徑。

3.1 滾道軸向間距

在滾道結構參數不變的情況下，選取不同大小的滾道軸向間距分別為27.4、31.4、35.4、39.4和43.4 mm。研究滾道軸向間距對活動彎頭滾道接觸應力的影響規律，整理數值仿真數據可得活動彎頭滾道最大接觸應力隨滾道軸向間距的變化規律，如圖9所示。

圖9表明，隨著活動彎頭滾道軸向間距的增大，第一滾道、第二滾道最大接觸應力呈現上升趨勢，第三滾道最大接觸應力上下波動，第四滾道最大接觸應力呈現下降趨勢。因為隨著滾道軸向間距的增大，外接頭內壁面承載內壓面積增大，單個鋼球所需承載的載荷增加，但是區域3過濾內壓能力沒有區域4強，所以導致活動彎頭滾道最大接觸應力的增加。

圖9 不同滾道軸向間距下的最大接觸應力

3.2 滾道徑向間距

在滾道結構參數不變的情況下，選取不同大小的滾道徑向間距分別為0、1.1、2.1、3.1、4.1、5.1和6.1 mm。研究滾道徑向間距對活動彎頭滾道接觸應力的影響規律，整理數值仿真數據可得活動彎頭滾道最大接觸應力隨滾道徑向間距的變化規律，如圖10所示。

圖10 不同滾道徑向間距下的最大接觸應

圖10表明，隨著活動彎頭滾道徑向間距的增大，第一滾道、第二滾道最大接觸應力呈現上升趨勢，第三滾道最大接觸應力上下波動，第四滾道最大接觸應力呈現下降趨勢。這是因為隨著彎頭滾道徑向距離變大，區域1和區域4的壁厚變大，區域2和區域3的壁厚沒有改變，導致區域4承載的內壓比例增加，分配給區域2的內壓能減少；區域3承載的內壓比例基本不變，但是區域1壁厚增加，導致結構剛度增加，更加不易發生形變，致使鋼球形變增大，所以接觸應力增大。

3.3 滾道半徑對滾道接觸應力的影響

在鋼球直徑、外接頭與內接頭滾道中心距一定的情況下，在9.60～9.72 mm范圍內均勻選取7組不同大小的滾道半徑，研究滾道半徑對活動彎頭滾道接觸應力的影響規律。整理數值仿真數據可得活動彎頭滾道最大接觸應力隨滾道半徑的變化規律，如圖11所示。

圖11表明，隨著滾道半徑的增大，滾道最大接觸應力先減小后增大，在滾道半徑為9.66 mm時達到最低。這是由于在鋼球半徑不變情況下，改變滾道半徑，相當于改變了鋼球與滾道的接觸角，導致滾道最大接觸應力產生變化。

圖11 不同滾道半徑下的最大接觸應力

4 結 論

(1)活動彎頭各滾道接觸應力云圖均呈現橢圓形，符合赫茲理論假設；外接頭和內接頭第一滾道接觸應力都明顯大于其余滾道，呈現逐漸減小趨勢，與現場第一滾道壓痕最為嚴重的現象一致；因管壁內壓直接作用于外接頭，造成外接頭滾道最大接觸應力比內接頭大。

(2)活動彎頭滾道最大接觸應力隨著滾道軸向間距的增大而增大，隨著滾道徑向間距的增大大致呈現增長趨勢，隨著滾道半徑的增大先減小后增大，在滾道半徑為9.66 mm時達到最低。

(3)因為活動彎頭各個部分彎頭的壁厚不一致，所以其徑向剛度有所差別，最終造成滾道接觸產生偏載?；顒訌濐^產生偏載的動力原因主要來自管壁內壓，活動彎頭在軸向載荷的作用下，有利于緩解內壓產生的偏載。