基于雙層動態時段劃分的配電網重構

傅長熠，楊鏡非，顧家輝

（上海交通大學 電子信息與電氣工程學院，上海 200240）

0 引言

配電網重構是配電網優化運行中的一種重要技術手段，其通過對配電網線路中的分段開關和聯絡開關進行開合來改變網絡的拓撲結構，從而改變配電網潮流分布，以實現降低網損、提高系統可靠性等目標。

配電網靜態重構［1-2］僅考慮單一時間斷面下的優化，而配電網動態重構則在此基礎上考慮一個時間區間內參數的變化情況，在數學上是一個高維非線性不連續的組合優化問題，且求解過程中容易出現維數災的問題，難以被直接求解。因此，如何對配電網動態重構問題進行簡化和求解一直為研究的熱點之一。文獻［3］提出最優模糊C 均值聚類法進行時段劃分，從而將所求解的問題轉化為多個靜態重構問題。文獻［4］根據負荷情況進行聚類，以此實現時段的劃分來求解動態重構問題。文獻［5］通過引入區間數來處理分布式電源和電動汽車的不確定性，對各個時段進行靜態重構后，再通過比較降損情況對各個時段進行合并。文獻［6］通過負荷曲線的信息熵進行時段劃分，并考慮了三相不平衡的情況。文獻［7］采用微分進化算法以兼顧個體多樣性與計算速度。文獻［8］利用二階錐松弛將配電網重構數學模型轉化為凸規劃進行求解，并通過僅讓少數開關可以被操作來降低問題的復雜度。上述研究配電網動態重構問題的主要分析方法有2 類：一是將動態重構問題轉化為多個靜態重構問題，并利用提前劃分好重構時段或是對靜態重構后的相鄰時段進行合并來實現動態重構，但利用該類方法劃分得到的重構時段依賴于主觀參數的選取，難以得到較好的優化結果，且無法處理如儲能裝置等涉及多個時段耦合的主動管理元素；二是通過建立數學模型來利用最優化方法進行計算，但動態重構問題的高復雜度使得研究學者必須對問題進行較大程度的簡化才能在規定時間內完成求解。

配電網通常采用開環運行，因此考慮重構問題時需要建立輻射狀約束的數學模型，由于其中通常包含大量整數變量，會較大地影響重構問題的計算效率。文獻［9］提出了虛擬需求模型來表示輻射狀約束，但需要引入大量輔助變量。文獻［10］提出了生成樹約束并被廣泛運用，但該約束在某些場景下無法保證輻射狀網絡的生成。

基于此，本文提出了將割集法作為輻射狀約束的表示方法。首先建立了雙層優化模型，在利用二階錐松弛處理非線性的潮流約束的基礎上，通過分離出涉及時段間耦合的優化變量來提高問題的求解效率，從而實現重構時段的動態劃分；然后結合數學優化方法與和聲搜索算法對模型進行迭代求解；最后采用改進的IEEE 33 節點系統驗證了所提動態重構方法的實用性和有效性。

1 配電網輻射狀約束表示方法

1.1 常用輻射狀約束表示方法

目前常用的輻射狀約束表示方法包括生成樹約束和虛擬潮流約束。生成樹約束的思路為令除了變電站節點之外的節點都有一個父節點，其表達方式如下：

式中：aij為表示支路lij開斷情況的0-1 變量，aij=0 表示支路閉合，aij=1表示支路斷開；bij為表示節點ni與節點nj父子關系的輔助變量，bij=1 表示節點ni為節點nj的父節點，bij=0表示節點ni為節點nj的子節點；Ωs為變電站節點的集合；Ωu為非變電站節點的集合；Γi為與節點ni相連的節點集合。

虛擬潮流約束的思路為令除了變電站節點之外的每個節點都有大小為1 的虛擬需求，其表達方式如下：

式中：Λ為可能存在的支路lij構成的集合；vij為從節點ni流向節點nj的虛擬潮流的大??；N為網絡中節點的數量；Ns為網絡中變電站的數量。

上述常用的輻射狀約束表示方法存在以下2 個問題：一是會引入大量的新變量與約束；二是約束中缺少體現各條支路間的聯系的部分。上述2 個問題都會導致求解空間的增大，從而降低求解效率，且其中效率較高的生成樹約束并不是生成輻射狀配電網的充要條件［11］?；诖?，本文提出新的輻射狀約束表示方法。

