組合梁中性軸位置確定方法及應力分析1)

趙俊青 甄玉寶 周 鵬 王 軍 胡恒山

(哈爾濱工業大學航天科學與力學系，哈爾濱 150001)

在工程實踐和應用中常見到組合梁，如鋼木組合梁、鋼混凝土組合梁，工程中常見的組合梁由2～3種不同材料組成。組合梁的分析對深入理解彎曲及彎曲應力的概念起到加深和鞏固的作用。組合梁分析通常是對2 種不同材料組成的梁進行分析。全國周培源大學生力學競賽個人賽題組合梁的分析：第8屆第3 題頂部增強的懸臂梁是分析2 種材料組成的組合梁的中性軸和切應力[1]；第12 屆第2 題分析2種材料組成的三層復合梁的中性層、曲率及彎曲正應力問題。授課時結合賽題進行分析，使學生對組合梁截面的幾何性質及彎曲的概念有了新的認識，夯實了學生的基礎知識，提高了學生思辯和深入準確理解概念的能力，激發了學生對學習過程中遇到問題思考和討論的積極性，培養學生邏輯思維和解決問題的能力。

1 中性軸位置確定方法

1.1 相當截面法

相當截面法是將組合梁截面轉換為僅由一種材料構成的截面[2-4]。即保持組合材料的截面高度不變，根據彈性模量確定被轉換材料的相當寬度。

例：圖1 矩形截面簡支梁承受集度為q的均布力，梁由1 和2 兩種材料膠結在一起，已知E1=2E，E2=E，b，h1=h/2，h2=h，求中性軸z軸位置；分析梁的正應力與切應力。

圖1 兩種材料組合梁應變與應力

采用相當截面法，將材料2 轉換成材料1，則材料2 轉換成材料1 后其相當寬度為

1.2 加權平均法

加權平均法是將不同材料的彈性模量作為各自的權重，確定組合梁中性軸位置的方法。將材料的靜矩乘其權重彈性模量作為加權后的靜矩，將材料的面積乘其權重彈性模量作為加權后的面積。以圖1(b) 的z軸為參考軸，由組合截面靜矩的概念，采用加權平均法，則圖1 組合梁中性軸位置為

式中，SZi為材料i對z軸的靜矩。

組合梁中性軸的位置也可用軸力分析法確定：即梁彎曲時，根據橫截面上軸力的合力為零的概念[2-4]求得。由FN=0，可得a=5h/8，a與yc之和等于截面的高度1.5h。

相當截面法和加權平均法確定中性軸位置：是以組合梁的上底邊或下底邊為參考軸，依據相當和加權的概念確定中性軸的位置，與軸力分析法相比算式簡潔、計算簡便，其中加權平均法最為簡單。相當截面法可演化為加權平均法，兩種方法均可以求多種不同材料組合梁的中性軸位置。加權平均法求n種不同材料組合梁的中性軸位置計算公式為

2 應力分析

2.1 正應力分析

彎曲梁的線應變ε與y和曲率半徑ρ有關，組合梁截面的線應變是協調的，見圖1(c)；梁的正應力與彈性模量E和線應變ε有關，組合梁橫截面上的正應力因材料性質差異在結合處將發生突變[2,5]，見圖1(d)。依平面假設，梁彎曲時橫截面似剛性平面繞中性軸轉動了一個角度，轉動后依然保持為平面。線應變只有是y的線性函數，平面假設才能成立。梁彎曲時材料遵從胡克定律，因此在異質材料結合面上，正應力發生突變。

在組合梁的分析與思考討論中，采用相當截面法分析組合梁正應力時，同學會出現圖2(b)的問題。其原因是將不同的材料轉換成同一材料后，同學將組合梁習慣性地看作是同一材料的梁得出的。采用加權平均法分析時，可避免此種情況的發生。在組合梁的研討過程中，教師應啟發引導學生，學生經過思考推理得出正確結論，這一過程往往促使學生進一步思考問題，從而加深對不同材料組合梁概念的正確理解。

圖2 相當截面正應力

組合梁1 和2 兩種材料的正應力分別為

式中，IZi為材料i對中性軸zc軸的慣性矩。

根據式(6) 和式(7) 可計算出圖1 組合截面上各組成部分任一點的線應變與正應力值。梁的最大曲率發生在簡支梁的跨中，梁跨中彎矩值為ql2/8。

2.2 切應力分析

根據力的平衡分析，材料1、材料2 在dx微段梁上(圖1(a))正應力的差值將由界面上的切應力平衡。兩種材料的彎曲切應力分別為

S?Zi為材料i所求應力的點橫線以外的所有面積對中性軸zc軸的靜矩。ki為材料i的彈性模量與材料1 的彈性模量之比。

在梁的左半段截取dx微段(圖1(a)) 研究異質材料界面處的切應力，根據切應力互等定理，無論由何種材料求界面上的切應力，得到的切應力值必然相等。依據式(8)和式(9)由兩種材料分別求界面上的切應力，若

則在界面上τ1與τ2相等。

由圖1(b)與圖3(b)材料1 對中性軸zc軸靜矩，得

圖3 兩種材料組合梁截面切應力

因此無論取何種材料求界面上的切應力都是相等的。

現在分析異質界面上切應力的方向，圖3(b) 所示的材料1 塊體位于中性軸zc軸上方，材料1 是受壓的，由于FN2>FN1，因此界面上切應力的合力dT指向dx微段右側橫截面；圖3(c) 所示的材料2塊體，中性軸z軸上方部分受壓，下方部分受拉，但因z軸下方材料高度大于z軸上方材料高度，材料2 總體是受拉的，由于FN2>FN1，因此界面上切應力的合力dT指向dx微段左側橫截面。根據切應力互等定理，由圖3(b)與圖3(c)都可得到兩塊體右側橫截面上的切應力與y軸同向且平行，且與梁的切力方向一致。組合梁截面上的最大切應力可據式(8)計算獲得。梁截面上的切應力分布見圖1(e)。

3 組合梁附加分析

例：若圖1 梁由3 種不同材料組合在一起，已知E2=k2E1= 1.5E1，E3=k3E1= 2E1，b，h1=h2=h，h3= 2h，求中性軸zc軸位置，分析梁的正應力與切應力。

相當截面法：將材料2 和3 均轉換成材料1 后其相當寬度為

組合梁的線應變、正應力及切應力分析結果見圖4(b)～圖4(d)。三種材料的彎曲正應力分別為

圖4 三種材料組合梁截面應變與應力

3 種材料組合梁的分析可比照本例進行。

4 結論

采用相當截面法與加權平均法對2 種材料組合梁中性軸的位置、正應力與切應力進行了分析，并對3 種材料組合梁進行了附加分析。其中加權平均法使組合梁的分析更加簡化。本文的方法可用于工程中常見組合梁的分析。在組合梁的分析討論中，可引導學生一步一步地展開分析，并且在這一過程中加深對彎曲與截面幾何性質之間關系的深入理解，準確理解相關概念，為今后的工程應用打好基礎。