文/王 磊
(作者單位:江蘇省連云港市海州實驗中學)
在做練習時,我們常常會對某道題感覺很熟悉,但又不知在哪里見過,抑或者熟悉知識框架,但是對具體數字陌生。其實,這是非常正常的現象。我們所遇到的題目,有很多是來自教材上的例題,如果將問題情境改變,或者融合一些其他的知識點,就能變成一道新題。教材上的例題往往具有典型性、代表性,凝聚著重要的數學思想,有著較強的示范性,是很多新題的“源代碼”。
(蘇科版數學教材八年級下冊第131 頁例3)已知反比例函數的圖像與一次函數y=x+1的圖像的一個交點的橫坐標是-3。
(1)求k的值,并畫出這個反比例函數的圖像;
(2)根據反比例函數的圖像,指出當x<-1時,y的取值范圍。
解:(1)把x=-3 代 入y=x+1,得y=-2。
圖1
(2)由函數圖像知,當x<-1時,-6<y<0。
一次函數與反比例函數的組合問題,是常見的考試題型。我們要抓住此類題交點的特殊性,利用函數圖像的性質來解決。
【基礎重組】(2021?山東棗莊)如圖2,正比例函數y1=k1x(k1≠0)與反比例函數的圖像相交于A、B兩點,其中點A的橫坐標為1。當時,x的取值范圍是 。
圖2
【解析】因為正比例函數與反比例函數的圖像均關于原點對稱,點A的橫坐標為1,所以點B的橫坐標為-1。觀察函數的圖像,我們發現,當x<-1或0<x<1 時,反比例函數圖像在正比例函數圖像的上方,所以當y1<y2時,x的取值范圍是x<-1或0<x<1。
【點評】本題考查了正比例函數與反比例函數的基本性質,利用軸對稱性推導出另一個交點B的橫坐標,再利用函數圖像的分布特點,分析得到滿足條件的x的取值范圍。
與函數有關的綜合題,常常伴隨著復雜的問題情境,這類題既考查同學們的審題能力,也考驗同學們的邏輯思維和綜合學力。
【升級重組】(2021?浙江金華)背景:點A在反比例函數的圖像上,AB⊥x軸于點B,AC⊥y軸于點C,分別在射線AC、BO上取點D、E,使得四邊形ABED為正方形。如圖3,點A在第一象限內,當AC=4時,小李測得CD=3。
圖3
探究:通過改變點A的位置,小李發現點D、A的橫坐標之間存在函數關系。請幫助小李解決下列問題。
(1)求k的值。
(2)設點A、D的橫坐標分別為x、z,將z關于x的函數稱為“Z函數”。如圖4,小李畫出了x>0時“Z函數”的圖像。
圖4
①求這個“Z函數”的表達式;
②補畫x<0 時“Z函數”的圖像,并寫出這個函數的性質(兩條即可);
③過點(3,2)作一直線,與這個“Z函數”圖像僅有一個交點,求該交點的橫坐標。
【解析】(1)∵AC=4,CD=3,
∴AD=AC-CD=1。
∵四邊形ABED是正方形,
∴AB=1。
∵AC⊥y軸,AB⊥x軸,
∴∠ACO=∠COB=∠OBA=90°,
∴四邊形ABOC是矩形,
∴OB=AC=4,
∴A(4,1),
∴k=4。
(2)①由題意得A(x,x-z),
∴x(x-z)=4,
∴z=。
②圖像如圖5所示。
圖5
性質1:x>0 時,y隨x的增大而增大;
性質2:圖像是中心對稱圖形。
③設直線的表達式為z=kx+b。
把(3,2)代入,得2=3k+b,
∴b=2-3k,
∴直線的表達式為z=kx+2-3k。
消去z,得(k-1)x2+(2-3k)x+4=0。
當k≠1,Δ=0時,
(2-3k)2-4(k-1)×4=0,
解得x1=x2=6;
當k=2時,
方程為x2-4x+4=0,
解得x1=x2=2。
當k=1時,
方程的解為x=4,符合題意。
另外,直線x=3,也符合題意,此時交點的橫坐標為3。
綜上所述,滿足條件的交點的橫坐標為2、3、4、6。
【點評】本題是反比例函數綜合應用題,涉及的知識點較多,比如一次函數、二次函數、一元二次方程等。解題的關鍵是學會利用參數解決問題,學會把問題轉化為方程組,再利用一元二次方程的根的判別式解決問題。