1.2 基于解環法的輻射狀約束表示方法

根據文獻［12］，配電網輻射狀約束可用如下2個條件進行描述：條件1，網絡中閉合支路的數量為N-Ns；條件2，該網絡為連通的網絡。

各類處理輻射狀約束的方法基本以上述2 個條件為基礎，其中條件1 通常較易表示，而條件2 則較難表示。為了更好地用解析式來表達上述條件，本文用如下另外2 個條件對其進行替換：條件3，網絡中的所有基本環路中都有一個開關被打開，各個基本環路中打開的開關相互獨立，且同一開關不能被多個基本環路同時打開；條件4，網絡中不存在孤島，孤島為不與變電站節點直接或間接相連的連通區域，將孤島與網絡主體相連的支路集合稱為該孤島所對應的割集。

條件3 作為十進制編碼方式的基礎，被廣泛運用于各類采用啟發式算法或智能算法求解配電網重構的問題中［13-14］。由此可知，滿足條件3的網絡必然滿足條件1，且包含所有的可行解，此處不進行證明。由于連通的網絡中必定不存在孤島，不存在孤島的網絡必定連通，故條件4 為條件2 的等價條件?；诖?，本文提出定理1：同時滿足條件3 和條件4是網絡滿足輻射狀約束的充要條件。

為了更好地利用數學模型表示條件4，將可能出現的孤島分為如下2 類：第一類孤島，不含有度大于等于3 的節點的孤島；第二類孤島，含有度大于等于3 的節點的孤島。節點的度指該節點所連接的包含在基本回路中的支路數。2類孤島的示意圖如圖1所示。

根據本文提出的定理1，可將配電網輻射狀約束表示為：

式中：Ck為第k個基本環路集合；?n為不同基本環路間的公共支路集合，即?n=Ck1∩Ck2；br為引入的輔助變量，每條公共支路中最多只能有1 個開關被打開，引入分屬于不同基本回路的br來取代其中所包含的開關，使得不同基本回路中不存在共同的變量，從而使得條件3 能被滿足，具體過程如圖2 所示，并最終通過式（10）將br的狀態轉換回aij的狀態；lr為轉換后br所對應的支路；ηm為網絡中第m個第二類孤島對應的割集；Nηm為第二類孤島對應的割集中邊的數量。式（8）確保滿足條件1；式（8）—（10）確保第一類孤島對應的割集中的開關不被全部打開；式（11）確保第二類孤島對應的割集中的開關不被全部打開，且采用輔助變量br以減少重復出現的情況。為方便后續說明，將本文方法稱為割集法。

圖2 輔助變量轉化過程Fig.2 Transform process of auxiliary variable

將本文所提割集法與生成樹法、虛擬需求法進行對比，相應的變量數、約束方程數如表1 所示［15］。表中：B為支路總數；K為基本環路數；M為第二類孤島對應的割集數；P為公共支路數?？紤]到配電網通常為弱環網，K、M、P遠小于B、N，因此可以認為本文模型在大部分情況下相較于其他模型擁有更少的變量數與約束方程數。

表1 不同輻射狀約束方法的對比Table 1 Comparison among different radial constraint methods

割集法中基本環路、公共支路、第二類孤島對應的割集均需要通過事前的計算獲取，這是本文模型相較于其他模型能有效減少變量數與約束方程數的原因。同時，這也使各個約束中均包含了大量線路狀態間的信息，對于混合整數規劃而言，該特點能有效削減搜索空間的大小。

2 配電網動態重構的二階錐模型

2.1 約束條件

2.1.1 潮流約束

交流配電網常用的支路潮流模型為：

式中：下標t表示t時段；k(i，：)、k(：，i)分別表示首端為節點i和末端為節點i的支路k；ω為支路集合；Pk，t、Qk，t和Ik，t分別為支路k由首端節點流向末端節點的有功功率、無功功率和電流；Rk、Xk分別為支路k的電阻和電抗；Ui，t為節點i的電壓；分別為節點i注入的有功功率和無功功率；分別為節點i處變電站的有功輸出功率和無功輸出功率；、分別為節點i處儲能裝置的放電功率和充電功率為節點i處分布式電源的有功輸出功率；、分別為節點i的有功負荷和無功負荷。

