基于點擴散函數的拼接鏡邊緣傳感器定標實驗研究

王斌，戴懿純，許方宇，金振宇

（1 中國科學院云南天文臺 天文技術實驗室，昆明 650216）

（2 中國科學院大學，北京 100049）

0 引言

中國巨型太陽望遠鏡（Chinese Giant Solar Telescope，CGST）在1 μm 波長觀測太陽光球表面20 km 的精細結構，其主要科學目標集中在太陽大氣各層磁場的超精細結構，以及高時空分辨率的演化過程［1-3］。24塊等腰梯形子鏡拼接共相是目前CGST 的一個主要設計方案，其主鏡是一個外徑8 m、環寬1.2m 的環形孔徑［4-6］。目前的CGST 主動拼接方案中，拼接主鏡的piston 誤差由機電型邊緣傳感器探測改正。在太陽觀測中，日間的溫度起伏較大，主鏡面受到太陽熱輻射影響產生溫度梯度，為改善鏡面視寧度需要進行鏡面溫控，望遠鏡機架受熱輻射的影響也會產生溫度變化。太陽望遠鏡復雜的觀測環境會引起機電型邊緣傳感器的零點漂移，使主鏡面形誤差逐漸增加，無法長時間保持共相。機電型邊緣傳感器主要有電容式、電感式、電渦流式等［7-10］，目前研制的邊緣傳感器探測頻率高，測量精度達到1 nm，能夠減少環境帶來的影響，但仍存在著不同程度的溫度漂移和時間漂移問題［11］。比如國外針對E-ELT 望遠鏡研制的電感式邊緣傳感器，在實驗測試中溫度變化28°C 傳感器讀數變化37 nm，溫度漂移為1.32 nm/°C［10］；Keck 望遠鏡采用的電容式差分傳感器溫度漂移大約2 nm/°C，時間漂移為3.2 nm 每周，這兩個因素會導致傳感器的零點不穩定［8］，為此Keck 望遠鏡每隔3～4 周對邊緣傳感器的零點進行一次定標。為了解決機電傳感器零點漂移的難題，需要尋找一種對機電型邊緣傳感器零點進行短周期定標的方法，定標周期大約在數十秒到數分鐘內。

CGST 要在可見光或近紅外波段實現共相保持，邊緣探測精度的要求為5 nm［5］，因此邊緣傳感器的定標精度需要優于5 nm。光學共相探測技術是對主鏡面形以及拼接誤差進行檢測，測量的是子鏡間絕對Piston誤差，可以用于機電型邊緣傳感器的零點定標。目前正在研究或已經用在拼接望遠鏡上的光學共相探測技術主要包括：寬窄帶點擴散函數（Point Spread Function，PSF）的探測技術［12-13］、曲率波前探測技術［14］、四棱錐探測技術［15］、色散條紋探測技術［16］、相位差探測技術［17］、澤尼克相襯探測技術［18］、干涉探測技術［19］等，這些探測技術主要用于拼接鏡面的共相誤差檢測，為邊緣傳感器的零點位置進行定標。因此，采用光學探測技術對拼接太陽望遠鏡的邊緣傳感器進行短周期定標是一個可選擇的方案。目前為止，在拼接鏡共相檢測中運用比較成熟和廣泛的是基于PSF 的檢測方法。國內也基于該方法進行了共相誤差檢測的研究；2000 年，蘇定強等［3］采用寬窄帶PSF 的檢測方法完成了拼接鏡面的共相檢測，實現了拼接鏡衍射極限成像。2010年，林旭東等［20］采用球徑儀、白光斐索干涉和窄帶PSF 的檢測方法完成了拼接鏡共相檢測，檢測精度優于16 nm。2017 年，李斌等［21］采用寬帶PSF 的檢測方法結合雙波長窄帶PSF 的檢測方法完成了拼接鏡共相檢測，檢測精度優于26 nm。這些方法主要用于共相調整階段，追求大的動態范圍，而CGST 的機電型邊緣傳感器的零點定標對測量精度提出了很高的要求，對動態范圍要求為±100 nm 以內。

