回歸運算性質，統領基本題型下的不同情境

江蘇東?？h黃川中心小學（222300）朱惠敏

自從原本自成一派的應用題單元正式退出歷史舞臺，只是作為一種題型分散于各個學段后，教師就需要調整教學思路，摸索新的教學方式。為此，筆者對一、二年級的學生進行應用能力的測試，發現了一些不容忽視的問題。

一、兩次測試帶來的思考

在對一、二年級的問卷調查中，筆者編錄了一些一級運算的一步計算應用題。首次測試安排在一年級下學期教學“認識10以內的數”以后，第二次測試安排在二年級開學前半月。調研的目的是考查一年級下學期的學習對學生的實質幫助有多大。

【測評試題】商場的升降電梯從1樓上升到9樓，共升高了幾層樓？

【數據解讀】

分析表1可知，一年級學生對這類情境逼真的問題有超強的悟性：有61%的學生可以吃準題意，但由于自身知識所限，僅有8%的學生正確算出“9-1=8”的答案；10%的學生憑直覺推出答案是8，但是不會列式；43%的學生既推理出答案是8，也會按照自己的意愿列式，但遺憾的是表達出錯。經過一年級下學期的磨礪，二年級的學生數學表達能力明顯增強——完全正確的學生占比從8%提至70%，但仍然有16%的學生存在解題障礙，錯誤集中在“1+9=10”。

表1 測試情況匯總表

之所以選擇在一、二年級做這樣的問卷調查，是出于多種原因的考量。第一，一年級末到二年級初，學生仍舊處于形象思維的成長期，學生在處理一些一步計算題時，一般都是按照直觀思維來推導的。也就是說，學生在一年級學習的最簡單的加減法都是利用物品的合并和分堆這些直觀表象的，如“從9個蘋果里拿走1個蘋果，還剩幾個蘋果？”“果籃里本來只有1個蘋果，又放進8個蘋果，現在果籃里共有幾個蘋果？”。到了二年級，這些直觀表象仍然存在，學生依然需要它們，但是為了順應學生的思維發展，教材對這些直觀表象進行了一定程度的抽象化處理，那就是把過去的實物（蘋果、梨子、小鳥、金魚）抽象成樓梯、年齡、體重等，如“明明1歲，哥哥9歲，哥哥比明明大幾歲？”“明明體重50千克，爸爸體重80千克，爸爸比明明重多少千克？爸爸和明明一共重多少千克？”等，這些數量雖然有具體表象支撐，但是變得較為抽象，學生可能不知道50千克究竟有多重，9歲（二年級學生才七八歲）有多大，但是借助一年級積累的運算經驗，他們也能正確列式。因此，題目“電梯從1樓上升到9樓，共升高了幾層樓？”正好處于“半抽象半形象”的狀態，可以從算式的列法上考查學生對應用題解法的掌握情況。

二、訪談及成因分析

分析數據時，有兩個數據很“扎眼”：一是一年級學生中自主列式“1+8=9”的比率達到43%；二是二年級學生中列式“1+9=10”的比率從原先的23%減至16%，僅回跌7個百分點。前者是起步，也是教師的施教重點；后者是學習成效，也是需要克服的困難。鑒于此，筆者對上述兩類學生展開訪談。

直面學生學習的起跑線，先對列式為“1+8=9”的學生進行訪談，學生反饋的信息是：“從1樓到9樓，還差8層樓，1加8才等于9?！睂W生的答復表明，他們能明確“1樓+上升的8樓=9樓”這一基本的數量關系，但由于沒有受過正規的列式訓練，因此他們習慣于按照事情發展線索順向列式。事實上，本題應按倒推方式逆向列式，也就是采用“結果數-運算數=起始數”的邏輯方向列式，但這種表述需要調換次序和句式，還要根據事理邏輯對句式進行倒裝，因此對于未受過專業訓練的學生來說難度不小，而這恰恰是一年級下學期的教學重點。

一年級學生列出“1+8=9”這個算式實屬正常，因為受到形象思維的影響，學生做加法只會想到兩堆物品的合并，做減法只會想到從一堆物品中拿走一些。因此，“電梯從1樓上升到9樓”這個“半抽象半具體”情境已經超出學生的認知范圍（到二年級才會學習抽象的運算模型），此時學生就會自動在腦海里將其還原成原有模型——如替換成“1個蘋果加多少個蘋果變成9個蘋果”的類似情境，因為它們無論是從表述上還是從實際意義上都是按照兩個量合并的思維來傳遞信息的，學生自然會按照加法的固定思路來列式，這在一年級的訓練中不乏其例，如“1+□=9”。這是按照逆運算的思路來做減法，也就是“想加做減”，表面上做加法，實際上做的是減法。

為什么會出現這種情況呢？根本原因還是由于運算的抽象化還未起步（到二年級起步），學生的形象思維過于模式化，“蘋果情境”尚可通過改進轉化成標準的減法模型——“左邊有9個蘋果，右邊有1個蘋果，左邊比右邊多幾個蘋果？”或者“原有9個蘋果，拿走1個，還剩幾個？”，但是“樓梯情境”則難以改進，“從9樓里拿走1樓，還剩幾樓？”“這邊9樓，那邊1樓，這邊比那邊多幾樓？”都說不通，只有勉強改成“9樓比1樓高幾層？”，而這種改進需要抽象思維發展到一定程度才能完成，因為“樓層”畢竟不像“蘋果”那樣可以隨意移動。

