基于大概念，構建單元整合教學

方蘇云

【摘? ?要】聚焦小數除法高頻率錯誤，鏈接與之密切相關的“除數是兩位數的除法”單元進行整體教學，從“橫向重組，精煉單元整體架構;縱向拓展，完善單元間聯系;縱橫交錯，關聯內在核心指向”三個維度，通過大概念將原本分散的知識進行整合，讓學生經歷建構完整知識體系的過程，促進學生有深度的結構化學習。

【關鍵詞】大概念;單元教學;關聯缺失;重組拓展

基于大概念展開單元教學已成為當前學科教學中落實核心素養的趨勢。數學大概念指向數學核心內容與核心教學任務，它能反映數學本質，是將數學關鍵思想和相關內容聯系起來的關鍵“錨點”。小學數學學習一般以“冊”為基準，以“單元”為目標，分“課時”進行，教學中師生都較少關注單元間的關聯。下面以人教版教材五年級上冊“小數除法”和四年級上冊“除數是兩位數的除法”這兩個單元的內容為例，基于大概念，從知識關聯的視角對不同單元間的知識進行重新審視與研究，提出重組拓展的對策。

一、點擊“小數除法”計算的高頻率錯誤

教學中發現，學生在“小數除法”計算中的錯誤率明顯高于“小數乘法”，尤其是錯在：商中間有“0”的小數除法;被除數、除數“小數位數不同”的除法;轉化后成為“多位數除以兩位數”的除法。仔細琢磨后發現，小數除法中“商中間不夠商1就商0”與整數除法的處理方法是相同的，而“被除數的小數點是隨著除數的小數點移動位數而定的”是小數除法的關鍵，即將小數除法轉化成除數是整數的除法來計算，照理學生不應該出現如此高頻率的錯誤。思索之余，自然聯想到學生是否在四年級上學期“除數是兩位數的除法”學習中出現了“斷層點”，是否積累了充足的除法計算經驗。因此考慮，或許能在“除數是兩位數的除法”與“小數除法”這兩個單元中找到根治的“藥方”。

二、解讀兩單元教材，鏈接教學關聯與缺失

為進一步尋找錯因，有必要再次閱讀兩單元教材，厘清教材的“序”，打通知識的“脈”，整體剖析兩個單元之間的內在關聯與缺失。

（一）解讀教材內容編排結構

1.“小數除法”單元

教材編排緊扣“被除數的小數點是隨著除數的小數點移動位數而定的”這一關鍵點，引導學生按整數除法的計算方法進行運算。內容安排逐步遞進，螺旋上升，例題及“做一做”中的絕大多數習題是兩位數除兩位數、兩位數除三位數、兩位數除四位數，在“商的近似數和循環小數”中甚至涉及兩位數除五位數、兩位數除六位數，商是多位數的除法。

2.“除數是兩位數的除法”單元

教材一共編排了10個例題，包括除數是兩位數的口算、筆算、商的變化規律及簡便計算。內容編排注重層次性，強化試商的經歷，展現計算思路。但仔細梳理后發現，絕大多數習題是兩位數除三位數、兩位數除兩位數，商最多是兩位數的除法。

（二）厘清兩個單元教學的關聯

從圖1中可以清楚地看到，小數除法的算理基礎是小數的意義和性質，算法基礎是整數除法，無論在知識技能上，還是在思想方法上，都與“除數是兩位數的除法”密切關聯。

（三）分析對比明了“缺失”所在

1.“除數是兩位數的除法”中，商是兩位數的練習量缺失

“除數是兩位數的除法”是整數除法的最后部分，在一定程度上影響著“小數除法”的學習，但教材中“商是兩位數的整數除法”例題數只占該單元例題總數的40%;小題數約占單元小題總數的18%;絕大部分習題中的商是一位數?？梢?，商是兩位數的練習量明顯不足;商是三位數、四位數的幾乎沒有。顯然，這對后續學習“小數除法”的計算埋下一定的“隱患”。