針對太陽望遠鏡中邊緣傳感器零點不穩定的問題，采用光學探測技術對邊緣傳感器進行短周期定標。本文利用子鏡邊緣采樣孔徑的PSF 對子鏡邊緣高度進行探測，在環形拼接鏡的簡化平臺兩鏡系統上對該方法的探測誤差水平進行了評估，并開展了基于PSF 邊緣探測的主動控制實驗，通過實驗來驗證光學探測技術用于邊緣傳感器短周期定標的可行性。

1 基于PSF 的互相關檢測方法

1.1 原理介紹

采用類似于Keck 望遠鏡的窄帶PSF 探測技術［13］對邊緣傳感器零點定標。如圖1，在子鏡邊緣處設置半徑為r的圓形采樣子孔徑，若子鏡間存在piston 為ΔP，用波長為λ的理想單色光進行檢測，孔徑面的坐標為(x，y)，焦平面的坐標為(u，v)，其中k=2π/λ。采樣子孔徑的復振幅函數表示為

圖1 子鏡邊緣圓形采樣孔徑示意Fig.1 Schematic of the circular aperture at the edge of the segmented mirror

焦平面上的復振幅表示為

焦平面上的光強分布可以表示為

圖2 為采樣孔徑的PSF 形態隨著piston 的變化。當piston 誤差為0 時，衍射圖樣是一個理想的艾里斑，當piston 從-λ/4 變化到0 時，PSF 的旁瓣逐漸消失變成理想的艾里斑；從0 變化到λ/4 時，PSF 的旁瓣逐漸出現，與起始時刻相同，剛好形成一個變化周期。根據PSF 在一個變化周期內［-λ/4，λ/4］的不同特征來提取piston。

圖2 Piston 誤差從-λ/4 變化到λ/4 的理論衍射圖Fig.2 Theoretical diffraction pattern with piston error changing from -λ/4 to λ/4

通常采用互相關算法來提取piston，通過實驗或者理論模擬獲得piston 誤差在一個變化周期［-λ/4，λ/4］內的PSF 作為模板，用待測的PSF 圖樣與模板圖樣進行如下互相關運算

式中，c為互相關系數，xi為待測PSF 圖樣的第i個像素灰度值，yi為模板圖樣的第i個像素灰度值，，分別為待測PSF 圖樣和模板圖樣平均值。通過計算待測的PSF 與各模板的互相關系數，通常用相關系數最大值對應的模板數據來估計piston，若僅用相關系數的最大值來估計piston，容易受到噪聲的干擾，并且檢測精度僅為模板間隔。由于piston 包含在式（3）的三角函數因子中，采用三角函數對相關系數進行擬合，擬合后極大值對應的數據即為piston，這種方法的極大值是通過整體的相關系數擬合出來的，具有一定的抗噪能力。

理論生成21 個衍射圖樣作為模板，piston 誤差間隔為λ/41。圖3（a）是 piston 為0.11λ時的衍射光斑，通過與模板互相關運算后，該衍射光斑與第15 個模板圖樣的互相關系數最大，對應的piston 為0.1λ。對21 個相關系數進行三角函數擬合，如圖3（b），橫坐標為piston，縱坐標為互相關系數，擬合后piston 為0.106λ。

圖3 Piston 為0.11λ 的衍射光斑與模板圖樣的互相關曲線Fig.3 Cross-correlation curve of diffraction spot with piston of 0.11λ and template pattern

該檢測算法簡單，探測頻率主要取決于互相關運算，抗噪性能好，檢測精度高，能夠實現piston 誤差的實時探測。在拼接鏡的主動控制中，邊緣傳感器的零點漂移是緩慢的，±λ/4 的檢測量程滿足短周期定標的動態范圍。

1.2 影響PSF 互相關檢測的因素

影響邊緣探測的兩個主要因素是：采樣孔徑的配準誤差、子鏡的傾斜誤差。為此分析采樣孔徑的匹配誤差以及子鏡的傾斜誤差滿足什么樣的條件時，不會對piston 的檢測產生影響，在邊緣探測中可以將這兩個因素忽略。

