基于MATLAB 的壓縮感知重構漏水信息改進算法研究

趙 琦，郭改枝

（內蒙古師范大學 計算機科學技術學院，內蒙古 呼和浩特 010022）

我國是干旱缺水嚴重的國家之一，在淡水資源緊缺的當下，完善地下供水管道漏水監測方式，可有效降低水資源的浪費程度。當供水管道發生破裂，水流通過時會產生一定頻率的聲音信號，使用傳感器節點采集該聲音信號，進行信號處理可及時發現漏水位置進而監測漏水情況。因此，信號采集過程尤為重要，傳統的Shannon-Nyquist 采樣定理指出：采樣頻率高于信號中最大頻率的2 倍，才能精確完成信號的重構。而實際應用中采樣頻率遠不止要2 倍，一般是3 到5 倍，這對傳感器節點的采樣能力是較大的挑戰。如果數據量較大，不僅考驗節點的存儲容量，而且考驗節點本身的能量消耗，特別是在發送與接收時最耗節點能量。在這些條件限制下，采集到的信號在傳輸過程中丟失部分有用信息，未能展現完整管道漏水信息，從而影響漏水監測的準確性。

1 相關研究

為解決上述問題，由Donoho 與Candes 等［1-2］的壓縮感知（CS）理論給出了解決方法：只要信號滿足一定條件，就能以低于甚至遠低于Nyquist 采樣率對稀疏信號進行采樣，并高概率地重構出原始信號。

壓縮感知作為一種應用廣泛的采樣理論，為許多研究提供了新思路和研究途徑［3］。Qin 等［4］將壓縮感知應用到無線通信領域，著重于信號的稀疏表示。目前，壓縮感知理論多用于圖像信號恢復，也用于人和動物的語音信號恢復。吳亞文等［5］將壓縮感知結合譜減法用于生豬的聲音信號，并采用多個硬件設備，從采集信號到重構出信號整個過程保證信號快速準確傳輸，以便及時了解到生豬的健康狀況。孫林慧等［6］提出一種自適應基追蹤去噪方法，該方法根據原含噪信號的信噪比能自適應選擇重構最佳參數，在提高信噪比的同時提高重構性能，是較好的“一舉兩得”的去噪方法；Gemmeke 等［7］研究表明，如果幀數太多可能導致信號包含較少特征，因此可從含噪的觀測數據中重建干凈的語音。Rani 等［8］回顧了當前正在使用CS 理論的主要應用領域?；诖?，本文調整幀數，使每幀內含有特征信息。

壓縮感知定義為：若信號x是N維向量（N∈R），且選定能夠讓該信號稀疏表示的稀疏變換基Ψ，信號x在Ψ 上表示，可以得到大部分分量為零的稀疏系數s，則有x=Ψs，其中s中非零項的個數為k個，則信號x的稀疏度為k。使用壓縮感知理論的前提需要滿足兩個性質：稀疏性和不相關性。稀疏性指的是信號的稀疏性，不相關性指的稀疏基Ψ 與測量矩陣Φ 之間不相關。在研究初期，只要求測量矩陣滿足約束等距性條件（RIP）：，就可完成壓縮采樣。而滿足RIP 條件是復雜的事情，Baraniuk［9］給出了RIP 的等價性條件：稀疏基Ψ 與測量矩陣Φ 不相關，即測量矩陣的行不能被稀疏基的列稀疏表示；同理，要求的列也不能被行稀疏表示；測量矩陣主要是對信號的降維投影，進而實現數據的壓縮。

