基于諧波狀態空間理論的LCL型并網逆變器諧波交互及穩定性分析

林順富，戴燁敏，顏昕昱，李東東，符 楊

（1. 上海電力大學 電氣工程學院，上海 200090；2. 國網上海市電力公司市北供電公司，上海 200070）

0 引言

近年來，新能源分布式發電技術的研究成為當前的熱點，并網逆變器是分布式發電的重要接口。隨著逆變器裝置的廣泛應用，電網的電力電子化面臨一定的挑戰［1-2］。實際中惡劣、復雜的運行環境以及逆變器與電網的諧波交互過程造成并網電流的質量下降，影響分布式發電系統的穩定性［2-3］。因此，有必要對逆變器與電網的諧波交互作進一步研究。相比于傳統的L 型濾波器，LCL 型濾波器可以對開關頻次的電流諧波進行大幅削減，并且具有重量輕、體積小、成本低等優點，但高階系統會導致諧振的發生［4］。文獻［5］解釋了出現諧振的根本原因，發現在濾波電容上串聯電阻可以有效抑制諧振峰。文獻［6-7］在無源阻尼的基礎上提出了有源阻尼和改進有源阻尼的控制方式，在抑制諧振峰的同時降低了系統的功率損耗。

對變換器進行數學建模的方法可分為2 類：一類是基于平均算子的平均模型；另一類是基于多頻率模型。前者是傳統建模方法，包括電路平均法和狀態空間平均法，大多用于單輸入單輸出系統的研究，具有建模便捷等優勢［8-10］。但該模型精度僅在低頻準確，不能獲得系統所有的不穩定模式。常見的基于多頻率模型的建模方法有多諧波小信號法［11］、描述函數法以及諧波狀態空間HSS（Harmonic State Space）法。用于多輸入多輸出或頻率耦合系統的建模，進一步反映頻率耦合現象，具有較精確的優點。文獻［12］推導出多種頻率耦合產生原因的并網逆變器頻率耦合模型，但建模中未給出具體的耦合系數，只分析了其對系統穩定性的影響。而利用HSS理論建立的數學模型可獲得系統所有不穩定的模式。

有學者采用HSS法建立了包含頻率耦合現象的變流器模型。文獻［13］利用該方法建立了單相整流器的新數學模型，分析了電壓外環的比例系數Kp以及頻率耦合對其穩定性的影響。文獻［14］建立了比例諧振控制下的三相整流器的數學模型，但未分析弱電網情況下諧波諧振等問題。文獻［15］在上述文獻的基礎上建立了PQ 控制下的三相L 型并網逆變器的數學模型，進一步研究了頻率耦合導納矩陣，并分析了直流側擾動對于交流側的影響。

傳統的阻抗建模通過等效框圖推導輸出阻抗表達式，利用阻抗判據判斷弱電網下逆變器穩定，普適性強［16-17］。也有學者采用dq阻抗建模［18-19］、正負序阻抗建模［20］和諧波線性化建模方法［21］建立逆變器輸出阻抗，通過電網阻抗和LCL 型并網逆變器的輸出導納繪制奈奎斯特曲線來判斷系統穩定性，但不能較好地反映逆變器的諧波特性。

在逆變器的HSS模型中輸出阻抗的精度與所考慮的諧波階數相關，模型中考慮的諧波階數越高，輸出阻抗模型的精度越高，可按照不同頻率對逆變器的輸出阻抗進行建模，從而獲得更精確的逆變器輸出阻抗模型。

本文利用HSS理論建立了基于比例積分PI（Proportional Integral）控制和電容電流反饋有源阻尼控制下的三相LCL型并網逆變器的數學模型。在該模型下分析并網逆變器與電網之間的諧波交互影響：①公共連接點PCC（Point of Common Coupling）處的背景諧波電壓對直流側電壓和并網電流的影響；②逆變器直流側擾動電壓對并網電流的影響。進一步推導HSS理論下諧波傳遞函數矩陣并量化了它們之間的耦合系數。此外提出了一種基于HSS的阻抗分析方法，用以揭示弱電網下系統發生諧波振蕩的機理。通過將實驗、仿真模型結果與數學模型結果進行對比，驗證了本文理論分析的有效性和分析結果的正確性。

