以圖形的特征為切入點，解答有關直線與圓的問題

顧文佳

一般地，有關直線與圓問題的運算量較大.為了減少運算量，在解答有關直線與圓的問題時，常常需借助圖形來分析問題，以圖形的特征為切入點，根據圖形的特征、性質來尋找解題的思路.下面結合實例，談一談如何借助圖形來求解直線與圓問題.

一、從角平分線的特征入手

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線.那么角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等.這是角平分線的一個重要性質.有些直線與圓問題中涉及了角的平分線，此時可根據題意畫出圖形，從角平分線的特征入手，根據角平分線的性質建立有關角、距離的等量關系，求得問題的答案.

例1.已知在△ABC中，點A（-1，5），∠B和∠C的平分線所在直線的方程分別為x-y+2=0和y=2，求△ABC的面積.

解：由圖1可知點A關于直線x-y+2=0的對稱點A′必在直線BC上，點A關于直線y=2的對稱點A″也必在直線BC上.

設點A″（x₂，y₂），則x₂=-1，y₂=-1

所以點A″（-1，-1）.

又直線BC經過點A′（3，1）

所以直線BC的方程為x-2y-1=0.

所以點B（-5，-3）;

所以點C（5，2）.

三條內角平分線的交點是三角形的內心（即內切圓的圓心），由角平分線的性質可知該交點到三角形三邊的距離相等，所以可以斷定點A關于∠B的平分線的對稱點必在直線BC上，點A關于∠C的平分線的對稱點也必在直線BC上，據此建立方程組，便可求得B、C的坐標和三角形的面積.

二、從圓的特征入手

在一個平面內，圍繞一個點并以一定長度為半徑旋轉一周所形成的封閉曲線叫做圓.圓的性質很多，如圓是軸對稱、中心對稱圖形;等弦所對的圓周角相等或相補;直徑所對的圓周角為直角;切點與圓心的連線與切線垂直;圓心到切線的距離等于半徑;等等.在解答有關直線與圓的問題時，可從圓的特征入手，結合圖形明確圓心、切點、切線、直徑等及其位置關系，根據圓的性質建立關系式，再靈活運用圓的方程、直線的方程、點到直線的距離公式、勾股定理等來解題.

例2.已知點B（1，1）是圓O：x²+y²=4內一點，P，Q為圓O上的動點，且∠PBQ=90°，求線段PQ的中點N的軌跡方程.

解：根據題意畫出如圖2所示的圖形，連接BN， ON， OQ.

因為N是線段PQ的中點，

因為∠PBQ=90°，且N是線段PQ的中點，

設點N（x，y），則x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4

化簡得x²+y²-x-y-1=0.

故線段PQ的中點N的軌跡方程為x²+y²-x-y-1=0.

一般地，若已知點A，B在圓C上，弦AB的中點為M（如圖3），由圓的性質：切點與圓心的連線與切線垂直可得AB⊥CM，所以△AMC和△BMC都是直角三角形. 從圓的性質入手，找出圖形中的直角三角形，運用勾股定理建立關系式，即可得到動點N的軌跡方程.

三、從中垂線的特征入手

經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，又稱“中垂線”.中垂線的性質主要有：（1）中垂線垂直且平分其所在的線段;（2）中垂線上的任意一點到線段兩端點的距離相等.在解答兩圓相交問題或者圓中弦問題時，可從兩圓公共弦的中垂線入手，根據中垂線的性質，找到垂直關系或等量關系，便可快速解題.

例3.求圓心在直線3x+4y-1=0上，且經過兩圓x²+y²-x+y-2=0與x²+y²=5的交點的圓的方程.

解：記圓C₁：x²+y²-x+y-2=0，

設兩圓相交于點A，B，根據兩圓的方程可知直線AB的方程為x-y-3=0，

易知公共弦AB的中垂線為C₁C₂，

所以公共弦AB的中垂線方程為y=-x.

設所求圓的圓心為C，根據題意可知圓心C就是直線3x+4y-1=0與y=-x的交點.

所以圓心C的坐標為（-1，1）.

故圓的方程為（x+1）²+（y-1）²=13.

由于直線與圓問題都與平面圖形有關，所以在分析、解答問題時，應將數形結合起來，借助圖形來分析問題，這樣有利于提升解題的效率.從“形”入手，便于挖掘圖形的特征;然后根據圖形的特征、性質建立關系式，即可通過“數”獲得問題的答案.6D5550D2-61F0-48AE-954F-357FF8B98DB2