2.“除數是兩位數的除法”中，“兩位數除多位數”內容缺失

“小數除法”單元中安排了“商中間有0、商是多位數”的習題，反觀“除數是兩位數的除法”單元，根本沒有安排“兩位數除多位數，即商是多位數”的除法。的確，在除數是一位數的除法中，學生經歷過商是多位數的計算過程，但“小數除法”中的絕大部分計算轉化后是“除數是兩位數的整數除法”，因此有理由相信“兩位數除多位數”內容的缺失，是造成“小數除法”出錯的源頭。

面對上述關聯與缺失，展開如下探討與思辨：一是如何彌補缺失;二是在彌補過程中課時怎么調整;三是用怎樣的理念支撐研究行為。筆者結合教學實際及學生情況，基于大概念教學理念，嘗試對單元教學內容進行整合、重組與拓展，依托大任務、大問題達成教學目標。

三、基于大概念，對單元內容進行重組與拓展

大概念即核心概念、共通概念，并非數學教學中具體的某個概念，而是指向數學學科的基本結構和方法，是其他知識得以發生與依附的主根?！俺龜凳莾晌粩档某ā迸c“小數除法”兩個單元間的重組與拓展，就是通過大概念將分散的知識進行鏈接，以促進學生的結構化學習。

（一）橫向重組，精煉單元整體架構

知識間的橫向交融能形成一定的知識脈絡，與學生的認知結構建立關聯，使數學學習在結構中具有再生力。

1.“除數是兩位數的除法”單元重組——基于大概念“除數是整十數的除法”

從大概念視角看“除數是兩位數的除法”單元內的所有知識，都可由“除數是整十數的口算、筆算”孕育而出。其中，“筆算除法”中的例1～例7，任何一個兩位數的除數，都可看作整十數來試商、調商，用“除數是整十數的除法”這個大概念來重組，可以使知識體系結構更主干化。重組前后對比如圖2所示。

2.“小數除法”單元重組——基于大概念“除數是整數的除法”

將“小數除法”轉化成“整數除法”來計算是本單元的內核。將例1～例3和例6～例8按“除數是整數的小數除法”來重組，讓學生在充分理解并掌握計算方法后，再學習“除數是小數的除法”，可以使知識結構更簡潔，思路更清晰，脈絡更整體，能讓學生領悟小數除法的本質——轉化成“除數是整數”的思想方法。重組前后對比如圖3所示。

（二）縱向拓展，完善單元間聯系

數學的知識技能、思想方法的縱向深度發展往往直接影響著學生的后續學習。學生只有在前一階段理解掌握的基礎上，才能順利進入下一階段的深度學習。

1.“除數是兩位數的除法”單元拓展——基于大概念的“整數除法的計算思想原理”

為有效防止“小數除法”計算中高頻錯誤的發生，對“除數是兩位數的除法”單元進行縱向拓展，主要指向兩位數除多位數。拓展學習路徑如圖4所示。

通過大問題驅動學生思考，讓學生在自主編題、互查互糾中熟練方法;在分類比較中，進一步理解兩位數除多位數的計算方法;在對比辨析中，掌握確定商的位置的策略。經歷了“散—聚”的學習過程后，學生的思維會更加深刻。

2.“小數除法”單元拓展——基于大概念的“整數除法中商的變化規律”

本節拓展課重在探究小數除法的商和余數的變化規律，用大問題推動教學，并融入計算器教學，引導學生觀察發現規律并加以運用。拓展學習路徑如圖5所示。

啟動整數除法“商的變化規律”經驗，研究小數除法“商的變化規律”，能幫助學生在知識技能和活動經驗積累上進行系統的關聯，讓小數除法的商與余數規律也更加清晰明了化。

（三）縱橫交錯，關聯內在核心指向

因篇幅限制，著重對“除數是兩位數的除法”中“口算”和“筆算”兩節課進行闡述，體現關聯的內在核心指向。

1.探尋口算除法的秘密——指向內容的關聯

教材第87頁例8所呈現的內容是學生掌握口算除法的基礎。因此在口算除法第一課時設計了大任務“探尋口算除法的秘密”，目的是打通口算除法與商的變化規律之間的關聯。整體思路如圖6所示。