如圖4，設X軸方向上，采樣孔徑中心偏離拼縫中心的距離ΔL為配準誤差，圓形采樣孔徑半徑為L，定義失準比例為ΔL/L。假設檢測光源的中心波長為610 nm，圓形采樣孔徑直徑為60 mm，piston 為67 nm，根據數值模擬，圖5 是不同失準比例下檢測出的piston，橫坐標為失準比例，縱坐標為探測到的piston，隨著失準比例的增大，檢測出的piston 誤差與實際值偏離越大。當失準比例小于0.1 時，檢測出的piston 與對準時的結果是一樣的。采樣孔徑的配準精度主要與光瞳掩膜的加工誤差有關，若加工誤差滿足配準要求時，可以通過機械調整實現光瞳與掩膜的配準；若加工誤差不滿足配準要求時，通過定標的方法，消除配準誤差的影響。

圖4 微透鏡孔徑在X 方向上偏離了子鏡邊緣中心Fig.4 The aperture of the micro-lens deviates from the center of the segment edge in the X direction

圖5 不同對準誤差引起的piston 誤差Fig.5 Different alignment errors lead to piston error

子鏡間存在傾斜誤差時，采樣子孔徑的衍射光斑會發生變化，對piston 誤差的檢測產生影響。設子鏡繞著X軸方向的傾斜角為tilt，繞著Y軸方向的傾斜角為tip，分析當piston 為0 時，檢測出的piston 誤差隨著tip誤差以及tilt 誤差的變化。圖6 是tip、tilt 誤差都為0.1″時，PSF 與11 個模板圖樣的互相關系數曲線，橫坐標為piston，縱坐標為互相關系數。根據圖中的擬合結果，當tip、tilt 變化到0.1″時，檢測出的piston 與實際值一致。在前期的主動閉環實驗研究［22］中，子鏡tip、tilt 的均方根（Root Mean Square，RMS）維持在0.012″，峰谷值（Peak to Valley，PV）為0.056″，均小于0.1″。因此在拼接鏡的主動控制中，可以忽略傾斜對PSF 互相關檢測的影響。

圖6 Tip、tilt 誤差為0.1″時PSF 與模板的互相關曲線Fig.6 Cross-correlation curves of PSF and template when tip，tilt errors are 0.1″

2 兩鏡主動光學實驗系統

主動光學實驗平臺中兩鏡系統由兩塊半圓形球面反射鏡拼接而成，如圖7（a）。在拼接鏡的出瞳面上放置一塊5×5 的微透鏡陣列，兩子鏡的拼縫對準中間一列孔徑的中心，微透鏡陣列上分布著與拼接子鏡一一對應的采樣子孔徑，相當于加入了光瞳掩膜，如圖7（b）。利用子鏡內部的采樣孔徑探測tip、tilt 誤差，子鏡邊緣處的采樣子孔徑探測piston 誤差。圖7（c）為各采樣孔徑的衍射光斑。兩鏡實驗系統的具體參數如表1。

圖7 兩鏡系統的光學探測方案Fig.7 Optical detection scheme of the two-segmented mirror system

表1 兩鏡拼接系統的光學參數Table 1 Optical parameters of the two-segmented mirror system

子鏡的tip，tilt 誤差測量是利用子鏡內部的采樣子孔徑進行，當拼接子鏡間存在傾斜時，入射到S-H 探測器的光波面相對理想波面就會發生傾斜，此時在探測器像面上對應于傾斜子鏡產生的光斑陣列會相對于理想像點發生偏移。通過計算子鏡內部采樣孔徑衍射光斑的質心偏移量，根據光學系統參數將偏移量換算為傾斜誤差，最終測量結果是子鏡內部10 個孔徑測量值的平均。

