一種基于簡化時域方程的LLC諧振變換器參數設計方法

牛靖凱，吳學智，趙宇明，荊 龍，童亦斌，辛曉敏

（1. 北京交通大學 電氣工程學院，北京 100044；2. 深圳供電局有限公司，廣東 深圳 518020）

0 引言

隨著寬禁帶器件的不斷發展，高頻化和高功率密度成為了開關電源的發展方向，而LLC 諧振變換器憑借著結構簡單、電磁干擾小、軟開關等特點成為了隔離型開關電源的研究熱點［1-3］。LLC 諧振變換器的參數設計主要圍繞諧振腔展開，包含諧振電感、勵磁電感和諧振電容3 個諧振參數，是變換器的增益、損耗、體積等特性的主要影響因素。當負載和開關頻率發生變化時，LLC 諧振變換器的工作狀態會發生改變，從而極大地增加了其諧振參數的設計難度。

目前，諧振回路參數設計方法主要可以分為基波分析法FHA（Fundamental Harmonic Approxima‐tion）、時域分析法TDA（Time Domain Analysis）以及FHA與TDA相結合3類。FHA以開關頻率作為基波頻率，通過分析LLC諧振變換器中的基波成分，建立交流等效電路，可以獲取電壓增益的數學表達式。FHA的優點在于可快速獲得諧振參數和負載變化對增益的影響關系，從而得到諧振參數明確的優化方向，但在非諧振頻率點的精度較差，導致所得到的參數準確度較低。文獻［4-5］基于FHA 均提出增大勵磁電感有利于降低損耗的觀點，并結合零電壓開關ZVS（Zero Voltage Switching）的條件計算了勵磁電感，但未考慮勵磁電感對最大增益、諧振電容耐壓的影響。文獻［6］基于FHA 得到了直流增益、輸入阻抗和關鍵點電流的公式，并利用混沌-布谷鳥搜索算法對勵磁電感、諧振電感的取值進行了優化，但由于使用FHA 導致精度較低，且算法較為復雜。文獻［7］基于FHA 分析諧振電容對關斷損耗的影響，得出了減小諧振電容有利于降低關斷損耗及縮小頻率范圍的結論，但其本質是在同一諧振頻率及頻率范圍下，諧振電容減小，諧振電感和勵磁電感增大，進而影響了關斷損耗。文獻［8］基于FHA 得到變量之間的矢量分析圖，進而對諧振參數進行設計，其過程較為直觀，但由于FHA 的精確度較差，設計結果精度較差，并需少量迭代。

TDA針對諧振過程的各個階段建立詳細的時域微分方程，并通過求解軟件進行求解得到具體的時域函數。TDA 的優點在于所求得的結果精度高，缺點是計算復雜，難以分析參數之間的影響關系，因此一般常與FHA 相結合進行分析。通過將FHA 和TDA相結合，在一定程度上可提高分析精度，降低計算量。文獻［9］通過將LLC諧振變換器在PO 模式下的波形進行簡化后分析得到了增益公式，重點分析了該模式下的邊界條件，但未利用該公式進行進一步的參數設計。文獻［10］基于TDA 分析了諧振頻率與勵磁電感對諧振點損耗及效率的影響，指出較高的諧振頻率和較大的勵磁電感有助于降低損耗、提高效率，較大的勵磁電感也會影響變換器的最大增益，但文中對最大增益的分析采用了精度較低的FHA，且未考慮諧振電容耐壓的問題。文獻［11］圍繞LLC諧振變換器原邊開關管的關斷損耗進行了詳細的時域分析，但在關斷損耗的計算中利用FHA 得到增益公式，從而降低了一定的精度，同時采用粒子群優化算法進行優化求解則增加了計算復雜性。文獻［12］基于FHA 在考慮最大增益的條件下求得了勵磁電感的最大值，并利用時域計算對最大增益進行了校正，對勵磁電感的最大值進行了進一步優化，但需要進行多次迭代。文獻［13］指出了FHA 的局限性，在考慮變換器效率、變壓器耦合系數的影響下利用Pspice 仿真提高了增益曲線的精度，且設計時還考慮了諧振電容的耐壓，但該方法僅適用于驗證諧振參數而不適用于設計。文獻［14］根據時域分析得出一套無需迭代的參數設計方法，但其計算求解較為復雜，在考慮ZVS 時僅考慮了關斷時刻諧振電流等于0 的情況，而該情況下不能實現ZVS，同時未考慮最大增益下的諧振電容電壓峰值。