2.1.2 潮流約束的二階錐松弛

由于潮流方程為非線性方程，難以直接求解，因此通過引入中間變量對其進行轉化。

用式（18）對式（12）—（15）中的相應變量進行替換，并對式（15）進行二階錐松弛［16］。

式中：I?k，t、U?k，t為對應的輔助變量。

則潮流方程中的式（12）—（15）可以分別轉化為式（19）—（22）。

式（22）將對應的可行域松弛為整個二階錐體內，成為凸可行域，使得問題能用商用求解器進行求解，且文獻［16］通過分析與算例設置證明了松弛在不同目標函數下的準確性。

考慮到在配電網重構問題中，由于部分支路可能斷開，式（21）不一定成立，利用大M法對其進行松弛，即：

式中：M*為輔助變量，可取盡量大的正數。

松弛后的潮流方程由式（16）、（17）、（19）、（20）、（22）—（24）組成。

2.1.3 系統相關約束

此外，為保障系統的安全運行，配電網重構還需滿足如下約束：

式中：Umin為電壓最小值；Umax、Imax、Pmax、Qmax分別為電壓、電流、有功功率、無功功率最大值。式（25）為節點電壓約束，式（26）為支路電流約束，式（27）、（28）為支路功率約束。

由于配電網通常為開環運行，需滿足輻射狀約束式（1）—（4）。

2.1.4 主動管理元素建模

考慮分布式電源在一定情況下能通過棄風棄光參與主動管理，且僅考慮其有功出力，則其模型如式（29）所示。

2）儲能裝置建模。

2.2 目標函數

本文模型以網損成本與棄風棄光懲罰費用之和C最小為目標函數，因此有：

式中：T為總時段數；Closs為網損價格；Cdg為棄風棄光的懲罰價格；ΩL為網絡中可連通的支路集合；Ωdg為網絡中安裝分布式電源的節點集合。

3 雙層優化模型

利用數學模型求解配電網動態重構問題時，理想狀態下應將各時段下的每個開關狀態都定義為變量。但這樣會使得每增加一個時段，整數變量的數量都會大幅增加，從而導致計算時間呈指數級上升，在實際操作中不具備可行性。為解決這一問題，本文將第2 節所提模型轉化為雙層優化模型來進行求解。

雙層優化模型以一個自然日為優化周期，以1 h為單位時間將其分為24 個時段。作為優化主體的上層優化將優化周期內經濟性最優作為優化目標，將風、光、儲能的出力狀況作為決策變量；下層優化在上層優化確定出風、光、儲能的出力狀況的情況下，以網損最小為目標，確定進行重構的時段以及各個時段內的開關動作情況，再將各時段的拓撲結構返回至上層，以此進行迭代求解。

如果反射光線OB與x軸的正半軸所成的角為β(0°≤β<360°),如何確定鏡面與水平面所成的角呢?(圖4)

3.1 上層優化模型

由于開關操作將由下層優化傳遞而來，因而無需考慮輻射狀網絡約束與開關操作相關約束，上層優化模型為混合整數二階錐規劃模型。

因此，對于上層優化模型，其目標函數為式（35），需滿足的約束條件為式（16）、（17）、（19）、（20）、（22）—（34）。

3.2 下層優化模型

下層優化以時段劃分的結果和各時段內的開關開斷情況為變量，以各時段網絡的有功網損之和Cdown最小為優化目標。目標函數為：

下層優化中，時段劃分的總次數Nc需滿足如下最大重構次數約束：

式中：Nmax為最大重構次數。

除此之外，還需要滿足的約束條件有式（8）—（11）、（16）、（17）、（19）、（20）、（22）—（28），即去除了主動管理元素的部分，并加入了開關操作約束與輻射狀約束。

由于涉及各個重構時段間耦合的儲能系統的相關變量由上層優化計算得到并傳遞而來，將其看作常數進行優化。因此下層優化中不涉及多個重構時段之間的耦合，故而可以得出以下結論：不同重構時段內的優化結果之間相互獨立。進一步地，可以將考慮整個優化周期的優化模型拆分為不同重構時段下優化模型的組合，且單個重構時段內僅在最初時段進行開關的操作。在初始模型中，整數變量的數目為TB，搜索空間為2TB，而對其進行拆分后，轉變為在Nc個問題中各自有B個整數變量，搜索空間變為Nc2B，相較于之前大幅減少。