隨機高斯測量矩陣的普適性較強，可以適應許多信號［10］，因此在綜合考慮測量矩陣需要利于硬件操作以及適合水聲壓縮采樣的情況后以隨機高斯測量矩陣為本文選取的測量矩陣。所以，M×N維的測量矩陣Φ 與不相關的稀疏基Ψ 對信號x的壓縮觀測可以表示為y=Φx，其中y是信號x的線性投影。已知y的長度為M，測量矩陣是M×N維，理論是可以求出長度為N的x，但由于M遠遠小于N，方程是一個欠定方程，方程的個數遠大于解的個數，因此將x=Ψs代入y=Φx，可得y=ΦΨs，令ΦΨ=A，則A稱為傳感矩陣，y和A是已知的，只要求解出s，就可以重構出信號x。因為y的長度為M，s的長度為N，M＜N，所以方程的個數小于未知數的個數，方程沒有確定的解，但稀疏度為k，即s中k個位置是非零的k＜M＜N，根據測量矩陣Φ 滿足的RIP 特性，可以從M個測量值中準確重構出k個值，使信號重構問題轉化為求解最優化問題。這是一個零范數的最小化問題，在一定條件下零范數問題和一范數問題等價，所以通常將零范數問題轉換為求一范數的最小化問題。一范數的最小化問題是一個凸優化問題，即可以將求解過程轉化為線性規劃問題。

因此，只要信號在某個變換域下是稀疏的（可壓縮的），就可以投影到一個與能使信號在某個域中稀疏的稀疏基不相關的測量矩陣上，得到低維的觀測向量，同時測量矩陣采樣到觀測向量維數的測量值，實現采樣的同時進行壓縮，從而能求解一個最優化問題，使低維的觀測向量可高概率的重構出高維的原始信號。在該理論支撐下，可用較低的頻率采集到信號，同時壓縮采樣的過程可有效降低節點傳輸的數據量，并有效保留信號中的信息。

然而，壓縮感知通常用于處理圖像等高頻信號，用于聲音信號處理較少，特別是對低頻信號的處理更少。其原因主要是圖像信號經過稀疏變換后，低頻部分幅值較高，且有效部分集中在圖像的左上角，更容易滿足稀疏特性，即在部分位置有較高幅值，多數位置為0 值［11］，但聲音信號不具備這種特性。地下管道漏水聲信號較為特殊，它是一種非平穩信號，隨時間而變化，屬時變信號；形成時變信號的過程稱為非平穩態過程，因此處理時變信號很復雜。但研究發現，時變的聲音信號在短時間范圍（10～20 ms）內，特性基本保持不變，處于相對穩定狀態，時變信號具有短時平穩性。所以，任何聲音信號的分析和處理都要“短時”，通過使用短時分析技術來提取聲音信號中的特征參數。短時分析技術大多是按幀分析，即通過分幀加窗的方式處理聲音信號。將信號分成幀與幀的形式，對每一幀進行處理，最后得到的整體聲音信號，是每一幀聲音信號的特征參數組成的時間序列，并且以往的實驗印證了使用分幀加窗的預處理方法更適宜處理地下供水管道漏水聲信號，因此本文延續使用分幀加窗的預處理方法。

地下供水管道漏水聲信號兼有聲音信號“短時平穩”和低頻的特性，所以采集的信號先經過預處理，再結合壓縮感知理論與低通自適應的方法，完成對該信號全部信息的恢復重構，進而應用于地下供水管道漏水監測。目前國內外對該領域的研究較少，本文以期在地下供水管道漏水監測領域中找到適合有效的方法，獲取信號中攜帶的有用信息，使用壓縮感知與自適應方法相結合，并在重構算法上作出改進［12］。

2 算法介紹與改進

2.1 自適應算法

自適應濾波的方法可在未知環境下（如地下環境）發揮較好的功能。該方法具有根據輸入信號隨時間變化的特性而進行調整的能力，有利于分析時變信號。

雖然自適應濾波有多種存在形式，但根本性質一致：輸入信號x與期望輸出的信號d(n) 之間的差值為誤差e(n)，根據得到的誤差構造計算最佳權值的迭代式，并以權值優劣來體現該自適應算法的性能，通過不斷自適應輸入來更新權值，從而最小化誤差，并在這個自適應優化的過程不斷更新調整參數，使得權值的迭代式在該參數下成為最優，以此達到濾波效果，實現自適應。