通過對以上文獻進行分析總結可以發現：

1）增加勵磁電感有利于降低LLC諧振變換器的損耗，但勵磁電感的最大取值受最大增益、ZVS、最小開關頻率和諧振電容耐壓的影響，現有的分析不夠全面；

2）FHA可以快速分析各參數對LLC諧振變換器的影響，但精度較低，通過結合TDA 和仿真進行驗證或校正雖然可以提高精度但需要多次迭代；

3）直接采用TDA 的分析計算過程較為復雜，需要采用一定的近似與簡化或結合FHA 得到的公式來減少計算量，因而精度得不到保證；

為了解決以上問題，本文基于精度較高的簡化時域方程進行了分析，明確了諧振參數、增益、ZVS和諧振電容耐壓之間的關系，在考慮了以上因素后，提出了一種LLC 諧振變換器參數設計方法，并通過仿真及實驗進行了驗證。

1 電感系數對LLC諧振變換器增益的影響

本文主要圍繞如圖1 所示的LLC 諧振變換器拓撲進行分析。圖中：S1—S4為原邊開關管；Cr為諧振電容；Lr為諧振電感；Lm為變壓器勵磁電感；變壓器匝比為N∶1∶1；D1和D2為副邊整流二極管；Co為輸出濾波電容；Rload為負載電阻；Vi為輸入電壓源；Vo為輸出電壓；Vc為諧振電容上的電壓；Ir為流過諧振電感的電流；Im為變壓器勵磁電流；ID1、ID2分別為流過D1和D2的電流；IRload為流過Rload的電流。

圖1 LLC諧振變換器拓撲結構Fig.1 Topology structure of LLC resonant converter

當負載與開關頻率不同時，LLC 諧振變換器的工作狀態也不同，其時域分析也不同。為了簡化分析過程，首先明確需要分析的工況，然后分析諧振參數對電壓增益的影響。

1.1 運行工況分析

LLC 諧振變換器有3 個諧振元件，包含了2 個諧振頻率：一個為Cr和Lr的諧振頻率fr，另一個為Cr、Lr、Lm的諧振頻率fm。通常，LLC 諧振變換器的開關頻率fs>fm，原邊開關管可實現ZVS，且變換器的增益隨頻率的增加而單調遞減。

當fs=fr時，LLC 諧振變換器的增益將不受負載影響，始終等于變壓器的變比，變換器的效率最高；當fs≠fr時，隨著負載增大，LLC 諧振變換器的電壓增益將減小。

當fsfr時，原邊開關管雖然可以實現ZVS，但關斷損耗較大，且存在副邊二極管無法實現ZCS、增益隨頻率變化較小的特點，工作特性較差。因此，通常在設計時盡可能使LLC諧振變換器工作在fsfr頻段較差的工作特性，通常采用移相控制［15］、burst 模式［16］控制來進行優化，以降低損耗以及對諧振參數的需求。

根據文獻［14］可知，在全負載范圍內滿足增益范圍的需求可簡化為如下2 個：①最高開關頻率且空載條件下可以滿足最小增益；②最低開關頻率且滿載條件下可以滿足最大增益。

對于最小增益而言，其在采用移相控制、burst模式控制時易于實現，且基本不受負載和諧振參數的影響。對于最大增益而言，文獻［17］指出通過增加一定的元件，可以拓展增益范圍，從而達到更高的增益，但增加了元件成本和額外的損耗，適用于暫態升壓，不適合穩態的參數設計。而在不對LLC 諧振變換器拓撲進行改動的情況下，只有通過合理的諧振參數設計才能在fs

因此，本文的重點研究工況為fs

1.2 工作頻段的選擇對諧振參數的影響

一般fs越大，無源器件的容量和體積越小，變換器體積就可以越小。實際中，一般會根據所選控制器對開關頻率的控制精度、開關管特性等條件，預先設定一個合適的開關頻率范圍（fs_min～fs_max，其中fs_max、fs_min分別為開關頻率的最大值和最小值）作為設計指標。

由1.1 節的分析可知，為了減少fs>fr工況的使用，可根據輸入電壓范圍（Vi_min～Vi_max，其中Vi_max、Vi_min分別為輸入電壓的最大值和最小值）和額定輸出電壓VoN，合理設置fr和N，即：