1 HSS理論

利用狀態空間平均法建立的系統數學模型為線性時不變LTI（Linear Time Invariant）系統，具體如下：

式中：A、B、C、D為常數；x(t)為狀態變量；y(t)為輸出變量；u(t)為輸入變量；t為時間常數。該方法建模簡單，但精確度較低。

為獲得精確的數學模型，利用HSS 理論建立線性時變LTV（Linear Time Varying）系統，根據電路的周期性對其進行線性化。該方法可將式（1）轉換為：

式中：?為卷積符號；A(ω)、B(ω)、C(ω)、D(ω)為時不變參數；x(ω，t)、u(ω，t)和y(ω，t)分別為與ω相關的時變狀態變量、時變輸入變量和時變輸出變量。

根據歐拉公式可將連續的周期函數分解為傅里葉級數的指數形式。電路參量具有動態特性，需要加入暫態量est。以電流ig為例，可得：

式中：ω0為基波角頻率；Ign為n次諧波傅里葉系數。

根據諧波平衡的原理對式（2）等號兩邊進行約分可得：

式中：An-m為狀態系數；Bn-m為輸入系數；Cn-m為輸出系數；Dn-m為關聯系數；Xn、Xm為狀態量；Um為輸入量；Yn為輸出量。

通過式（5）將頻域輸出變量Y轉化為時域輸出變量y(t)。

2 三相LCL型并網逆變器數學建模

2.1 并網逆變器系統結構和控制結構

電壓源型三相LCL型并網逆變器系統結構圖如圖1 所示，基于有源阻尼反饋和電流環控制的結構圖如圖2 所示。圖1 中：Cdc為穩壓電容；L1、L2為濾波電感；C0為濾波電容；R1、R2為寄生電阻；vdc、idc分別為穩 壓 電 容 電 壓 和 電 流；vinva，b，c為 逆 變 器 輸 出 電 壓；iLa，b，c為電感電流；iCa，b，c為濾波電容的電流；iga，b，c為并網電流；vpcca，b，c為PCC處電壓；Edc為直流電壓；Rdc為電阻；swa，b，c為開關函數；vCa，b，c為電容電壓。圖2中：Igdref、Igqref分別為d、q軸參考電流；iCd、iCq和igd、igq分別為由abc坐標系轉換到dq坐標系獲得的d、q軸濾波電容電流和并網電流；K為電容電流的有源阻尼反饋系數。

圖1 三相LCL型并網逆變器系統結構圖Fig.1 Structure diagram of three-phase LCL grid-connected inverter

圖2 三相LCL型并網逆變器控制框圖Fig.2 Control block diagram of three-phase LCL grid-connected inverter

2.2 并網逆變器電路結構數學建模

根據圖1 所示的三相LCL 型并網逆變器系統結構，在穩態工作點處對模型進行諧波線性化處理，可得線性化的時域電路方程，如式（7）—（10）所示。

式中：Δ 表示擾動變量。將式（7）—（12）關系式轉換成形如式（1）的狀態方程，再經式（4）轉換成頻域的HSS模型，可得：

式中：Xt=［ΔIga，ΔIgb，ΔIgc，ΔVCa，ΔVCb，ΔVCc，ΔILa，ΔILb，ΔILc，ΔVdc］T，其中ΔIga由Δiga經過指數形式傅里葉分解后的傅里葉系數組成，其維數大小由所要研究的諧波次數決定，若研究k次諧波間的交互關系，則ΔIga為2k+1 階列向量，其余元素類似；Ut=［ΔVpcca，ΔVpccb，ΔVpccc，ΔSwa，ΔSwb，ΔSwc，ΔEdc］T，其元素含義與Xt相似；矩陣At、Bt的表達式分別見附錄A 式（A1）、（A2），其中O為零矩陣，T［·］為托普利茨矩陣，I為單位矩陣，N為運算中產生的對角矩陣。

