培養高中生數學建模能力的措施

錢俞君

新課程標準中明確提出了培養學生數學核心素養的要求.高中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數學分析.其中數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的素養.數學建模的過程主要為：在實際情境中發現問題、提出問題，構建模型，求出結論，驗證和完善模型，分析和解決問題.數學建模是解決實際應用問題的重要手段.在教學中，教師將生活實際問題引入課堂教學中，引導學生進行探究、分析，構建出合適的數學模型，從而解決問題.下面重點談一談培養高中生數學建模能力的幾個措施.

一、創設問題情境，培養學生的建模意識

很多學生對數學建模不夠了解，接觸的機會少，缺少建模意識.對此，教師可在教學中創設問題情境，引入一些生活實際問題，將其與所講解的知識關聯起來，讓學生對其進行探究，激發其學習興趣，培養建模意識.這樣學生也能將數學知識與生活實際關聯起來，明白數學知識的實用價值.

以“函數模型”教學為例，為了吸引學生的注意力，筆者創設了這樣的問題情境：（1）某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料，根據以前的統計數據，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶;若零售價每降低（升高）0.5元，則可多（少）銷售40瓶，在每月的進貨當月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應定為_____元/瓶.（2）物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規律來描述：設物體的初始溫度是 T0，經過一定時間 t 后的溫度為 T ，則 T-Ta=（T0-Ta）·（12）th ，其中Ta 稱為環境溫度，h 稱為半衰期.現有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在 24℃的房間中，如果咖啡降到40℃需要 20 分鐘，那么此杯咖啡從 40℃降溫到 32℃時，還需要____分鐘.這兩個問題與學生的生活實際比較貼近，有助于消除學生對函數模型的陌生感，能激發他們的探究欲望.很多學生便會嘗試著將其與函數知識關聯起來，建立數學模型：（1）設設銷售價每瓶定為 x 元，利潤為 y 元，建立函數關系式 y=（x-3）·（ ） 400 + 4 - x0.5× 40 （x ≥ 3） ，通計算便可得出當 x=6 時，y 取得最大值（. 2）根據已知的關系式 T-Ta=（T0-Ta ）·，找出對應的 Ta、T0、T、t 的值，將其代入求得t=10 .

這樣學生在探究問題的過程中，逐步樹立了建模的意識，明確了函數知識與生活實際問題之間的聯系，并在思考問題的過程中提出問題、分析問題，嘗試建立和求解模型，分析和解決問題.

二、組織學生開展小組活動，探究建模的方法

在建模時學生常常會遇到困難，這時教師可組織他們開展小組合作學習，以解決問題.在小組合作學習過程中，教師要給學生提供自主探究的機會，讓他們對建模的步驟和方法進行探究.這樣在小組成員的共同努力下，探究出解決問題的方案，學生才能真正體會到建模的樂趣，并學會運用數學建模思想去處理問題.

以“數列模型”的教學為例，當學生學完數列知識后，筆者給學生展示了這樣一個生活實際問題：某銀行設立了教育助學貸款，規定一年期以上貸款月均等 額還本付息，如果貸款10000元，兩年還清，月利率為 0.4575%，那么每月應還多少錢呢？然后要求學生通 過小組合作的方式對該問題進行探討.學生紛紛在小 組內進行了交流、討論.有的學生認為：“兩年還清的意 思是，24個月內還清.”有的學生表示：“每個月的付 款額呈現出一定的規律.”受到該學生的啟發，隨后一 名學生表示：“貸款過程中的利息不變，可以設其為 ?x .”緊接著一名學生表示：“如果設貸款過程中利息為 ?x，那么每個月的付款額為 x，（1+0.004575）x，（1+0.004575）2 x，（1+0.004575）3 x，…，（1+0.004575）23 x .”另一名學生表示：“而各月所付款等于貸款本金與貸 款付清時的利息之和，可建立關系式： x +（1+0.004575）x +（1+0.004575）2 x +…+（1+0.004575）23 x =10000×（1+0.004575）24.”這樣學生通過分析題意，了解 了問題的實際背景，提煉出有用的信息，然后建立了 數列模型.通過該觀察、討論，小組成員很快發現和式 中的各項成等比數列，其首項為1，公比為1.004575.于 是運用等比數列前 n 項和公式來計算，解得 x ≈440.91.最后，有的學生提出要對建立的模型進行檢驗，經檢驗發現所得的結果與生活實際相符，最終運用數列模型解決了該實際問題.