若需保證額定輸入電壓ViN工況下的效率最高，則可通過改變N保證額定工況在諧振頻率下，而更小的增益通過移相控制、burst模式控制來實現。

1.3 重點工況下的簡化時域分析

在fs

圖2 LLC諧振變換器的典型波形Fig.2 Typical waveforms of LLC resonant converter

［0，t1）和［t1，t2］這2個模態下的時域表達式分別如式（3）和式（4）所示。

式中：Vc0、Vc1和Ir0、Ir1分別為0、t1時刻的諧振電容電壓和諧振電感電流，由于波形具有對稱性，t2時刻的電壓、電流值為0 時刻的相反數；V′o為折算到原邊的輸出電壓；Zr為諧振阻抗；Ln為電感系數；ωr為Lr和Cr的諧振角頻率；ωm為Lr、Lm和Cr的諧振角頻率。相關表達式如下：

根據穩態下Co上的電荷平衡可得：

根據文獻［18］的方法，利用三角近似、對稱性對式（3）、（4）、（10）進行化簡，可得簡化時域方程如下：

式中：Tk為t1與半個諧振周期的比例系數，其值接近1；Tn為歸一化的開關周期。相關表達式如下：

1.4 電感系數對增益范圍的影響

由文獻［18］可知，當fr和N確定時，諧振特性由Tn、Ln、Zr以及負載所決定。負載為設計需求，Tn為控制量，其范圍由開關頻率范圍決定，則Ln和Zr共同決定了諧振參數。

根據波形特點，取Tk=1，并結合式（12）、（14）、（15），可得：

由式（20）可以看出，Tn與增益的近似關系主要與Ln有關，因此可利用開關頻率范圍和變換器增益范圍來確定Ln，即：

2 諧振阻抗的約束條件

在滿足指標的條件下，Lm取得最大值將有利于降低變換器的損耗，Lm可表示為：

式中：Ln和fr在第1 節中已經確定，則Lm主要由Zr所決定，求Lm的最大值，即求Zr的最大值，而影響Zr最大值的因素主要有ZVS和諧振電容耐壓。

2.1 ZVS的約束條件

雖然當fs>fm時具備實現ZVS 的條件，但ZVS 實現的本質是需要t2時刻的諧振電流在死區時間內將開關管輸出電容上的電壓減小到0，即需滿足：

式中：Ir2為t2時刻的諧振電感電流；Coss為原邊開關管的輸出電容；tdead為死區時間。

忽略［t1，t2］時段諧振電流的變化，即認為Ir2=Ir1=-Ir0，結合Tk=1和式（14），可得Ir2的近似式為：

Ir2與勵磁電流峰值大小相近，而勵磁電流最小且開關管輸出電容電壓最大發生在輸入電壓最大的工況下。當輸入電壓最大時，結合式（23）、（24），可得實現ZVS的約束條件為：

2.2 諧振電容耐壓約束

當fr為定值時，Zr越大，則Cr越小，流過相同Ir時的諧振電容電壓峰值Vc_max越大。當LLC諧振變換器工作在fs_min且滿載時，Im達到最大值，Ir也達到最大值，該工況下諧振電容的電壓峰值發生在［0，t1）時段。

根據式（3），諧振電容的電壓峰值可表示為：

根據諧振電容的成本、發熱功率和選型確定其耐壓，再考慮到為暫態過程保留一定的裕量，可預先設定穩態工作時的諧振電容電壓峰值Vc_set。

式（26）包含了Ir0和Vc0這2 個變量，其中Ir0可用式（24）近似得到，Vc0可根據文獻［18］的迭代公式得到，但過于復雜?？紤]在理想條件下，在［0，t2］時段內，輸入諧振網絡的平均功率等于輸出功率，即：

而［0，t2］剛好為半個開關周期，在此期間Vi為定值，且半個開關周期內對Ir的積分與諧振電容電壓的變化量相關，同時考慮到波形的對稱性，可得Vc0的近似式為：

將Ir0和Vc0的近似式代入式（26）中，可得約束式為：

式中：a、b、c為系數。

對式（29）進行分析可知，當c<0時，該不等式無解，該情況只在Vc_set設置不合理時發生。Vc_set需令c不小于0，即：

該不等式可化簡為：

即穩態工作下諧振電容電壓峰值不小于該值。因此式（34）可為諧振電容穩態工作的最小耐壓提出設計依據，為諧振電容耐壓等級的選型提供參考。

同時，當c不小于0 時，可知a>0，b<0，則式（29）可化簡為：

通過式（35）可確定諧振電容耐壓約束下的Zr最大值。

3 設計流程

基于以上分析可知，經過工況分析和簡化時域分析后，工作頻段的選擇、增益范圍、ZVS 的實現、諧振電容電壓峰值與諧振參數之間的關系變得更加清晰，具體如下：①最大開關頻率決定諧振頻率；②輸入電壓范圍和輸出電壓范圍決定變壓器匝比；③最小開關頻率和最大增益決定電感系數；④ZVS 與諧振電容耐壓約束了諧振阻抗的最大值。

