證明不等式成立的三種途徑

張蓓媛

證明不等式問題是一類較復雜的題目，證明不等式成立的方法有很多種，如導數法、換元法、取對數法、綜合法、分析法，數學歸納法等.每種方法的特點和適用范圍都不相同.本文主要談一談證明不等式問題的途徑.

一、利用導數法

運用導數法證明不等式，需先根據不等式的結構特征構造合適的函數，再對函數求導，分析導函數與0之間的關系.若 f'x>0，則函數單調遞增;若 f'x<0， 則函數單調遞減.由此判斷出函數的大致圖象，確定函數的最值，建立使不等式恒成立的關系式，即可證明不等式成立.一般地，若 f x<0，只需證明 f xmax<0;若 f x>0，只需證明 f xmin>0;若 f x

例1.已知 x>1，試證明：lnx>

證明：由lnx> x +1可得 lnx - x +1>0，

設 f x= lnx-，可得 f'x= ，

當 x >1時，有 f'x>0，

因此當x >1時，f x單調遞增，

當 x =1時，f 1= ln 1- =0，

則 f x>f 1=0，所以當 x >1時，lnx>.

要證明 lnx- >0，只需證明 f x=lnx-2x -1的最小值大于零即可，這樣便將證明不等式問題轉化為求函數最值問題，通過研究導函數的性質，明確函數的單調性，從而求得函數的最值，證明結論.

二、換元

換元法是指將復雜的代數式用新元替換，以化簡不等式，進而證明不等式.運用換元法證明不等式，需明確換元的式子，它可以是某個式子，也可以是某個式子的一部分.在換元后，問題就轉化為關于新元的不等式，通過討論新不等式證明原不等式成立.在換元的過程中，要注意換元前后自變量的取值范圍.

例2.已知 x >0，證明：>lnè（?）1+ ?（?）.

證明：由 >lnè（?）1+ ?（?）可得 >

令= t，可得 - >ln1+t，

再令= u，則 u - >2ln u，

設 f u= u - -2ln u，u >1，

則f'u= >0，

所以當 x >0時，不等式 >lnè（?）1+ ?（?）成立.

解答本題，需經過兩次換元，才能達到化簡不等式的目的，然后根據化簡后的不等式構造函數模型，通過研究導函數求得函數的最值，從而證明不等式.

三、取對數

取對數法是比較兩個函數式大小、證明不等式的重要方法.對于含有指數冪的不等式證明問題，常需用取對數法來求證.首先將不等式中的指數冪分別置于不等式的兩側，然后在不等式的兩邊取對數，這樣便將不等式證明問題轉化為對數函數問題，通過分析對數函數的性質或運用導數法來證明不等式成立.

例3.已知 a >4，證明：2a >a2.

證明：在2a>a2的兩邊取對數可得 ln2a>lna2，

即 ln 2a -lna2>0，

設 f a=ln 2a -lna2，

對其求導可得f'a= ln2- ，

當 a =4時，f 4= ln 24- ln42=4 ln 2-4 ln 2=0，當 a >4時，f'a= ln 2- > - = - =0，因為 f a>f 4=0，所以 a ln 2-2lna >0，

也就是 ln 2a>lna2，即2a>a2，

綜上所述，當 a >4時，不等式2a>a2成立.

不等式的兩邊含有指數冪，需在不等式兩邊取對數，這樣便將不等式化簡，然后根據化簡后的不等式構造出函數模型，利用導數法證明結論.

無論是換元還是取對數，目的都是為了簡化不等式，以便將不等式問題轉化為函數最值問題來求解，且在運用其他方法解題的過程中可同時運用導數法.可見，函數思想、導數法在證明不等式問題中應用廣泛.因此，同學們在證明不等式時，要學會將不等式與函數、導數關聯起來，靈活運用函數思想、導數法來解題.

（作者單位：江蘇省南通市海門四甲中學）