ΦS,F-調和映射的穩定性

韓英波,薛玉瑩,王 艷,韓曉園

(信陽師范學院 數學與統計學院, 河南 信陽 464000)

0 引言

設(Mm,g)和(Nn,h)是緊致無邊的黎曼流形,u:M→N是光滑映射,u的能量定義為

的解, 那么稱u是調和映射。

NAKAUCHI[1]引入泛函

的臨界點, 那么稱u為F-調和映射。

韓英波等[5]引入泛函

得到泛函ΦF(u)的第一、第二變分公式, 并證明了從球面Sm(m≥4)出發或到達球面Sn(n≥4)的F-穩態映射是弱共形的。

divS=-〈τ(u),du〉。

為了研究S=0成立的條件, 韓英波[7]引入泛函

其中dvg是M上的體積元。 在局部正交標架場{ei}下, 應力-能量張量的范數為

文獻[9-11]定義了Φ-能量密度、Φ-能量、Φ-調和映射及穩定Φ-調和映射, 得到Φ-能量泛函的第二變分公式, 找到一些Φ-超強不穩定(Φ-SSU)流形, 并證明了每個緊致的(Φ-SSU)流形一定是Φ-強不穩定(Φ-SU)流形。

1 預備知識

引入一個新的能量泛函:

其中dvg是(M,g)上的體積元, ‖Su‖表示應力-能量張量的范數, 在局部正交標架場{ei}下，有

對Mm(m≥5) 上任一向量場X, 取M上的一個局部正交標架場 {ei}, 定義張量σu如下：

設映射F:[0,∞)→[0,∞), 且有F(0)=0,F′(t)>0, 那么u的F-張量場τF(u) 為

定義1 若u是Euler-Lagrange方程τF(u)=0的解, 則光滑映射u稱為泛函ΦS,F(u)的ΦS,F-調和映射。

設u:(M,g)→(N,h) 是光滑映射, 對M上任意的向量場X、Y, 泛函ΦS,F的2階對稱張量SF稱為SF-應力能量張量, 且

2 ΦS,F-調和映射的第一變分公式

(1)

其中利用等式

設Xt是M上的緊支集變分向量場, 使得對M上的任意向量場Y有

則

(2)

由式(2)和Green’s公式, 可得

證畢。

命題1 設u:(M,g)→(N,h)是光滑映射,SF是F-應力能量張量, 對M上任意向量場X, 有

(divSF)(X)=-h(τF(u),du(X))。

證明在p∈M點附近取局部正交標架場{ei}使得?eiej|p=0。 設X是M上的向量場，在p點處有

h(σu(ei),(?eidu)(X)]-h(τF(u),du(X))。

由于(?Xdu)(ei)=(?eidu)(X)，所以

(divSF)(X)=-h(τF(u),du(X))。

證畢。

由命題1可知, 如果u:(M,g)→(N,h)是ΦS,F-調和映射, 那么

divSF=0,

(3)

即u滿足ΦS,F-守恒律。

對于2-階張量T1、T2∈Γ(T*M?T*M), 設{ei}是度量g下的一組正交基, 定義內積如下:

(4)

對任意X∈Γ(TM),Y∈Γ(TM), 對于1-形式θX(Y)=g(X,Y), 2-階張量場?θX為:

(?θX)(Y,Z)=g(?YX,Z)。

(5)

引理1[6]設X為張量場,T是(0,2)型張量場, 對于X方向上度量g的李導數LX, 有

(6)

事實上, 在正交標架場{ei}上, 有

定理2(第一變分公式(II)) 設u:(M,g)→(N,h)是光滑映射, 對于李導數LX, 取M上的局部正交標架場{ei}, 則有

證明根據定理1, 由ut=u°φt易得ut的變分向量場du(X), 因此

(7)

取局部正交標架場{ei}, 在點p有

h(du(?eiX),σu(ei))]=

(8)

由式(7)和式(8)，可得

證畢。

3 第二變分公式

其中RN是N的曲率張量。

(9)

(10)

式(10)右邊第一項為

B1+B2,

(11)

式(11)右邊第二項為

(12)

對于M上任意向量場Y, 設X1、X2、X3、X4和X5是M上的緊支集變分向量場, 使得

式(11)右邊第一項為

(13)

當s=0,t=0時, 式(13)為

B1=div(X1)+div(X2)+div(X3)+

根據Green’s公式, 上式積分為0, 結合式(10)～式(13), 即得結論。證畢。

4 從球面Sm出發的ΦS,F-調和映射

定理4 設Sm(m≥5)是m維球面,N是黎曼流形,u:Sm→N是ΦS,F-調和映射, 假設

則u是不穩定的。

證明在p∈Sm附近取局部正交標架場{ei}, 使得?eiej|p=0, 再選定em+1使得{ei,em+1}是Rm+1上的正交標架場。 在Rm+1上取一個固定正交基EA(A=1,…,m+1), 設

(14)

其中〈·,·〉表示標準歐式內積, 則du(VA)∈Γ(U-1TN)且

(15)

(16)

(17)

由條件

以及式(15), 得

(18)

對于M的任意光滑向量場X, 根據Weitzenb?ck公式, 有

du(RicSm(X))=(Δdu)(X)+

(?2du)(X),

(19)

I1+I2+I3+I4+I5+I6+I7。

(20)

在p點的局部正交基{ei}下分別計算I1、I2、I3、I4、I5、I6及I7，其中對任意的i,j=1,…,m, 有?eiej|p=0。

(21)

(22)

(23)

h((?ekdu)(ei),du(ej))×

h(du(ei),(?ekdu)(ej))],

(24)

h((?ekdu)(ej),du(ej)),

(25)

(26)

d((?ekdu)(ei),du(ej))-

d((?ekdu)(ej),du(ei))-

h((?ekdu)(ej),du(ej))。

(27)

5 到達球面Sn的ΦS,F-調和映射

定理5 設M是m-維緊致黎曼流形,Sn(n≥5)是n-維標準球,u:Mm→Sn是ΦS,F-調和映射, 若

則u是不穩定的。

證明取p∈SN附近的局部正交標架場{ei,…,en}, 且滿足?eiej|p=0, 取en+1使得{en,en+1}是Rn+1上的正交標架場。 在Rn+1上取一個固定正交基EA(A=1,…,n+1), 設

(28)

[h(du(εα),du(εβ))+

J1+J2+J3+J4+J5+J6。

(29)

在p點處，計算

(30)

通過式(28)和式(30)，可得下列結果:

(31)

類似于J1的推導過程，可得

(32)

(33)

(34)

(35)

h(du(εα),σu(εα))h(ei,ei)]=

(36)

結合式(31)～式(36), 可得

(39)

因此u是不穩定的。 證畢。

6 結語

首先引入ΦS,F-調和映射的能量泛函, 然后結合SF應力能量張量, 計算得到ΦS,F-調和映射的第二變分公式, 并證明了在一定條件下，從球面Sm(m≥5)出發的或到達球面Sn(n≥5)的ΦS,F-調和映射是不穩定的映射。