活用教材例題 探究題目變式

曹文科

引言

在幾何解題教學過程中，老師除了分析題目的背景、條件、結論，尋求解決題目的突破口，更要引導學生從不同角度、不同層面，用不同方法去解決題目，更進一步地要引導學生對題目的條件跟結論進行變式，從而達到觸類旁通，豁然開朗的效果.本人擬以區青年教師技能比賽解題說題環節中的一道題目為例進行剖析，以求拋磚引玉.

一、試題再現與鑒賞

題目：如圖1，?ABC內接于?O，且AB為?O的直徑，∠ACB的平分線交?O于點D，過點D在AD左側作∠ADP=∠BCD，交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E.

（1）求證：DP//AB;

（2）求證：PD是?O的切線;

（3）若AC=6，BC=8，求線段PD的長.

本題是新人教版數學九年級上冊教材第87頁例4的拓展延伸，改編于湖北省襄陽市2013年中考數學25題，條件簡明扼要，表述清楚.本題主要考查的內容有平行線的判定與性質、角平分線的定義、等腰直角三角形的性質及有關計算、勾股定理、切線的判定與性質、圓周角定理及其推論、三角形相似的判定與性質以及銳角三角函數的運用等等，涉及了數學中的“轉化思想”、“方程思想”、“建模思想”、“函數思想”，是一道難能可貴的好題.

二、解法與探究

第（1）問比較基礎，考查平行線的判定.由等弧所對的圓周角相等，得∠BCD=∠BAD，又∠ADP=∠BCD，得出∠ADP=∠BAD，即可得出結論.

第（2）問考查切線的判定.切線的判定有兩種常見的證明類型，“有點，連半徑，證垂直”、“沒點，作垂直，證半徑”，題目屬于前者，因此連結OD，需證OD⊥PD.即需證∠ODP=90°，因為DP∥AB，因為只需證∠DOB=90°，由圓周角定理，即只需證∠BCD=45°.又因為CD平分∠ACB，而∠ACB是直徑所對圓周角，即可得出結論.

第（3）問是求線段PD的長度，也是本題的精華之處.求線段長度的方法很多，常用的有相似三角形、勾股定理、銳角三角函數等，還可以結合方程思想.如何在平時的教學中引導學生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法去解決題目是我們老師必須為之思考跟探究的問題.現在筆者總結了幾種常見的解法：

視角1：利用相似三角形“子母型”結構

解法一：首先利用勾股定理求得AB的長，然后由等腰直角三角形求出AD、BD、CE，再利用勾股定理得出DE的長，并得出CD的長;接著根據弦切角定理，可得∠ADP=∠PCD，而∠DPA=∠CPD，從而得出△ADP∽△PCD，再利用方程思想建立相似三角形對應邊成比例的等量關系求出PD的長.求解過程省略.

視角2：利用內接四邊形ADBC的外角等于內對角尋找相似

解法二：由解法一的解題過程中我們可以發現△CBD三條邊長度都已知，而根據內接四邊形ADBC的外角等于內對角，不難得出∠PAD=∠CBD，而∠ADP=∠BCD，因此也可以得出△CBD∽△DAP，從而利用比例直接得出PD的長.求解過程省略.

視角3：利用等角的銳角三角函數值相等來求解

解法三：如圖3，過點A作AM⊥PD于點M，可證四邊形AMDO為正方形，且邊長為5，所以PD=PM+MD=PM+5，也就是說只要求出PM即可求出PD.由DP∥AB可得∠P=∠BAC，所以PM= 從而可以得出PD的長.求解過程省略.

視角4：利用等面積法求解

解法四：如圖4，過點C作CN⊥PD于點N，且交AB于點F，交AB于F，首先利用Rt?ABC等面積法，可得CF=4.8，從而得到CN=9.8，然后利用

得到 ，把CN、AM、CD、AE的值代入即可以得出PD的長.求解過程省略.

三、題目變式與拓展

視角1：構造“一線三垂直” 求線段的數量關系

變式一：在原題的基礎上加上“過點B作BF⊥CD于點F，求證：EF+AE=BF（或DE=BF）.變式如下：

如圖5，?ABC內接于?O，且AB為?O的直徑，∠ACB的平分線交?O于點D， 過點D在AD左側作∠ADP=∠BCD，交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F.

（1）求證： EF+AE=BF;

（2）求證：PD是?O的切線;

（3）若AC=6，BC=8，求線段PD的長.

視角2：改變特殊角∠ACB的度數，其它條件不變

變式二：把“AB為⊙O的直徑”改成“∠ACB=60°”.變式如下：

如圖6，△ABC內接于?O，∠ACB=60°，∠ACB的平分線交?O于點D，過點D在AD左側作∠ADP=∠BCD，交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E.

（1）求證：DP//AB;

（2）求證：PD是?O的切線;

（3）若AC=6， BC=8，求線段PD的長.

變式三：把“AB為⊙O的直徑”改成“∠ACB=120°”.變式如下：

如圖7，△ABC內接于?O，∠ACB=120°，∠ACB的平分線交?O于點D，過點D在AD左側作∠ADP=∠BCD，交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E.

（1）求證：DP//AB;

（2）求證：PD是?O的切線;

（3）若AC=6，BC=8，求線段PD的長.

視角3：考查“旋轉”

變式四：在原題的基礎上，第（3）問不給出線段的具體長度，探索線段AC、BC、CD之間的數量關系.變式如下：

如圖8，?ABC內接于?O，且AB為?O的直徑，∠ACB的平分線交?O于點D，過點D在AD左側作∠ADP=∠BCD，交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E.

（1）求證：DP//AB;

（2）求證：PD是?O的切線;

（3）探索線段AC、BC、CD之間存在怎樣的數量關系？

（思路：可以把△ADC繞點D順時針旋轉90°，如圖所示，可以得到 ，即 .）

四、回顧與思考

本文通過一個典型例題，引導學生通過自主研究、探索，剖開題目的表面認識到題目的本質，啟發學生一題多解、一題多變，加深學生對基本概念、定理的理解和掌握，開拓學生的解題思路，打破思維定勢，提升學生分析的能力，讓學生在分析問題時能從多角度、多層次出發，深刻理解和領悟所學內容，不斷提高學生的數學核心素養，這比讓學生沉溺于題海之中要有意義得多.正所謂：一題多解展精彩，一題多變拓思維！