對于拆分后得到的模型，利用和聲搜索算法［17］確定重構時段的劃分狀況。和聲搜索算法是一種智能優化算法，它模擬了音樂演奏的原理，有尋優速度快、過程簡單的特點。各個重構時段內的開關狀況則類似上層優化，同樣為混合整數二階錐規劃模型，求解步驟如下：

1）設置初始參數，迭代次數k=1；

2）生成初始解；

3）將時段劃分結果進行分類，分別求解各時段內的開關狀態，對已計算過的時段采取簡化策略，將未計算過的時段進行正常的優化計算，將重構結果返回并進行存儲；

4）根據各時段內計算返回的結果計算適應度函數；

5）根據和聲搜索算法進化策略進行迭代并生成子代種群，設k=k+1；

6）重復步驟3）—5）直至滿足迭代終止條件；

7）輸出計算結果，并且將參數傳遞至上層優化模型中。

具體的求解流程圖見附錄A圖A1。

4 算例分析

4.1 算例參數說明

為了驗證本文所提出的雙層優化模型對于求解配電網動態重構問題的有效性，基于改進的IEEE 33 節點配電系統進行仿真。該配電系統含有5條聯絡線和32條普通線路，在此基礎上，本文分別在節點16、19 處接入額定功率為1 000 kW 的光伏陣列PV1、PV2，在節點17接入額定功率為1000 kW的風機WT1，在節點15接入額定充放電功率為200 kW 的儲能系統ESS1。網絡結構圖及基本環路情況如圖3所示。

圖3 改進的IEEE 33節點系統圖Fig.3 Diagram of modified IEEE 33-bus system

以1 h 為一個時間單位，則一天可被分為24 個時段。將負荷分為居民負荷、商業負荷和工業負荷3 種，基礎值為原算例值，3 種負荷在各個節點的比例系數、不同負荷的日變化曲線以及風電和光伏出力預測值的日變化曲線分別見附錄A圖A2—A4。

由MATLAB R2019b 編寫算例程序，其中采用商用求解器的部分利用Yalmip 調用CPLEX 來進行求解。

4.2 算例仿真結果

對于本文所提出的輻射狀約束表示方法，以IEEE 33 節點系統、IEEE 69 節點系統［18］、IEEE 123節點系統［19］為例，對比本文方法與生成樹法、虛擬需求法在所需變量數以及約束方程數方面的差異，如表2所示。

表2 不同輻射狀約束方法的對比Table 2 Comparison among different radial constraint methods

由表2 可知，本文方法具有更少的變量數與約束方程數，且約束方程數與網絡中節點和支路數量關聯較小，更加適應常規配電網結構的特點，有助于提高求解配電網重構問題的計算效率。

此外，通過在IEEE 33 節點系統中進行1 000 次輻射狀網絡的隨機生成，對不同輻射狀約束表示方法進行測試，對比結果如表3所示。并結合第2節所建立的數學模型，將目標函數設為網損最小，應用于單時段靜態重構中，進行1000次測試以觀察其計算效率與優化結果，并與種群數量為30、迭代次數為30 的粒子群優化算法在靜態重構問題中的優化結果進行對比，粒子群優化算法采用十進制編碼方式對開關狀態進行編碼，對比結果如表4所示。

表3 不同輻射狀約束方法計算效果的對比Table 3 Comparison of calculation effects among different radial constraint methods

表4 不同配電網重構方法計算結果的對比Table 4 Comparison of calculation results between different distribution network reconfiguration methods

由表3 可知，本文方法與虛擬需求法均可確保生成輻射狀網絡，而根據第1 節可知生成樹約束并非是生成輻射狀配電網的充要條件。事實上，僅當網絡中不存在分布式電源且無零負荷節點時生成樹法才能確保生成的網絡為輻射狀網絡。在計算時間方面，本文方法用時最少，且僅為虛擬需求法的35.3%，與3種方法中變量以及約束方程的數量關系相符合，證明了減少輻射狀約束中的變量及約束方程數有助于提高重構問題的計算效率。

由表4 可知，采用二階錐規劃能穩定獲得IEEE 33 節點系統下靜態重構的全局最優解［20］，而粒子群優化算法由于其迭代過程中的隨機因素較多，無法保證收斂至固定的結果，同時計算效率較低，證明了將二階錐松弛應用于配電網重構問題中的可行性與優越性。