經過一個學期的歷練之后，列式為“1+9=10”的學生的比率從原先的23%變為16%，改觀并不大，原因是什么？筆者對列式為“1+9=10”的學生進行訪談，學生主要存在兩種觀點：第一種就是揪住“升”字不放，望文生義，想當然覺得“升高”就用加法；第二種就是糾結于一個“共”字，曲解其意，過度解讀，自作聰明地盲目相加。對一、二年級學生進行訪談得出的結論基本一致。這樣列式的學生都陷入了斷章取義地推測題意的誤區，出錯在所難免。

研究發現，學生抓住個別詞眼來對整個題意妄加揣測的毛病與以往歪打正著的“成功”經驗有關，比如，對于“有15瓶蜂蜜，喝了9瓶，還有幾瓶？”等類似問題，直接將“喝”字與“減去”畫等號。之后學生遇到類似的物品外流的詞語，如“分給”“運走”，也會直接將其和減法等同起來。當這樣的思考方式一次次奏效后，學生就會對這種詞匯替換法更加信賴，逐漸形成思維定式。

對一年級下學期所有習題進行整理，發現涉及減法的習題總共32道，幾乎每道題都包含“剪掉”“拿走”“售出”“吃掉”“……比……多……”“……比……少……”等帶有暗示性的詞語。加法習題共5道，都含有“再加”“一共”等算法暗示性措辭，而每道習題的算法恰好與提示詞吻合，這就使一些學生更加認定，用關鍵詞判斷題意輕松便捷，是一種竅門。另外，學生如果只認關鍵詞，一旦關鍵詞在句型中的位置發生變動，解題方式也會受影響。一、二年級的學生讀取關鍵詞的注意順序不同，一年級學生習慣優先提取暗示加減法含義的關鍵詞，如“升到9樓”，然后按照既定算法填數。相對來說，二年級的學生能整體理解題目大意，全面考慮問題，更加注重問題中的導向性提示詞，并據此來構思解題策略，如問題中的“共升高了幾層樓”。

三、教學啟示與思考

通過測試、訪談和分析，學生在一年級下學期的學習起點和難點一一顯形。

從一年級學生的實際出發，以及考慮到學生的認知規律，在問題解決初期，適當使用提示詞解讀法，的確有助于學生迅速掌握基本解題思路。但如何做才能既厘清數量關系，又不束縛學生思維？那就要返璞歸真，從兩數關系組成的表象出發，進行專項訓練。應用題是分散在各階段的計算教學中的，計算教學大多又是以數字的拆組為理論基礎。那么對于應用題的解題方法教學，教師可以“算用”結合，引導學生回到數字的拆組中尋求解題之道。

如“貨柜上有13盒伊利優酸乳，取下6盒伊利優酸乳，還剩幾盒？”，在審題時，教師只要讓學生邊讀題，邊試著將題中的數據進行拆組演示即可（如圖1）。

圖1

學生原有的數的拆組經驗被激發并自動遷移，學生很快就明白，求“還剩幾盒”，就是求總數13中余下的部分，用減法算。如此，同樣是對題目的字面意思進行解讀和推導，但學生的注意力已經離開表示加減法的提示詞，回歸到數量關系的整體把握和理性判斷上，更多地關注總量與部分、整體與局部的關系，從而杜絕了只認關鍵詞的弊病。

一步加減應用題解決的是淺易的數量關系，如何選擇運算方法是解題重點。一年級下學期，學生初步具備分析能力，能從不同角度全面考慮問題。如圖2所示的題目，學生一般會從兩個角度剖析。

圖2

一種是“食品包裝箱里已有4筒樂事薯片，再裝幾筒后能裝滿一整箱（規格：12筒裝）？”，是全面看待問題、服從大局的整體思維，4+□=12（筒）；另一種是“食品包裝箱里能裝12筒樂事薯片，已經裝了4筒，還能裝幾筒？”，是以殘缺條件為最終問題的局部思維，12-4=□（筒）。對于學生而言，思路不同，選擇的解題方法就隨之不同。這樣的典型題，如果教師在讀題時就指引學生進行數字拆解（如圖3），借助數的組成關系圖，學生就會重新思考題中的數量關系，清醒意識到：兩種思路是辯證統一的，都是處理一個整體與兩個部分的關系。這樣加減換位思考，以及整體與部分的數量關系轉換，有助于學生透視應用題的邏輯結構，對各種數量關系以及條件與問題的因果關聯洞若觀火。如此一來，經過各種不同情境、結構的同類題的訓導，學生腦中就會形成問題的數字架構，而不是盯住個別詞眼不放。

圖3

對于一年級下學期的一道題“蛋糕店有一批蛋撻，又進貨36箱，現有78箱，蛋糕店原來有多少箱蛋撻？”，解題思路是“蛋糕店原有的蛋撻+進貨的36箱=現有的78箱”，但列式卻是用減法“78-36=42（箱）”。這類題目迷惑性較強，但在教材里僅有3例。因此，講解時，教師應該對學生進行題組訓練，提高學生以問題為導向，重組數量關系、自定義算法的能力。建議編設以下題組：

①蛋糕店有一批蛋撻，又購進36箱，現有78箱，蛋糕店原有多少箱蛋撻？

②蛋糕店有42箱蛋撻，新購一批后，現有78箱，新購的蛋撻有多少箱？

③蛋糕店原有42箱蛋撻，新購36箱，蛋糕店現有多少箱蛋撻？

通過變換句式，實現問題與條件敘述的調換，可以得到一組習題。在解答題組的過程中，教師照舊可以使用數字拆組法來教學（如圖4）。

圖4

這樣，將情境一致、結構基本相同的一組習題變成題組，學生通過比較辨析就能從不同角度掌握整體與局部的穩定數量關系，形成理性的、全面的認識。