2.3 并網逆變器控制結構數學建模

控制結構中采用了PI 控制的電流內環，并考慮了電容電流有源阻尼反饋。當鎖相環帶寬較小時，電壓擾動對鎖相環輸出角度的影響較?。?2］，可忽略鎖相環帶來的影響，并假設鎖相環獲得的角度為θ。HSS模型下PI控制函數GPI表示為：

式中：Kp為比例系數；Ki為積分系數。

為適應HSS模型，Park變換矩陣GPark為：

根據圖2的控制結構可列寫如下HSS方程：

式中：Xc=［XPId，XPIq］T，XPId、XPIq分別為d、q軸的狀態變量；Yc=［ΔSwa，ΔSwb，ΔSwc］T；Uc=［ΔIgd，ΔIga，ΔIgb，ΔIgc，ΔILa，ΔILb，ΔILc］T；矩陣Ac、Bc、Cc、Dc的表達式分別見附錄A式（A3）—（A6）。

2.4 諧波傳遞函數

為研究背景諧波電壓、直流紋波對系統造成的影響，以及直流紋波對網側的影響，需要將HSS方程化簡為諧波傳遞函數。

HSS方程為：

通過等式變換可得：

令：

式中：H(s)為諧波傳遞函數矩陣。相較于線性時不變模型，HSS 模型可用于研究不同頻次諧波間的傳遞關系?？蓪(s)定義為：

式中：矩陣元素為耦合系數，且都為復數。當式（20）中s=0時，通過對矩陣進行截斷，可獲得穩態時輸出變量與輸入變量間的耦合系數陣。

2.5 HSS模型下耦合系數分析

2.5.1 背景諧波電壓與并網電流

假設在交流側產生了p次諧波電流igξ，p（ξ=a，b，c），并將其時域表達式變換為如下傅里葉級數的形式：

式中：Igξ，p為諧波電流幅值；θξ，p為諧波電流的相角；Igξ，(-p)、Igξ，(+p)分別為p次諧波電流的傅里葉負系數和傅里葉正系數。根據HSS方程推導可知：

2.5.2 背景諧波電壓與直流側電壓

假設在直流側產生了r次直流擾動電壓vdc，r，并將其時域表達式變換為如下傅里葉級數的形式：

式中：Vdc，r為直流擾動電壓幅值；θr為直流擾動電壓的相角。根據HSS方程推導可知：

式中：Vpcca，v=Vpccb，v=Vpccc，v；Hξ(±r，±v)表示傅里葉系數為±r次的直流擾動電壓與傅里葉系數為±v次的背景諧波電壓之間的耦合關系。對比式（23）與式（24）可知，耦合系數w2與Hξ(+r，+v)有關。

2.5.3 直流側擾動電壓與并網電流

根據HSS方程推導可知：

2.6 并網逆變器阻抗建模

傳統阻抗特性分析可用于研究諧波諧振的產生。該方法需建立并網逆變器的輸出阻抗模型。逆變器的諾頓等效電路如附錄A 圖A1 所示。通過電網阻抗Zg與輸出阻抗Zinv（即1/Yinv）的幅頻特性曲線交截頻率處的幅值裕度與相角裕度來判斷并網系統的穩定性。