對于第3 節所建立的雙層動態重構模型，設置最大重構時段數為4，儲能裝置的初始荷電狀態與最終相同，取50%，儲能電量上限為2 000 kW·h，Closs=200 元／（MW·h），Cdg=100 元／（MW·h）。和聲搜索算法最大迭代次數為30，記憶庫取值概率為0.7，微調概率為0.3。動態重構計算結果如表5 所示，表中列出了重構前、后各個時段開關的具體動作情況，并給出了對應的目標函數值。

表5 動態重構計算結果Table 5 Calculation results of dynamic reconfiguration

由表5可知，重構后整個重構區間被劃分為4個時段?？梢钥闯?，重構之后配電網通過多次對開關進行動作，有效地降低了網損及棄風棄光費用，改善了配電網的運行狀況，說明了本文方法能有效求解配電網動態重構問題，提高配電網運行的經濟性。同時，本文方法在迭代4 次后收斂，體現了良好的收斂性。

圖4 為分布式電源的棄風棄光功率和儲能裝置的充放電功率曲線?？梢钥闯?，在凌晨時段，棄風棄光情況較為明顯，原因在于此時負荷較小，且儲能裝置有最大充電功率的限制，無法消納剩余的清潔能源。儲能裝置在負荷低谷期與分布式電源出力的高峰期進行充電，在負荷高峰期進行放電，有效實現了削峰填谷的功能。此外，采用本文提出的基于雙層動態時段劃分的配電網重構方法后，棄風棄光的情況明顯減少，證明了采用該模型對主動管理元素的優化有明顯效果。

圖4 分布式電源棄風棄光功率與儲能裝置充放電功率曲線Fig.4 Curves of abandoned wind and photovoltaic power of distributed generation and charging and discharging power of energy storage device

此外，為了驗證本文所提出的雙層優化方法的合理性與優越性，在控制相關參數不變的情況下，選取了如下3 種方法進行對比：文獻［3］采用的C 均值聚類法，根據各個時段的負荷情況利用聚類進行時段劃分，再進行靜態重構；文獻［5］使用的合并時段法，先對各時段進行靜態重構，再進行時段的合并來生成最終的結果；不采用第3 節所提出的方法，直接利用單層模型進行求解。本文方法與上述3 種方法的仿真結果對比如表6所示。

表6 不同動態重構方法結果對比Table 6 Comparison of results among different dynamic reconfiguration methods

由表6 可知，直接采取單層優化的方法在運行24 h 之后仍無法得到結果。結合表5 可以看出，除了在測試時間內無法完成求解的單層優化方法之外，其他3 種方法相較于未重構，均能有效降低系統的經濟成本。其中本文方法下的目標函數值最低，優化結果最佳，C 均值聚類法次之，合并時段法效果最差。這是由于C 均值聚類法只考慮了各個時段負荷水平的相似性，但并未考慮負荷水平相似的時段是否適合采用相同的靜態重構結果，而合并時段法只能作用于相鄰時段，與其他2 種方法相比缺少對全局情況的考慮。同時，C 均值聚類法和合并時段法也難以處理儲能裝置這類涉及多時段間耦合的主動管理元素，導致優化效果不佳。對于采取單層優化進行求解的策略，雖然其在理論上能夠成功進行求解，但是在實際測試中由于問題復雜度過高而無法在限定時間內完成求解；而本文提出的考慮時段動態劃分的雙層優化方法則是充分考慮了各類變量之間的關聯，在不對問題進行大幅度簡化的前提下，大幅提高了優化效率，有效解決了配電網動態重構問題。

5 結論

本文提出了基于雙層動態時段劃分的配電網重構方法以及描述配電網輻射狀約束的方法，經過算例分析，得出以下結論：

1）基于提出的描述配電網輻射狀約束的方法所建立的數學模型，具有變量數及約束方程數少、模型復雜度低的特點，將其運用于配電網重構問題中后能有效提升計算效率；

2）二階錐松弛能有效處理配電網重構模型中潮流方程內的非線性約束，簡化原問題形式，提高其可解性和尋優性；

3）相比于其他方法，本文提出的雙層優化方法能合理劃分重構時段，有效處理如儲能裝置這類多時段耦合的主動管理元素，減少配電網運行成本及棄風棄光量，在保證計算效率的同時大幅提升優化結果。

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