本文的自適應算法主要針對低頻信號，是基于維納濾波的最小均方算法（LMS）和低通濾波結合而成。首先通過低通濾波器找到期望輸出的信號d(n)，再通過自適應去噪并根據輸入信號x的長度，將相應維度的誤差矩陣e(n) 和權值矩陣W初始化為0，然后進行迭代計算，迭代次數從濾波器的階數到輸入信號的長度數持續進行，通過期望信號d(n) 與每一次的輸出信號y進行比較得到誤差e(n)，最終根據誤差計算濾波器權值的迭代式W(n)=W(n-1) +2μ·e(n)x，其中μ是收斂步長，要求大于0 小于x的相關矩陣最大特征值的倒數；基于該式，得到最佳權值并據此輸出信號y(n) 為y(n)=W(n) ·x，即根據期望輸出，通過自適應方法不斷適應逼近期望信號，并調整參數來達到最佳輸出；CoSaMP 算法在初始化殘差r0后，通過不斷迭代計算更新殘差，當迭代次數達到信號的稀疏度k后，進行重構得到原始信號x。結合以上兩種算法的特點，提出一種基于自適應濾波和CoSaMP 改進的算法，即初始化壓縮采樣匹配追蹤（ICoSaMP），它適用于地下水聲等低頻信號的壓縮感知重構。

2.2 改進的壓縮感知重構算法

求解信號的重構問題實質是在求解一個最優化問題。通常來說L1 范數是L0 范數的最優凸近似，尋找最優解比較困難；而貪婪算法中的正交匹配追蹤算法（OMP）可看作是近似擬合了一個帶L0 范數限制的線性模型，而且OMP 算法是MP 算法的進一步提升，計算得到的殘差與每一個選擇的原子都正交，結果能在有限幾步得到收斂；壓縮采樣匹配追蹤算法（CoSaMP）［13］是在OMP 算法上的又一次改進，也不同于正則化正交匹配追蹤算法（ROMP）；但無論是什么重構算法，都只有在殘差初值較好的情況下，才能在初始就選擇更好的原子，最終會得到更好的結果。本文使用具有普適性的傅里葉變換和隨機高斯矩陣的基本組合，配以改進的CoSaMP 算法恢復信號，并應用在地下管道漏水聲信號的處理上。

在CoSaMP 算法中，根據信號的維度進行排列，得到每一列及列序號，參與計算的每一列合成列集合I，每一列的列序號合成列序號集合J，首先進行初始化，包括初始化列集合、列序號集合都為空集以及殘差初始化為觀測后得到的觀測向量。但初始化后的殘差參與計算仍然含有噪聲信號存在，對于重構結果來說可能存在不確定因素，從而影響結果。

因此，本文提出在初始化殘差時，令殘差r0等于自適應濾波后的最佳輸出y(n)，可在減少噪聲干擾的同時保留更多的低頻信號，利于重構的結果。而且優化后的輸出信號作為初始化的殘差，可在迭代之初就參與到計算過程，后續不斷迭代的過程也可產生較好結果。因此，對CoSaMP 算法的步驟進行改進：在輸入的內容中添加優化后的信號，該信號是通過自適應濾波后的最佳輸出信號，輸出的內容均不變；在初始化模塊，存放列序號的集合及列序號所屬列的集合仍為空集，為之后迭代做準備；迭代次數設置為1，代表第一次迭代；同時將自適應后的最佳輸出信號賦值給定義的殘差，而未做改進的CoSaMP 算法只將定義的殘差賦值為0。