教學前對學生進行了前測，內容包括“直接寫出得數”“用自己喜歡的方式表示”和“算算、想想，你發現了什么”，主要目的是找準教學起點，摸清關聯抓手。從前測數據來看，學生對除數是整十數的口算除法具備一定的經驗與基礎，50%以上的人能用圖式、算式、語言來表述除數是整十數的口算除法，但對商的變化規律比較陌生。因此，實際教學中的重點是理解“口算”算理，難點是理解商的變化規律，將算法熟練融入到找商的變化規律中。

實際教學后對學生（共計84人）進行了后測，后測內容與前測內容基本一致，增加了運用商的變化規律解決問題的內容，正確率統計如表1所示。

從統計數據看，將商的變化規律融入口算除法教學，學生自主學習積極性高，且口算練習不枯燥，練習量也得到保證。

2.除數是整十數的筆算除法——指向方法的關聯

將教材中例1、例2、例3（1）、例4、例6，用大任務串聯，緊緊圍繞“除數是整十數的筆算除法”這一內容，運用情境圖及小棒圖表征算理與算法，在“題組”對比中，學生感知到“除數不是整十數的筆算除法”與“除數是整十數的筆算除法”存在關聯，體會到計算方法的相通之處。整體思路如圖7所示。

教學前對學生進行了前測，內容包括筆算除法、試商基礎、解決問題。從前測統計數據看，學生具有一定的試商基礎，近50%的人能正確填寫最大數，但用豎式計算基本不會。實際教學中的重點是理解用“豎式”如何表征計算過程，掌握正確的書寫方式，計算時，把除數看成“整十數”來試商，在對比中突破“商的位置的確定”，掌握計算方法。

實際教學后對學生（共計84人）進行了后測，測試內容主要是筆算除法、商位數的確定和解決問題，正確率統計如表2所示。

從統計數據來看，學生經歷這節課后，用豎式計算掌握得很不錯，近50%的人能進行兩位數除多位數的豎式計算;在商位數的確定上正確率達到70%以上。

3.兩位數除多位數和小數除法的規律——指向活動經驗、思想方法的關聯

“小數除法的規律”的教學著重利用整數除法中“商的變化規律”思路展開;“兩位數除多位數”的教學則沿用“除數是整十數”的思想方法展開，這兩節課都在大問題驅動下，對活動經驗、思想方法進行了關聯。學習路徑在前面已闡述，不再贅述。

四、單元后測對比與思考

（一）后測對比

對實驗班與對比班各84人進行了單元后測，后測主要聚焦“小數除法”單元，包括小數除法規律的應用（商的變化規律14題，探索余數規律3題）、豎式計算（8題）、解決問題（2題）三大方面，正確率如表3所示。

從統計數據看，對小數除法中余數意義的理解及小數除法規律的應用，實驗班的正確率明顯高于對比班，特別是商中間有“0”的被除數是多位數的除法，實驗班正確率依然高于對比班;在解決問題中，沒有非常明顯的差異，但從試卷看，對比班有列式錯誤和計算錯誤，而實驗班只有計算錯誤。

（二）分析思考

綜觀整個研究過程，基于大概念指導研究與實踐行為，在縱橫交錯中架構單元間知識、方法、經驗的關聯，形成大結構體系，能有效促進學生深度學習的發生。然而，這樣的回溯研究經歷時間長、跨度大，研究中可變因素較多，在控制影響因素上具有一定的挑戰性。

參考文獻：

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（浙江省杭州市富陽區教育發展研究中心? ?311499）