減少暗示，讓實驗活動自然發生

江蘇南京市棲霞區龍潭中心小學江畔人家校區（210058）袁 君

一個偶然的機會，筆者讀到一篇關于三角形的教學論文，主要論述的是三角形的面積計算公式的推導法。為了教好這節課，原作者多次磨課，文章詳細介紹了其中三版教案，給讀者呈現了整個修改和完善的過程。

第一版教案，原作者先出示兩個全等的直角三角形紙片、兩個全等的銳角三角形紙片和兩個全等的鈍角三角形紙片，然后演示將兩個全等的三角形紙片拼接成平行四邊形，再通過轉化法將平行四邊形與三角形的對應元素等值代換，最后以三角形的面積是平行四邊形面積的一半為基礎，推導出三角形的面積計算公式。筆者覺得第一版教案的演示法太直接，提供的材料也是事前做了“手腳”的，斧鑿的痕跡太明顯，學生還沒經過自主思索，就已經在教師的授意和提示下拼出了平行四邊形，然后順理成章推導出三角形的面積計算公式，但這不是學生自主思考的結果，更不是學生運用智慧的成果。

第二版教案，原作者作了改進：先出示從方格紙上剪下來的三角形（每個方格的邊長都是1厘米，即方格的面積為1平方厘米），讓學生盡量沿著方格線裁剪，割補成已經學過的其他幾何圖形，然后按照方格數驗證其面積大小，最后根據重組前后兩種圖形之間的元素代換來推導三角形的面積計算公式。筆者認為這種方法只是從特殊的三角形入手，通過割補，重組成其他幾何圖形來推導面積的算法，而且一旦這種方法奏效了，學生的思維就會形成定式，不再聯想用兩個全等的三角形拼接成平行四邊形來進行推導。

第三版教案，原作者先對常見特殊的四邊形面積公式進行回顧溫習，接著出示一個長方形和兩個不同的平行四邊形，引導學生畫出這三個四邊形的對角線，并將其分別切割成兩個全等的直角三角形、兩個全等的銳角三角形和兩個全等的鈍角三角形。通過這一操作，學生驚奇地發現，每個三角形都是它所在四邊形的面積的一半，如此，學生便可以很自然地聯想到“用任意兩個完全相同的三角形都可以拼成一個平行四邊形（或長方形）”，借此便可推導出三角形的面積計算公式。

一、原作者的構思

以上三版教案各有不同，原作者也極力推崇第三版教案。筆者掩卷而思，在第三版教案中，雖然最終的三角形的面積計算公式是由學生推導出來的，但離不開教師有意引出對角線的環節，正是在這個暗示下，學生才會想到全等三角形旋轉拼接法。這種教學策略與第一版教案（直接出示成對的全等三角形）如出一轍，無非是變換了出場順序，因為最關鍵的“畫對角線”是教師直接點出來的。

那么，怎樣才能讓學生經歷有價值的思維過程呢？筆者當時也寫了一些筆記，主要觀點是將原作者第二版教案中的三角形再移回方格紙中（如圖1），每個方格的面積還是1平方厘米。此舉的目的是希望學生能夠借助方格紙的提示和啟發，在數方格和割補重組之外，也能發散思維想到擴拼法。在實際教學中，學生樂于數方格，在遇到占據“半格”的情況時，立刻就會想到割補、拼湊成整格的方法。接著，筆者繼續點撥，指出割補的缺陷——半格無法精準拼湊，能不能在保留原圖的情況下進行擴展，不作任何切割，也不計算方格數，只用方格數代表的長度來計算。在這樣的提示下，一部分學生想到了擴拼法（如圖2）。最后，筆者分發作業紙（每張紙上分別畫直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形），要求學生分別標注三角形的底和高，然后用筆將它們“復制”，擴展成長方形或平行四邊形。學生以畫代擺，將割補法和擴拼法收入囊中。

