考慮拉壓不同模量壓力隧洞應力和位移彈性解1)

趙增輝 洪娟霞 劉 浩 李燦林

?(山東科技大學能源與礦業工程學院，山東青島 266590)

?(礦業工程國家級實驗教學示范中心(山東科技大學)，山東青島 266590)

壓力隧洞是埋藏于地層具備一定功能的地下硐室結構，如油氣管道、供水系統、城市地下交通等。硐室開挖后，一般采用襯砌結構進行支護，因此地層壓力和硐室內壓由襯砌和圍巖共同承擔。長期以來，研究人員在壓力隧洞的應力、位移彈塑性解答，以及圍巖抗力系數等方面取得了大量成果[1-4]。然而，巖石和混凝土是典型的非均勻材料，其拉伸和壓縮彈性模量并不相同，一般情況下，拉伸模量小于壓縮模量。因此不考慮模量差異所得到的理論解無法真實反映材料的力學行為。

1864 年，Saint-Venant 首次提出了雙模量材料概念。1941 年，Timoshenko[5]在研究純彎曲梁的彎曲應力時，也提出同樣的概念。20 世紀80 年代，阿姆巴爾楚米揚[6]建立了不同模量理論。自此，國內人員對該理論掀起了研究熱潮：倪國榮等[7]分析了不同模量理論在巖石地下工程中的應用；楊釗等[8-9]分析了圍巖不同模量特性對隧洞支護結構的影響以及對巷道應力和變形的影響；Zhao 等[10]考慮到巖石的不同模量特性，推導出深圓孔圍巖位移計算公式，并與等模量下的計算結果進行比較，發現拉壓不同模量特性對圍巖位移結果有影響。有關的數值計算結果表明[11-13]，若沿用相同模量彈性理論或有限元對有關問題進行計算，其結果將與采用不同模量模型材料所得的剛度和強度有較大的偏差。因此，考慮地層和襯砌在不同受力狀態下的模量差異，建立考慮拉壓模量不同時壓力隧洞的應力及位移解，對硐室和支護結構設計具有重要理論和工程意義。

1 考慮拉壓不同模量壓力隧洞彈性新解

1.1 拉壓不同模量彈性物理方程

假設材料在拉伸時的彈性模量和泊松比分別為E+和μ+，受壓時的彈性模量和泊松比分別為E?和μ?，在單向應力狀態下，材料的應力-應變(σ-ε)關系可簡化為如圖1 所示的雙直線模型。

圖1 不同模量材料的本構關系Fig.1 Constitutive relationship of materials with different modulus

在柱坐標系下，三向應力狀態主應力和主應變的關系可表示為[8]

式中，er，eθ，ez為主應變，σr，σθ，σz為主應力，aik(i,k=1,2,3)為彈性常數，也稱柔度系數。根據主應力符號的不同，柔度系數aik的取值如表1 所示。

表1 考慮拉壓不同模量時物理方程系數取值Table 1 Values of physical equation coefficients considering different modulus of tension and compression

1.2 壓力隧洞分析模型

1.3 考慮拉壓模量不同時應力和位移的彈性統一解

該問題為軸對稱問題，故襯砌和地層中切向應力τrθ= 0，切向位移uθ= 0，所有應力和位移分量僅是r的函數，忽略體力影響，平衡微分方程為

圖2 壓力隧洞簡化模型Fig.2 Simplified model of pressure tunnel

1.4 考慮拉壓模量不等時襯砌和地層的彈性解

以角標L 和R 區分式(9) 和式(10) 中襯砌和地層的解答，利用邊界條件(σrL)r=a=-q，可得

2 結果分析與討論

2.1 考慮模量差異彈性解的退化

若不考慮襯砌和地層拉壓彈性模量差異，即認為

式(23) 和式(24) 即為彈性力學關于壓力隧洞的經典解答。

2.2 拉壓彈性模量不同時壓力隧洞應力及位移的分布規律

取表2 所列參數分析，工況一為不考慮模量差異，工況二和三考慮模量差異，設隧洞半徑為a=3 m，襯砌外徑b= 3.4 m。設襯砌和圍巖的壓拉彈性模量比分別為λ1和λ2，壓拉泊松比分別為η1和η2。

