坐標變換法描述主應力空間中π 平面上的應力偏量1)

王秀鋒 趙穎濤

?(湘潭大學材料科學與工程學院，湖南湘潭 411105)

?(北京理工大學宇航學院，北京 100081)

主應力空間中π平面上應力偏量的描述是屈服準則和塑性本構關系的基礎，是彈塑性力學課程的重要內容。常見教材中π平面上應力偏量的描述都是基于空間中向量的幾何關系，即先在三維坐標上取單位長度，將其投影到π平面上。根據它們在π平面上的坐標表達式，來描述主應力空間中任意一點應力的偏量部分[1-3]。該推導過程繁鎖，特別是在求解其逆表達形式時，需設一組變量作為三維應力分量，通過建立方程組來求得。事實上，主應力空間中的任何一點應力狀態矢都可分解為π平面內兩個偏量和沿著其法向方向的應力，它們對應的三個方向剛好構成了一個正交坐標系。根據彈性力學里的不同笛卡兒坐標系中矢量的分量轉換關系，即轉軸公式[2]，就能輕松導出上述兩個坐標系(即應力空間中的主坐標和π平面及其法向坐標系) 之間的關系，從而得到任意應力在π平面上的應力偏量描述。

1 主應力空間及π 平面

任意一點應力狀態，可以通過參考坐標系下應力張量來描述，也可以用三個主應力和主方向來描述。由三個主應力分量σ1，σ2，σ3為坐標軸組成的空間直角坐標系稱為主應力空間。設主應力空間沿主方向的3 個基矢記為(e1,e2,e3)，其中任意一點應力(對應圖1 中的OP) 的應力狀態矢可表示為[1-3]

圖1 主應力空間中一點應力矢及其在π 平面上的投影

設ON為主應力空間的等傾線(又稱Λ線)，過原點且法向為ON的平面是主應力空間的等傾面，稱之為π平面。其方程為

其中σm= (σ1+σ2+σ3)/3，為平均正應力，si=σi-σm(i=1,2,3)，si為應力偏量的三個主值。顯然

也即OQ必然在π平面內。

由于靜水應力對材料的塑性變形沒有影響，因此研究材料的塑性變形時，通常只需要分析應力偏量部分，即度量任一點應力在二維π平面上所對應的偏量部分的大小和方向，建立三維主應力空間和二維π平面之間的數學關系。

常見教材中π平面上應力偏量的描述都是基于空間中向量的幾何關系，過程繁瑣容易出錯。本文將利用坐標變換的方法，即根據任意矢量的分量在不同坐標系下的轉換關系，輕松得到主應力空間中的任意應力分量與π平面上應力偏量的對應關系。

2 應力分量從主坐標系變換到π 平面坐標系，即(e1,e2,e3) →(,,)

圖2 兩個坐標系間的幾何關系

由坐標系間的夾角余弦值[4]，新舊坐標系下的轉換系數矩陣βij可寫為

代入式(4)，可得應力狀態矢在π平面坐標系下的分量(σ′1,σ′2,σ′3)

3 應力分量從(主坐標系)到π平面坐標系的逆變換，即,,→(e1,e2,e3)

對應的偏量部分可以表示為

上述推導得到了與現有教材完全一致的應力分量關系，但數學思路更為清晰，可以作為該知識點的一個教學補充。

4 結論

本文利用π平面及其法向構造了新的π平面坐標系，并基于坐標變換方法，通過應力空間中主坐標系和π平面坐標系之間的坐標變換關系，得到任意應力在π平面上的應力偏量描述。與傳統的幾何投影法相比，本方法更為方便簡潔，與傳統方法又有異曲同工之處，在彈塑性力學的教學中可以對比使用。