解答圓錐曲線問題的兩個常用技巧

邵凌云

圓錐曲線是高考數學中的重要考點.圓錐曲線問題的命題方式有很多種，如求圓錐曲線的方程、求點到圓錐曲線的最小距離、求參數的取值范圍、判斷直線與圓錐曲線的位置關系等.而解答圓錐曲線問題常用到兩個技巧：運用平面幾何知識以及方程思想.下面結合實例來進行探討.

一、運用平面幾何知識

對于一些與距離、面積、三角形、平行四邊形、圓有關的圓錐曲線問題，我們常常需借助平面幾何知識來解題.在解題時，可先根據題意繪制出相應的幾何圖形，以便明確點、直線、曲線的位置關系，然后將問題轉化為平面幾何問題，通過研究三角形、平行四邊形、圓等平面圖形的性質以及邊角關系，從而建立關系式，求得問題的答案.

例1.拋物線 y2=4x 的焦點為 F，準線為l，經過 F 且斜率為 的直線與拋物線在 x 軸上方的部分相交于點 A，AK⊥ l，垂足為 K，則△AFK 的面積是（? ）.

A.4 ?B.3? C.4 D.8

解：由直線的斜率為 可知直線的傾斜角為

，從而可得∠KAF = ，

所以根據三角形的面積公式可得 S△AKF=AK ?AF sin ，

由拋物線性質可得AK =AF ，

由圖可得xA=OF +FM =OF +AF ，由焦半徑公式可得：AF 所以xA=OF +xA+1，解

得xA=3，從而可得AF =xA+1=4，

所以 S△AKF=AF 2 sin=4 .

因此答案為C.

要求得△AFK 的面積，我們需借助三角形的面積公式求得△AFK 的面積的表達式，求得三角形的一個夾角后便可將問題轉化為求 AF 的長度問題，借助拋物線、直角三角形的性質以及點、線段的位置關系求得 AF 的長度，從而求得問題的答案.

二、運用方程思想

方程思想是解答圓錐曲線問題的重要方法，尤其是在解答定值問題、直線與曲線位置關系問題、參數問題、交點問題時，運用方程思想可使問題快速獲解.在運用方程思想解題時，需先根據題意將直線與曲線的方程聯立，通過消元構造一元二次方程，然后運用韋達定理、方程的判別式，或通過解方程求得問題的答案.

例2.若 A，B 為橢圓C：+y2=1的左右兩個頂

點，過點（1，0）的直線 l 交橢圓于 M，N 兩點（M，N與A， B不重合） ，證明直線 AM 與直線 BN 交點的橫坐標為 定值.

解：

首先設出直線l 的方程以及 M、 N 的坐標，再將直線與曲線的方程聯立得到一元二次方程，根據韋達定理求得 y1+y2、y1y2的表達式，進而得到直線 AM 與直線 BN 交點的橫坐標，最后通過化簡證明其橫坐標為定值4.

相比較而言，方程思想在解答圓錐曲線問題中的應用較為廣泛，但是運用平面幾何知識來解答圓錐曲線問題，可減少運算量，簡化解題過程.解答圓錐曲線問題的手段還有很多種，如設而不求、采用點差法等.圓錐曲線問題的綜合性和抽象性較強，同學們在解題時需學會變通，靈活選擇合適的手段進行求解.

（作者單位：江蘇省阜寧中學）