圖1

圖2

在筆者看來，原作者執教謹小慎微、瞻前顧后，內心充滿了矛盾，既想摒棄明顯的提示（第一版教案），讓學生通過完全自主的探究想到擴拼法，將兩個全等的三角形拼接成一個平行四邊形來推導三角形的面積計算公式，又擔憂學生想不到，才用格子圖來暗示（第二版教案）。但事與愿違，學生并未想到擴拼法，而是割補法，這倒是與平行四邊形聯系上了，但卻是將平行四邊形割補成長方形的那一套借鑒到三角形中，弄巧成拙。無奈之下，原作者只好直接在平行四邊形上畫對角線（第三版教案），通過輔助線提示學生逆向思考，悟出將兩個全等的三角形拼接成平行四邊形的方法，可這不就又退回到第一版教案了嗎？為此，筆者才提出折中處理的教法——借助方格紙作背景來擴拼。

二、質疑者的構思

時隔數月，有人撰文對筆者的教法提出質疑。質疑一，畫在方格紙中的三角形過于特殊，不具有代表性。質疑二，推導三角形的面積計算公式本就有多種方法，而擴拼法只是其中一種。質疑三，研究三角形的面積的方法要推廣到全部類型。對此，質疑者提出新的觀點——從直角三角形的面積入手。

筆者完全贊同后兩個質疑，但對質疑一存疑。特殊的三角形才能體現數方格法的優勢，只有存在數格子的便利，才能誘導學生去數，將具有明顯互補的兩個半格拼成一格，這實際上就是割補法。但割補法有弊端，因為割補重組后的方格數難以重新整理和清點。而擴拼成長方形或平行四邊形就可以不用數方格，直接按照方格數代表的長和寬算出四邊形的面積，三角形的面積是四邊形面積的一半就不言而喻了。因此，特殊三角形的出現只是誘餌，其目的就是誘導學生遷移聯想到一般三角形上，這個過程也體現了從特殊到一般的合情推理過程。

當然，質疑者的觀點也讓筆者獲益良多，如先讓學生試著在一個長方形上畫一條直線（切割線），切出一個直角三角形（陰影部分），學生畫出了三種情況（如圖3）。學生很快發現，第①種切法切出的直角三角形的面積是長方形面積的一半，只需測出長方形的長和寬就能推算出這個直角三角形的面積。接著，質疑者讓學生考慮后兩種切法，并提醒：“再造一個小長方形，也能使這個三角形的面積成為小長方形面積的一半?！睂W生經過一番思索，立刻用虛線畫出對應的小長方形（如圖4）。這樣教學，既達到了擴拼的目的，也達到了由特殊到一般的擴展，即任意直角三角形都可以擴拼成面積是其2倍的長方形，三角形的面積都可以通過長方形的長和寬間接求得，擴拼后的長方形的長和寬就是原直角三角形的底和高。最后，質疑者繼續擴展：“如果換成銳角三角形或鈍角三角形，你能否擴拼出類似的四邊形？”學生通過自主探究，以不同對應邊為對接線，將兩個全等三角形拼組成不同形狀的平行四邊形，并逐一推導，得出三角形的面積計算公式。

圖3

圖4

對于外界的質疑，筆者也不敢妄自菲薄。在教學中，想要達到讓學生完全自主探究的目標，教師的干預越少越好，適時的指導、點撥也不能過于明顯，必須讓學生自主思考，自然而然想到科學的方法。同時，情境的設計不能太隱晦，而且割補的痕跡要非常明顯，要讓學生憑借觀察到的形態和直覺思維就能想到擴拼法。質疑者想到了直接出示將長方形切割成兩個直角三角形的圖案，企圖讓學生在沒有任何誘導和暗示的情況下，自行想到用擴拼法推算出直角三角形的面積，而后不斷改變切割線的位置，意圖用事實讓學生明白：任意形狀的直角三角形（復制一個后）都可以拼接成一個長方形。質疑者想到了先采用特殊的直角三角形進行擴拼，促使學生建立深刻的拼接觀念，再推廣到一般三角形。