子鏡的piston 是利用拼縫邊緣處的5 個子孔徑探測的，采樣孔徑是方形的，理論生成piston 從-λ/4 到λ/4 范圍內的方孔衍射圖樣作為模板。在實驗室環境中，由鏡面支撐結構、自身重力以及外界干擾引起的子鏡邊緣高度變化是緩慢的。在前期的實驗研究中［23］，通過對兩鏡系統進行主動控制，子鏡邊緣高度的RMS能夠維持在6.15 nm，因此動態范圍為［-λ/4，λ/4］的光學探測在主動控制中能夠滿足子鏡邊緣高度變化的測量。

兩鏡系統的邊緣傳感器采用德國PI 公司的單極電容式邊緣傳感器及其采集系統（D-E30.100 型單極電容傳感器，E-E12.009 型模塊化數字機箱及中央處理單元），傳感器的動態范圍為±50 μm，分辨率為1 nm，最高探測頻率為500 Hz。

拼接鏡的主動控制實驗系統主要由兩個通道構成，面形檢測通道和光學探測通道，如圖8。面形檢測通道是一臺4D technology 干涉儀，主要有兩個用途，一是對拼接鏡的傾斜和離焦探測，完成拼接鏡共焦；二是共相調整完成后，對拼接鏡的面形進行檢測，驗證拼接鏡是否共相。光學探測通道是一臺S-H 波前探測器，在主動保持中用于拼接誤差的實時探測。

圖8 兩鏡拼接系統的光學器件排布Fig.8 Schematic diagram of the optical device arrangement of the two-segmented mirror system

先利用4D technology 干涉儀檢測子鏡傾斜和離焦，通過促動器調整兩鏡系統實現共焦，再利用寬波段與窄波段算法相結合實現兩鏡系統共相。在主動控制實驗中，采用子鏡邊緣處的五個子孔徑實時測量邊緣高度的變化，并結合傾斜探測反演子鏡的位置狀態，通過促動器實時調節子鏡姿態來實現拼接鏡的主動保持。檢測光的中心波長為610 nm，帶寬為30 nm，基于PSF 互相關檢測的動態范圍為-152.5～152.5 nm。

3 實驗結果與分析

3.1 探測精度的評估

首先對PSF 互相關檢測的誤差水平進行評估，為光學探測對邊緣傳感器進行短周期定標的可能性提供評估依據。在兩鏡系統中，子鏡背部的三個促動器能夠實現每個步長5 nm 的鏡面位移，因此可以通過促動器產生已知的piston，利用PSF 互相關檢測法對已知的piston 進行檢測，邊緣傳感器記錄子鏡邊緣高度變化。拼接鏡完成共相調整后，以此時的狀態作為零點，三個促動器每5 s 以步長5 nm 的位移產生piston，范圍從-25～30 nm。采樣孔徑的PSF 以1 Hz 的頻率進行piston 探測，邊緣傳感器以1 Hz 記錄邊緣高度的變化。同樣地，促動器以步長10 nm 的位移產生piston，范圍從-60～60 nm。促動器位移產生的piston、PSF 互相關檢測法測量的piston 和邊緣傳感器讀數值如圖9，橫坐標為促動器移動的時間，縱坐標為piston。

圖9 促動器位移產生的piston、PSF 互相關檢測法測量的piston 以及邊緣傳感器讀數值Fig.9 Piston generated by actuator displacement，piston measured by PSF cross-correlation detection method，and edge sensor readings

促動器位移產生的piston 與PSF 互相關法測量值以及邊緣傳感器測量值的殘差如圖10。表2 為促動器與PSF 互相關檢測的殘差統計量，表3 為促動器與邊緣傳感器的殘差統計量。通過促動器產生的piston 與PSF 互相關法測量值之間的殘差來估計探測誤差水平，其測量精度優于5 nm。

圖10 促動器位移產生的piston 分別與PSF 互相關法測量值以及邊緣傳感器測量值的殘差Fig.10 The residuals of the measured values of the piston and PSF cross-correlation method and the measured values of the edge sensor generated by the displacement of the actuator

表2 促動器與PSF 互相關法測量值的殘差統計量Table 2 Statistics of the residuals of the measured values of the cross-correlation method between the actuator and the PSF

表3 促動器與邊緣傳感器測量值的殘差統計量Table 3 Statistics of residuals of actuator and edge sensor measurements