這樣，學生在小組合作探究中熟悉了構建模型的步驟：分析題目——提出假設——構建模型——解答模型——檢驗模型，也掌握了建模的方法.在建模的過程中，學生還認識到合作的力量.

三、加強課堂訓練，強化學生的建模能力

當學生掌握了建模的方法之后，教師要注意對他們加強訓練.訓練的題目應具有層次性和差異性，讓學困生、學優生都能得到鍛煉，保證每一位學生都能在習題作答的過程中學會運用數學模型解決實際問題，最終在鍛煉中提升建模能力，并促進數學核心素養的發展.

例如，當學生掌握了數學建模方法后，筆者給學生布置了以下習題：

（1）某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金的投入.若該公司2016年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是______年.

（2）某城市現有人口為100萬，如果20年后該城市人口總量不超過120萬，年自然增長率應控制在多少以內？

（3）某地區2011年至2017年農村居民家庭人均純收入 y （單位：千元）的數據如表：

分析2011年至2017年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2019年農村居民家庭人均純收入.

（4）某人有一套房子，室內面積共計180 m2，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元;小房間每間面積為15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿費50元.裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，每天才能獲得最大的房租收益？

第一、二個題目的難度較小，可要求學習能力較差的學生完成;第三、四個題目的難度較大，可要求學習能較強的學生完成，這樣能讓每個學生都能得到鍛煉和發展.學生將以上四個生活實際問題轉化為數學問題，并建立數學模型加以解決.他們在熟悉建模的方法的同時，提升了解決實際應用問題的能力.這樣不僅積累了數學實踐經驗，強化了建模能力，也能培養數學核心素養.

四、完善教學評價，引導學生反思建模的過程

想要在課堂中培養學生的建模能力，教師要不斷完善教學評價，對學生的建模意識、建模步驟、建模成果等進行評價，讓他們在評價中總結自身的不足以及優勢，不斷地調整學習方法，提升建模能力，最終通過教學評價檢驗學習效果，在反思中培養建模素養.

例如，在教學完“三角函數”這一知識點時，筆者展示了這樣一道題目：下表是某地一年中10天的白晝時間.日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日

（1）選用一個三角函數來近似描述白晝時間與日期序號之間的函數關系;

（2）用（1）中的函數模型估計該地7月8日的白晝時間.

學生紛紛運用所學的知識開始作答：第一步，按表中的數據作出散點圖;第二步，由散點圖找到最值、周期;第三步，設出函數模型，并將數據代入求出各參數;第四步，根據題意列出不等式組，解得答案.在學生完成解題后，筆者對學生的課堂表現進行了評價，其中評價內容包括：第一，為什么要畫出散點圖？第二，為什么要構建三角函數模型？其他模型是否也可以？第三，是否能夠順利構建三角函數模型？第四，是否能夠根據生活實際、數據、散點圖順利求出三角函數？第五，能否用模型解釋生活中白晝時間與日期的關系？學生在反思的過程中，重新梳理問題與數學知識，能有效地提升應用能力和反思能力.總之，通過教師的評價以及對自己的建模過程的反思，學生就會發現自身的不足，并加以改進，最終在不斷提升建模能力.

培養高中生的建模能力，不是一朝一夕就能完成的.教師在教學過程中既要依據課程標準提出的教學要求制定目標、設計教學活動，又要根據學生的興趣和喜好將數學知識與生活實際關聯起來，以讓他們學會發現問題、提出問題、分析問題并解決問題，培養數學建模能力.

（作者單位：山東淄博實驗中學）