表2 分析參數Table 2 Analysis parameters

圖3(a) 所示為應力經典解答與新解對比，下標o 代表經典解，n 代表拉壓模量不同時新解?？梢?，從內部襯砌到外部地層，徑向應力新解的應力值始終大于經典解，而切向應力的新解要小于經典解。相比較而言，模量差異對襯砌切向應力影響更顯著。圖3(b) 所示為壓力隧洞位移經典解與新解的對比，拉壓模量差異對壓力隧洞位移的影響較大。自硐室內壁向無窮遠處位移值逐漸減小，隧洞位移經典解小于新解的值。

圖3 壓力隧洞經典解與新解對比Fig.3 Comparison between classical solution and new solution of pressure tunnel

為進一步分析壓拉模量差異對隧洞力學行為的影響規律，圖4 繪制了λ2= 1，λ1取不同值時壓力隧洞的應力及位移對比圖。當內部襯砌壓拉彈性模量比不同時，僅對襯砌中的切向應力產生明顯的影響，λ1越大，切向應力值越小，λ1對徑向應力及外部圍巖的切向應力影響不大。λ1對襯砌和外部圍巖位移具有顯著影響，λ1越大時，壓力隧洞位移值也越大。

圖4 襯砌模量差異對壓力隧洞應力和位移分布影響Fig.4 Influence of lining modulus difference on stress and displacement distribution of pressure tunnel

圖5 為λ1=1，而λ2取不同值時壓力隧洞的應力及位移對比圖。圍巖壓拉彈性模量差異對壓力隧洞切向應力和位移都會產生較大的影響。從圖5(a)來看，壓拉彈性模量比λ2越大，切向應力值越小，λ2對徑向應力值產生的影響較小。由圖5(b)，壓拉彈性模量比λ2越大，襯砌位移越小。λ2對地層位移影響較復雜，隨壓拉彈性模量比增大，圍巖位移越平緩，衰減越慢。

圖5 圍巖模量差異對壓力隧洞應力和位移分布影響Fig.5 Influence of surrounding rock modulus difference on stress and displacement distribution of pressure tunnel

此外，圍巖和襯砌壓拉泊松比差異對壓力隧洞應力及位移影響都很小，可以忽略不計，限于篇幅，不再贅述。

2.3 拉壓模量差異對圍巖彈性抗力系數的影響

圍巖抗力系數是表征圍巖抵抗襯砌向圍巖方向變形能力的指標，襯砌和圍巖取相同的壓拉模量比，圖6 給出了利用式(21)得到的壓拉模量不同時的圍巖彈性抗力變化曲線。從圖中可以看出，隨著壓拉模量比逐漸增大，圍巖彈性抗力變化呈拋物線形，變化幅度較大，壓拉彈性模量比在1.6 附近達到最小值。由此可知，壓拉模量不同對于圍巖彈性抗力系數也會產生較大影響。

圖6 壓拉模量比不同時的圍巖彈性抗力系數Fig.6 Elastic resistance coefficient of surrounding rock with different compression-tensile modulus ratio

3 結論

考慮圍巖和襯砌拉壓彈性常數差異，對彈性力學中關于壓力隧洞的應力和位移解答進行了重新推演，并分析了拉壓彈性常數比對解答的影響，主要結論如下。

(1)從內部襯砌到外部地層，徑向應力新解始終大于經典解，而切向應力的新解要小于經典解。相比較而言，模量差異對襯砌切向應力及壓力隧洞位移的影響比較顯著。隨著距內壁距離增大，位移值逐漸減小，隧洞位移經典解小于新解的值。

(2)襯砌壓拉彈性模量比僅對襯砌中的切向應力產生明顯的影響，對徑向應力及外部圍巖的切向應力影響不大，圍巖壓拉彈性模量差異對壓力隧洞切向應力和位移都會產生較大的影響。壓拉泊松比差異對壓力隧洞應力及位移影響都很小。

(3)隨著壓拉模量比逐漸增大，圍巖彈性抗力變化呈拋物線形，變化幅度較大，壓拉彈性模量比在1.6 附近達到最小值。