3.2 基于PSF 邊緣探測的主動控制實驗

利用4Dtechnology 干涉儀對S-H 探測器的傾斜探測精度進行了定標和評估，其傾斜探測精度為0.014″［24］。實驗中，piston 誤差探測量起伏的方差為0.35 nm，傾斜探測量起伏的方差為0.005″，因此采用5幀數據的測量結果進行平均，邊緣探測和傾斜探測的頻率約為2.5 Hz。

通過PSF 的邊緣探測替代邊緣傳感器，并結合傾斜探測在兩鏡系統上開展了300 min 的主動閉環控制實驗。在閉環狀態下tip、tilt 誤差的PV 值分別為0.048″、0.056″，tip、tilt 誤差的RMS 分別為0.01″、0.009″，閉環控制帶寬為0.24 Hz。閉環控制結束時，用4D 干涉儀對兩鏡系統的面形進行檢測，圖11（a）為拼接鏡的干涉條紋，圖11（b）中面形誤差的RMS 為18.73 nm，PV 為102.32 nm。該結果證明兩鏡系統實現了主動保持，基于PSF 的邊緣探測結合傾斜探測能夠精確反映子鏡位置狀態的變化，通過閉環控制能夠將拼接鏡的面形誤差的RMS 維持在18.73 nm。

圖11 4D 干涉儀面形檢測結果Fig.11 4D interferometer measurement results

子鏡邊緣處的五個子孔徑探測到的piston 分別為P1、P2、P3、P4、P5。圖12（a）為閉環控制中P3的變化，表4 為閉環控制中五個探測量的RMS 和PV 值。五個探測量的RMS 和PV 值都在同一個水平，對五個探測量的RMS 和PV 值進行平均，可以估計出主動保持中邊緣高度殘余量的RMS 為6.33 nm，PV 值為37.23 nm。

表4 五個邊緣探測量的RMS 和PV 值Table 4 RMS and PV values of five edge detections

圖12 在閉環控制中PSF 互相關檢測法探測的變化以及邊緣傳感器測量值的變化Fig.12 In closed-loop control，the change of the detected value of the PSF cross-correlation detection method and the change of the measured value of the edge sensor

在閉環控制中，兩個邊緣傳感器讀數值隨時間變化，如圖12（b），第1 個邊緣傳感器測量值的RMS 為11.19 nm，PV 值為66.21 nm；第2 個邊緣傳感器測量值的RMS 為24.94 nm，PV 值為94.53 nm。在300 min的閉環控制中，第2 個邊緣傳感器的測量值存在漂移，從起始到160 min 內，測量值出現緩慢的起伏，160 min到閉環結束時，測量值沿著負方向漂移，結果表明邊緣傳感器受到環境等因素的影響，測量值存在不穩定的問題，因此對邊緣傳感器進行短周期的定標是必要的。

4 結論

本文使用微透鏡陣列作為拼接鏡的采樣子孔徑，通過采樣孔徑的PSF 探測子鏡的拼接誤差。在定標實驗中，利用基于子鏡邊緣的PSF 探測方法對促動器產生的piston 誤差進行檢測，并對比了邊緣傳感器的測量值，對PSF 互相關方法的檢測誤差水平進行了評估，其檢測精度優于5 nm?；赑SF 互相關檢測的方法開展了拼接鏡的主動保持實驗，在5 h 的閉環控制實驗中，拼接鏡傾斜變化的RMS 維持在0.01 ″，子鏡邊緣高度變化RMS 維持在6.33 nm，拼接鏡面形誤差的RMS 維持在18.73 nm。實驗結果表明，基于子鏡邊緣采樣孔徑的PSF 邊緣探測方法能夠實現拼接鏡的主動保持，其控制帶寬為0.24 Hz。通過交叉定標實驗和主動控制實驗，驗證了基于PSF 互相關檢測方法的精度和頻率滿足對CGST 機電型邊緣傳感器的零點短周期定標的需求。研究結果為環形拼接太陽望遠鏡在近紅外或可見光波段實現主動保持提供了參考。