逆變器完整的HSS數學模型可表示為：

由式（26）可以得到式（27），并進一步獲得輸出導納。

式中：ΔIgξ、ΔVpccξ分別為并網電流ig、PCC 處電壓在HSS理論中的諧波系數矩陣；Hm、Hn為相應的諧波傳遞函數矩陣。獲得的輸出導納矩陣示意圖如附錄A圖A2 所示。對所獲得的輸出導納矩陣進行求逆來獲取輸出阻抗矩陣。由于HSS模型是多輸入多輸出系統，相較于傳統模型可獲得傳統模型不具備的特性，能分析更多的系統不穩定模式。

3 仿真實驗

在Simulink 中搭建了逆變器的仿真模型，在MATLAB 中實現了HSS 數學模型，仿真模型參數如附錄B 表B1 所示。將仿真結果與數學模型結果進行對比分析。

根據表B1 中的參數繪制式（21）、（22）中輸出變量Ig與輸入變量Vpcc之間的耦合系數w1示意圖，如圖3 所示。從圖中可看出，輸入變量單頻次擾動會造成輸出變量在該頻次下的響應。式（24）、（25）中耦合系數的示意圖分別如附錄B圖B1、B2所示。

圖3 輸出變量Ig與輸入變量Vpcc的耦合系數Fig.3 Coupling coefficient between output variable Ig and input variable Vpcc

3.1 背景諧波電壓對并網電流與直流電壓的影響

為了驗證HSS 模型的有效性，設置多種背景諧波電壓工況，如表1所示。

表1 背景諧波電壓工況Table 1 Conditions of background harmonic voltage

在HSS 模型中，對20 次及以內的諧波進行分析，工況1下理論與仿真結果對比圖如圖4所示。由圖可見，電網含有5 次諧波電壓，會在PCC 處產生5次諧波電流，在直流側產生6次諧波電壓擾動。

圖4 工況1下理論與仿真結果對比Fig.4 Comparison of theoretical and simulative results under Case 1

工況2—4 下理論與仿真結果對比圖分別如附錄B 圖B3—B5所示。表2、3對比了工況1—4下主要響應變量的仿真值與HSS 模型計算值，表中HSS模型計算值為耦合系數與輸入變量幅值乘積。

表2 PCC處含背景諧波電壓時并網電流幅值對比Table 2 Amplitude comparison of grid-connected current at PCC with background harmonic voltage

由表2、表3、圖3 以及附錄B 圖B1 可知：當PCC處含有6h±1 次諧波電壓擾動時，除了會造成同一頻次的并網諧波電流外，還會在直流側產生6h次的諧波電壓擾動。

表3 PCC處含背景諧波電壓時直流電壓幅值對比Table 3 Amplitude comparison of DC voltage at PCC with background harmonic voltage

3.2 直流電壓擾動對并網電流的影響

為研究逆變器直流側與交流側的諧波交互關系，在直流側設置了2 種直流電壓擾動工況：①工況5 為直流側含300 Hz 的20 V 電壓擾動；②工況6 為直流側含600 Hz的20 V電壓擾動。工況5、6下理論與仿真結果對比分別如附錄B 圖B6、B7 所示。表4給出了工況5、6 下主要響應變量的仿真值與HSS 模型計算值的對比。

表4 直流側含諧波電壓擾動時并網電流幅值對比Table 4 Amplitude comparison of grid-connected current at DC side with harmonic voltage disturbance

3.3 弱電網下逆變器的穩定性研究

奈奎斯特圖可反映弱電網下逆變器穩定性，但不能較好地反映逆變器的諧波特性?；贖SS的逆變器輸出阻抗建?？奢^好地反映弱電網下逆變器的頻率特性，能對系統的響應和動態性能的變化進行更細化的分析，具體如附錄B 圖B8 所示。圖中阻抗曲線是由逆變器HSS模型中各個頻次下的輸出阻抗諧波傳遞函數繪制而成，如H-1是由Vpccξ，-1與Igξ，-1所對應的輸出阻抗?？梢钥闯?，不同頻次下的輸出阻抗具有不同的幅頻特性。