在此基礎上，本文提出一種LLC 諧振變換器參數設計方法，為了補償考慮死區時間、開關管導通壓降和各類損耗對增益的影響，設計增益將在實際增益的基礎上增加3%～5%。設計流程如下：首先，由式（1）確定fr，由式（2）確定N，由式（21）確定Ln；然后，根據式（25）、（35）確定Zr最大值；最后，由fr、Ln、Zr計算出Lr、Cr、Lm。

4 方法驗證

為了驗證所提方法的有效性，本文將從3 個方面對該方法進行驗證。首先，基于所提方法設計了一臺如附錄A 圖A1所示的實驗樣機，將理論增益和實驗結果進行對比，驗證方法的準確性；其次，為了驗證所提方法的適用性，通過改變設計指標，得到多組諧振參數，利用仿真對增益、諧振電容耐壓等關鍵參數進行驗證；最后，與采用頻域分析但設計過程需要迭代的文獻［8］方法以及采用時域分析且設計流程無需迭代的文獻［14］方法進行了對比。

4.1 準確性驗證

ZVS 約束的類似分析在很多文獻中都有提及，為了重點驗證本文所提的諧振電容耐壓約束，實驗采用了輸出電容較小的開關管GS66508B，其ZVS 很容易實現，以減小ZVS約束的影響。同時，為了減小副邊二極管壓降和損耗的影響，使用2 個EPC2033開關管并聯代替副邊二極管，并使用同步整流芯片NCP4305A 進行同步整流。實驗所使用的樣機的設計指標與相關參數如附錄A表A1所示。

為了更好地證明設計方法的精確性，在未適當增大所需增益的情況下，根據設計指標計算得到了諧振參數。實際使用的諧振元件參數存在一定的誤差，如附錄A 表A2 所示，表中諧振電感值為實際使用的諧振電感與變壓器原邊漏感之和。

利用理論數值進行時域仿真可以得到理論增益隨頻率變化的曲線，利用實際數值進行樣機測試可以得到實驗增益隨頻率變化的曲線，分別在額定負載和10%額定負載的輕載下進行了對比實驗，對比結果如圖3 所示。同時，為了進一步說明本文方法的精度較高，與基于FHA 的增益曲線進行對比。圖中，曲線①、②分別表示所需最大、最小增益，后同。

圖3 理論與實驗的增益曲線對比Fig.3 Comparison of gain curves between theory and experiment

由圖3可以看出：

1）在額定負載下，當開關頻率為352 kHz 時，理論增益和實驗增益的相對誤差最大，約為3%，輕載下的最大增益則基本完全滿足了最大增益的需求；

2）在輕載下，整體增益比額定增益略高，與1.1節中提到的滿載下滿足最大增益、空載下滿足最小增益即可在全負載范圍內滿足增益需求的結論相符；

3）理論增益和實驗增益的變化趨勢相近，存在一個不隨開關頻率明顯變化的誤差，而基于FHA 的增益的變化趨勢則與實驗增益、仿真增益不同，其誤差隨開關頻率偏離諧振頻率的程度增大而增大；

4）理論增益與實驗增益之間的誤差主要是由分布參數、損耗、整流管的同步整流效果不理想等因素造成的。

為了進一步驗證本文所提方法中時域分析的準確性，在最大增益及額定增益下的額定負載工況和10%額定負載的輕載工況下進行仿真和實驗，得到輸入諧振腔的電壓Vin、Vc、Ir和輸出電流Io的仿真及實驗波形分別如附錄A 圖A2 和圖4 所示。圖中：Vin波形可反映開關驅動信號、輸入電壓等信息；Io波形結合負載電阻的大小可以反映輸出電壓。

從圖4 中可以看出，額定負載實驗下的諧振電容電壓峰值接近300 V，與設計需求相符。額定負載和輕載下的實驗波形均較為理想。輸出電流波形存在的波動主要是由開關動作時產生的干擾導致的。