三、筆者的綜合分析

質疑者的教法很新穎，特別是讓學生在一個長方形中任意切出一個直角三角形的方式，這就涵蓋了所有的直角三角形。但細細思量，這樣的處理與開篇介紹的第三版教案犯了同樣的錯誤。原作者是在一個長方形和兩個平行四邊形上畫出對角線，一步到位完成對所有類型三角形的擴拼，而質疑者是先完成了對直角三角形的擴拼演示探究，再引出后來的任意直角三角形的擴拼。這樣的教法好像就把擴拼法默認為唯一選擇。雖然擴拼法是教學的重點，但按照學生的最近發展區而言，學生剛學過平行四邊形的面積計算，對割補法積累了豐富的經驗，如果沒有教師的刻意誘導，學生一定會首選割補法進行圖形轉化。而強推擴拼法，不顧學生的已有經驗，真的妥當嗎？

筆者綜合原作者和質疑者的意見，重新對這節課做了教學設計。借鑒質疑者的從直角三角形入手策略，筆者在方格紙中同時呈現三種三角形（如圖5），每個方格的面積還是1平方厘米。

圖5

學生先觀察直角三角形，因為直角三角形特征最明顯，很容易估測出面積。果然，在實際教學中，學生歸納出三種方法（如圖6）。方法①是直接數方格，6個整格加上6個半格等于9個整格，對應的直角三角形的面積就是9平方厘米；方法②是把直角三角形的上半部分割補到右下角，拼接成一個正方形，正方形的邊長都是3格，面積也為9平方厘米；方法③是把直角三角形擴拼成一個長方形，長方形的長有6格，寬有3格，根據長方形的面積計算公式可知其面積為18平方厘米，則直角三角形的面積為9平方厘米。接著，筆者組織學生對以上直角三角形的面積計算方法進行梳理，總結得出三角形的面積計算公式為“底×高÷2”。再來研究圖5中剩下的兩種三角形，筆者追問：“對于任意三角形，是否都能用剛才總結的‘底×高÷2’這個面積公式？”此時讓學生拿出紙片學具，分別從中挑出成對的全等三角形，并拼接成長方形或平行四邊形，進一步推導（如圖7）。最后的反饋交流中，筆者發現割補法成了小眾，擴拼法成了主流。

圖6

圖7

反饋中，筆者抓住每一組三角形，因為對接線不同，拼接出的平行四邊形的形狀也就不同，要求學生通過對比，找出不同形狀的平行四邊形中對應三角形的底和高，使學生對三角形的擴拼法有更深刻的認識，也使學生對平行四邊形與對應三角形的底和高的代換關系更清晰，這一切都是為了推導公式的便利。

不管怎么說，割補法是推導平面圖形面積的一大基本方法，是學生直觀思維的觸發器，如果繞開割補法而直接觸及擴拼法，思維跳躍過大，學生一時難以適應。在質疑者的教法中，待學生探明直角三角形面積的擴拼法后，如何過渡到一般三角形面積的擴拼法沒有明確交代，即使牽強地類比到一般三角形面積的擴拼法，學生也很難接受。因此，兩全其美的辦法就是繼續保留方格的優勢，將直角三角形面積的擴拼法放到方格紙中進行，并且創設開放性的情境。筆者并未將學生的思維圈禁在擴拼法中，而是任其自由發揮，利用方格自由割補，只要能夠充分利用方格的完整性數出面積即可。在割補法的啟發下，學生自然想到擴拼法，這才是學習真正的生成。

我們都在探尋如何促使學生自發想到推導三角形的面積策略，盡管交流中存在一些分歧，但最終的目標是一致的，那就是結合學生實際，讓思考活動變得更有價值。我們都在致力于將素材中的暗示因素減到最低，但又不至于削弱學生思考的主動性。只有我們都秉持這樣的教學觀點，學生的數學活動經驗才是有意義的，學生的觀察力和想象力才能得到最大提升。