由圖B8 可以看出：當Lg=1.5 mH 時，電網阻抗Zg的幅頻曲線與H-5的幅頻曲線在236 Hz處先相交，然后再與H0的幅頻曲線相交；當Lg=3 mH 時，Zg的幅頻曲線與H-3的幅頻曲線在134 Hz處先相交，并且隨著電網阻抗的增大，輸出阻抗與電網阻抗Zg的交截頻率在不斷地向左移動；當Lg=6 mH 時，Zg的幅頻曲線與H0的幅頻曲線在131 Hz 處相交，影響逆變器并網系統的控制性能，會導致系統不穩定。

分別對仿真中的電流數據進行了傅里葉分析，逆變器在Lg=1.5 mH 和Lg=3 mH 情形下運行相較于Lg=0 情形下的并網電流總諧波畸變率（THD）變化值如附錄B 圖B9 所示?？梢钥闯?，當電網阻抗的幅頻曲線未與H0曲線相交于236 Hz 和134 Hz，但與其他對數頻率特性曲線相交時，該交點頻率與測得的逆變器輸出電流中的諧波頻率密切相關，導致并網電流電能質量變差。

4 實驗驗證

為進一步驗證所提方法的有效性，搭建了基于RT-LAB 的實時仿真平臺實驗，使用示波器對I／O口輸出進行觀測。實驗參數與仿真參數相同。實驗平臺如附錄C圖C1所示。

RT-LAB實驗中獲得的并網電流波形圖如圖5所示。數學模型中獲得的并網電流波形圖如圖6所示，分別在0.5 s 和1 s 時對工況進行切換。對比圖5 與圖6可看出，HSS模型可以反映諧波傳遞特性，并且實驗結果與理論結果一致，驗證了HSS模型的有效性。

圖5 不同工況下并網電流的實驗波形Fig.5 Experimental waveforms of grid-connected current under different conditions

圖6 不同工況下并網電流理論波形Fig.6 Theoretical waveforms of grid-connected current under different conditions

附錄C 圖C2 為不同工況下實驗與理論的快速傅里葉變換（FFT）幅值對比圖。從圖中可看出，HSS模型結果與RT-LAB 實驗結果具有較高的符合度。HSS 模型可較好地反映交流與直流系統之間的諧波傳遞特性。

通過實驗對弱電網情形進行了驗證，分別在0.5 s 時接入Lg=1.5 mH，在1 s 時接入Lg=3 mH，在1.5 s時接入Lg=6 mH，實驗波形如圖7所示?？梢钥闯?，當Lg=6 mH時逆變器并網系統出現不穩定。

圖7 不同電網阻抗下并網電流實驗波形Fig.7 Experimental waveforms of grid-connected current under different grid impedances

5 結論

本文采用HSS 理論對PI 調節器和電容電流反饋有源阻尼控制下的三相LCL型并網逆變器進行建模，分析了電網與并網逆變器之間的諧波交互情況，得到如下結論。

1）對于逆變器內部的頻率耦合特性，采用HSS法對逆變器進行建模，可以完整地分析諧波耦合過程。當PCC 處含有6h±1 次諧波電壓擾動時，除了會造成同一頻次的并網諧波電流外，還會在直流側產生6h次的諧波電壓擾動。直流側含有6h次諧波電壓擾動會在交流側產生6h±1 次的諧波電流響應。利用諧波傳遞函數矩陣可推導交流側與交流側、交流側與直流側的耦合系數。利用HSS理論建立的模型可定量分析背景諧波電壓對直流側的影響、直流電壓擾動對交流側諧波電流的影響。

2）弱電網下，利用傳統阻抗分析法對系統穩定性分析時不能獲得所有的不穩定模式?；贖SS模型的阻抗分析法體現出與傳統建模不同的特性，能具體分析不同頻率下的逆變器輸出阻抗與電網阻抗的諧振情況，可以較好地反映逆變器并網系統諧振特性及穩定性。

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