圖4 不同工況下的實驗波形Fig.4 Experimental waveforms under different working conditions

4.2 適用性驗證

通過改變樣機的輸入電壓范圍、開關頻率范圍和諧振電容耐壓，可以得到12 組諧振參數的組合，如表1所示。

表1 不同條件下的諧振參數Table 1 Resonance parameters under different conditions

利用表1 中的諧振參數與樣機參數，通過數字仿真得到增益以及諧振電容電壓峰值。由于輕載對增益曲線的影響可由4.1節得到，此處適用性驗證僅選擇本文主要研究的額定負載工況進行了仿真對比實驗，在不同最小開關頻率、不同最小輸入電壓和不同諧振電容電壓峰值參數下利用本文所提方法的增益對比和諧振電容電壓峰值對比，分別如圖5和圖6所示。

圖5 不同諧振參數下的增益曲線對比Fig.5 Comparison of gain curves under different resonant parameters

圖6 不同諧振參數下的諧振電容電壓峰值Fig.6 Peak voltage of resonant capacitor under different resonant parameters

從圖5（a）中可以看出，當增益范圍不變時，隨著開關頻率范圍變寬，本文所提方法的增益精度會有所下降；從圖5（b）中可以看出，當頻率范圍不變時，隨著增益范圍的變窄，本文所提方法的增益精度會有所下降。結合圖5（a）和圖5（b）可以看出：①本文所提方法在不同系統需求條件下的增益誤差均較小，具有一定的適用性，可以滿足參數設計的需求；②結合所需的增益范圍選擇合適的開關頻率范圍可有效提高本文所提方法的增益精度。

從圖5（c）中可以看出，諧振電容耐壓的改變，即Zr的改變，對增益曲線的影響較小，進一步驗證了開關頻率范圍與變換器增益范圍主要由電感系數決定的結論。

從圖6 中可以看出，12 組諧振參數下的諧振電容耐壓參數基本都得到了滿足，驗證了所提方法在諧振電容耐壓考慮上的有效性。

4.3 與現有方法的對比

本文所提的參數設計方法是基于時域分析且無需迭代計算的。為了進行更有效的對比，分別選取了基于FHA 和基于TDA 的參數設計方法進行對比?；贔HA 的方法選擇了設計過程較為直觀的矢量法分析［8］?，F有的基于TDA 的參數設計方法大多存在近似誤差大、迭代計算復雜等問題［9-14］，其中文獻［14］是基于時域分析且無需迭代計算的參數設計方法，與本文類似，因此選擇該方法與本文方法進行對比。

由于變壓器、電感等制作工藝會影響損耗、增益等，進而影響2 種方法的對比，因此本文采用理想仿真來進行對比。在保證相同諧振頻率、最小開關頻率、變壓器匝比且不考慮死區、磁性元件損耗等的理想仿真條件下，對本文以及文獻［8］、［14］的參數設計方法進行最大增益誤差、ZVS 實現、諧振電容電壓峰值、計算難度的對比，結果如表2所示。

表2 不同方法的結果對比Table 2 Comparison of results among different methods

從表2 中可以看出：文獻［8］的方法通過多次迭代觀察增益曲線后，可以得到較為理想的諧振參數，但其最大增益誤差較大，諧振電容電壓峰值較高；文獻［14］的方法可以基本滿足增益的需求，但并未充分考慮ZVS 條件，具體體現在令開關動作時刻的諧振電流等于0，該工況下實際并不能實現ZVS，且其諧振電容峰值電壓達到了輸入電壓2 倍以上，影響諧振電容的選型，增加了成本。同時，文獻［14］的方法在求解時需要聯立6～9 個含三角函數的方程組進行求解，較為復雜。與文獻［8］、［14］的方法相比，本文所提方法在直接計算的條件下得到了與多次迭代相近、甚至更優的設計結果。

因此，利用本文所提的參數設計方法可較準確地滿足設計指標要求。盡管由于分布參數、損耗等影響，實際增益略小于理論值，但可通過對增益最大值保留一個小的裕量來滿足實際設計需求。

5 結論

本文基于簡化時域方程提出了一種LLC諧振變換器的諧振參數設計方法，該方法的主要特點如下：

1）明確了LLC諧振參數與變換器指標之間的關系，指出了電感系數主要決定了增益范圍和開關頻率范圍，諧振阻抗受ZVS 條件和諧振電容電壓峰值的約束；

2）不需要迭代即可實現參數的優化設計，計算過程簡潔明確；

3）優化計算的準確度較高，可以滿足LLC 諧振變換器的參數設計需求。

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