一般位置下凸體的截面與投影體積不等式

李愛軍, 曹子昕

(河南理工大學 數學與信息科學學院, 河南 焦作 454000)

0 引言

(1)

(2)

其中：u?u是Rn上秩為1的投影算子,In是Rn上的恒等映射。值得注意的是,John位置是由正交變換唯一確定的。顯然立方體[-1,1]n和半徑為1的正則單純形均在John位置。當K是對稱凸體時,條件(1)顯然成立。

近來,MARKESINIS[9]得到了在John位置上的中心對稱凸體的任意k-維截面的體積至多為(4n/k)k/2。隨后,ALONSO-GUTIéRREZ等[4]證明了凸體在更多情況的體積估計,例如:k-維仿射子空間和最小表面積位置。

本文目的是應用BALL[3,12]和BARTHE[5]提出的思想,并使用了Brascamp-Lieb不等式的幾何版本以及它的逆不等式(引理1)。建立比John位置更一般的位置上,中心對稱凸體的k-維截面及其極體投影的體積不等式。

1 預備知識

本節給出凸幾何的一些基本定義和符號[13-14]。Rn表示n-維歐式空間(n≥2)，記‖·‖為Rn中的范數。

對于任意的x∈Rn,Rn中內點非空的緊凸集稱為凸體，凸體K的支撐函數h(K,·):Rn→R定義為:

h(K,x)=max{〈x,y〉:y∈K}，

其中〈x,y〉是x和y的標準內積。

如果原點是凸體K的內點,那么K的極體K°定義為:

K°={x∈Rn:〈x,y〉≤1,對于所有y∈K}。

由極體定義可以立即得到:如果K1、K2是包含原點為內點的兩個凸體,那么對于任意x∈Rn,有

K1?K2?h(K1,x)≤h(K2,x),

(3)

(4)

若F是Rn中的一個子空間,由文獻[13],則有

(K∩F)°=PFK°。

(5)

設K是包含原點為內點的凸體,那么凸體K的Minkowski泛函‖·‖K定義為:

‖x‖K=min{t>0:x∈tK},x∈Rn。

在這種情況下,

‖x‖K=h(K°,x)。

(6)

對于任意的p∈(0,∞),凸體K的體積表示為:

(7)

其中積分是關于Rn上的Lebesgue測度。

2 主要結果

首先給出Brascamp-Lieb不等式及其逆的幾何形式。

(8)

那么對于積分函數fi:R→[0,∞),i=1,…,m,有

(9)

(10)

值得一提的是,BRASCAMP等[15]第一次得到Brascamp-Lieb不等式。BALL[3]證得的不等式(9)幾何形式在解決逆等周不等式中起著至關重要的作用。利用質量傳輸理論,BARTHE[5]給出了Brascamp-Lieb不等式一個新的證明并建立了逆Brascamp-Lieb不等式(10)。然后BARTHE使用這些不等式獲得了新的逆等周不等式,也證明了BALL的逆等周不等式的等號成立的唯一性。

對等式(8)兩邊同時取跡，可以得到

(11)

C={x∈Rn:|〈x,ui〉|≤ai,i=1,…,m},

設J={1≤i≤m:PFui≠0},其中PF是Rn中子空間F上的正交投影。

定理1 設K是Rn中的中心對稱凸體且K?C,那么,對于Rn中k-維子空間F,有

其中δi=ci‖PFui‖2。

證明設J={1≤i≤m:PFui≠0}。對于任意的x∈F,由等式(2),可以得到

設

則有

(12)

其中IF表示F上的恒等映射。明顯地,對任意的i∈J,vi是單位向量,對等式(12)兩邊同時取跡,則有

(13)

首先,證明不等式

對于任意的i∈J,可以得到

K∩F?C∩F=

{x∈F:|〈x,ui〉|≤ai,1≤i≤m}=

{x∈F:|〈x,PFui〉|≤ai,1≤i≤m}=

{x∈F:|〈x,vi‖PFui‖〉|≤ai,i∈J}=

{x∈F:|〈x,vi〉|≤hi,i∈J},

其中

因此,根據等式(12),并應用Brascamp-Lieb不等式的幾何形式(9)和等式(13),得到

|K∩F|≤|C∩F|=

其中χA(·)表示集合A的特征函數。

由幾何算術平均不等式和等式(11),有

(14)

進而可以得到不等式

其次,證明不等式

對于對稱凸體C={x∈Rn:|〈x,ui〉|≤ai,1≤i≤m},可以立即推出

其中conv表示集合的凸包。

根據式(4)和式(5),有

(K∩F)°?(C∩F)°=PFC°=

其中J={1≤i≤m:PFui≠0}。

因此,對于任意的x∈F,由不等式(3)和等式(6),得到

h(K∩F,x)≤h(C∩F,x)=

‖x‖(C∩F)°=

對任意的i∈J,定義:

fi(t)=exp(-|t|hi),t∈R。

根據等式(7)和式(12),并在F上使用逆Brascamp-Lieb不等式(10)、等式(13)和不等式(14),得到

k!|(K∩F)°|≥k!|(C∩F)°|=

所以

證畢。

注意到,當ai=1(i=1,…,m)時,定理1已被MARKESINIS[9]和ALONSO-GUTIéRREZ等[4]證明。

3 結束語

通過對John位置上凸體的任意k-維截面的體積的分析,利用Brascamp-Lieb不等式的幾何版本及其逆不等式,解決了一般位置下中心對稱凸體的k-維截面及其極體投影的體積不等式問題,為估計一般位置下凸體的k-維截面及其極體投影的體積不等式提供了可以借鑒的思路。后續有望對一般位置下凸體的k-維截面體積不等式進行深入研究,得到更一般的凸體截面不等式。