具體算法步驟如下：

輸入：M×N的傳感矩陣A=ΦΨ，N×1 的自適應最佳輸出y(n)，信號的稀疏度k。

輸出：信號稀疏表示系數，N×1 維殘差rs=y-。

初始化：r0=y(n)；存放列序號的集合P及列序號所屬列的集合Q為空集；迭代次數t=1。

（1）計算u=abs[QTrt-1]，選擇其中2k個最大值，將這些值對應的列序號構成集合P0；

（2）Pt=Pt-1∪P0，Qt=Qt-1∪Qp(?p∈P0)；

（3）求自適應最佳輸出的信號y（n）與當前迭代的列集合、列向量的最小二乘解：；

（4）從該最小二乘解中選擇出絕對值最大的k項，記為；對應列集合Q中的k列，記為Qtk；更新這k列的列序號集合，記為Ptk；

（6）繼續迭代，如果迭代次數≤稀疏度，則返回（1）；反之或者rt=0，則停止迭代進行下一步；

（7）重構得到^，據此可得重構信號x=^。綜上，可以看出殘差在整個計算過程中不可或缺，而不同的初始值進行迭代計算將會得到不同的結果，所以對殘差的初始化尤為重要。

3 仿真實驗

為驗證該方法的可行性，通過IOT-NODE433 節點（ATmega128A+CC1000）采集到地下供水管道漏水聲信號，使用MATLAB 進行具體代碼編寫和仿真實驗，實驗過程結合壓縮感知理論編寫程序。由于研究的水聲信號屬于非平穩的時變信號，它攜帶著各種信息，所以研究時使用分幀技術達到短時平穩，對該信號進行了分析。

因此，在不同壓縮比和分幀的條件下，對比CoSaMP 和ICoSaMP 兩種算法，對每幀信號都選取256 個采樣點，展示波形最明顯的第50 幀重構效果以及壓縮比0.3～0.5 下的重構效果，如圖1-6 所示。壓縮比是觀測點數與信號總點數的比值，它代表信號壓縮的程度以及重構的難度，觀測點數越少重構難度越高。用較少的觀測點數去重構恢復信號總點數，會存在誤差，但使用不同的重構方法會得到不同的重構效果。

圖1 壓縮比為0.3 時ICoSaMP 的重構結果Fig.1 Reconstruction result of ICoSaMP when the compression ratio is 0.3

圖2 壓縮比為0.3 時CoSaMP 的重構結果Fig.2 Reconstruction result of CoSaMP when the compression ratio is 0.3

圖3 壓縮比為0.4 時ICoSaMP 的重構結果Fig.3 Reconstruction result of ICoSaMP when the compression ratio is 0.4

圖4 壓縮比為0.4 時CoSaMP 的重構結果Fig.4 Reconstruction result of CoSaMP when the compression ratio is 0.4

圖5 壓縮比為0.5 時ICoSaMP 的重構結果Fig.5 Reconstruction result of ICoSaMP when the compression ratio is 0.5

圖6 壓縮比為0.5 時CoSaMP 的重構結果Fig.6 Reconstruction result of CoSaMP when the compression ratio is 0.5

從圖1-6 中可直觀看出信號經過重構后的效果，在低壓縮比的情況下，可以看到使用ICoSaMP 算法重構信號與原始信號的時域圖像更加吻合，重構效果更佳；信號在頻域的信息，隨著壓縮比的上升，低頻信號也隨之增多，ICoSaMP 算法比CoSaMP 算法能夠保留更多有用的低頻信號，說明改進算法結合自適應去噪后重構的效果更好。來表示，其中x^ 為重構信號，x為原始信號；其比值越大，原始信號中有效的信息恢復越多，重構成功率越高；而且信噪比越高，信號中所含有用信息越多，信號中噪聲干擾越少。由表1 可知，在不同低壓縮比下，重構成功率隨著壓縮比的上升而提高，并且在壓縮比達到0.5 時，就可以恢復到93% 左右，即在觀測點數選取接近一半的時候，就能以較高概率恢復出原始信號，而且ICoSaMP 算法相比CoSaMP 算法重構成功率提高了14.17%。這也十分利于節點處理，因為點數越少，對于節點保存自身的能量與存儲處理能力越有幫助。

表1 不同壓縮比重構成功率對比Tab.1 Comparison of reconstruction power under different compression rations %

表2 不同壓縮比的信噪比對比Tab.2 Comparison of SNR under different compression rations %

4 結語

本文使用采集到的漏水聲信號進行仿真實驗，結果顯示：低圧縮比情況下，在CoSaMP 算法上進行改進，將自適應濾波后的最佳輸出作為參與計算的殘差初值，能保留更多有用的低頻信號使得重構結果更佳。因此，該方法對于地下供水管道漏水聲信號的重構恢復具有較好的效果。