數形結合，讓數學運算更有深度

江蘇常州市金壇西城實驗小學（213200）王 瑾

數學是一門專門研究空間形式與數量關系的學科，它的表達方式有兩種，就是“數”與“形”。而數形結合就是指根據“數”和“形”之間的內在聯系，利用“形”來表示“數”以使“數”更加直觀、具象，利用“數”來研究“形”，以使“形”更加精準、明確。能否熟練地在代數問題和幾何問題中不斷切換是解決數學問題的關鍵。

在計算教學中，教師要懂得合理運用數形結合思想，讓學生的數學思維在循序漸進中更具抽象性、靈活性與創造性，更好地協調學生的抽象思維與形象思維，還要提供優化的方法，使學生更加直觀、輕松地解決數學問題，加深對相關算理的理解，啟發他們準確掌握數學規律，提升運算能力，提高數學思維水平與綜合素養。

一、以形助數，自主探究領悟算理

在小學數學教材中，計算教學占了非常大的比重，要想讓學生真正掌握算法的內涵，先讓學生理解算理，但很多計算題的算理是隱藏的，對小學生來說是很難自主發現的。而實際教學中，教師往往重視反復練習算法，忽視學生對算理的理解，更別提讓學生在充分理解和掌握算法和算理的基礎上，將機械化的計算內容變為自主探究活動。這種重復式的練習及不明算理的計算帶來的后果就是學生只會機械地模仿，難以達到數學教學的目的。因此，要想解決以上問題，教師不僅要加強學生對算理的理解，還要運用數形結合思想，讓學生在直觀的圖形中進一步領悟算理，并于抽象中掌握算法，實現數學思維的深入發展和計算能力的有效提升。

例如，在教學“兩位數除以一位數（首位不能整除）”這一課的內容時，有一個算式72÷3，學生在計算時發現被除數的十位數除以3后還余1。這時，教師為了促進學生對算理的理解，可以組織學生利用小棒進行擺一擺和分一分的探究活動，讓學生通過實物來逐漸找到簡便的擺法，從而更好地理解算理。學生在操作活動中很快就發現：要先將7捆小棒平均分成3份，這樣一來每份就是2捆，而多余的1捆小棒則可以將其拆開與剩下的2根小棒合并在一起，再繼續平均分成3份，這樣一來每份就有4根小棒，最后將兩次平均分的結果加起來，20+4=24，所以商就是24。這時，教師可以進一步引導學生使用豎式來進行計算，并啟發學生認真思考：當十位除以3后余下的這1個十應該如何處理呢？學生在前面案例的啟發下就自然得出“要將這1個十與個位數上的2合并起來再繼續除以3”的結論，輕松解決了算理上的難點。教師根據學生的探究結果，在黑板上將豎式計算的整個過程寫出來（如圖1），并配合講解與教具演示，將“數”與“形”完整地對應起來，進一步加深學生對算理的理解。

圖1

數形結合思想就像是算理與算法之間的一條紐帶，這條紐帶連通了學生的思維，讓學生充分理解算理的本質。學生利用學具或圖片等直觀物品，從形的方向進行思考，以形助數，通過操作、聯想、對比、概括等思維發展的過程，逐漸在腦海中建立起清晰的表象，在深入理解算理，掌握算法的同時，獲得了思維的進階發展，有效提高了計算教學的效果。

二、以形思數，巧借模型優化算法

著名數學家華羅庚曾說：“人之可貴在于能創造性地思維?！敝挥芯邆淞顺錆M主動性與創造性的思維，才能真正窺探到事物的本質和發展規律，更好地創造出具有個性化、創新性的思維成果。小學生在計算學習的過程中，運用數形結合思想，能更好地激發創造性思維，想出多種算法，無形之中培養出發散性思維。通過對比、聯想和推理來探究出最優化的算法，能促進學生計算能力的提升。

例如，在教學“解決問題的策略（轉化）”這一課的內容時，教師引導學生探究“”的簡便算法。有的學生是先通分，將異分母分數轉化成同分母分數來進行簡便計算；也有的學生發現了其中蘊含的規律，即最終結果的分母與算式中最后那個分數的分母相同，而分子則比分母小1。上述兩種方法運用了代數知識，且涉及分數的計算，學生容易算錯，所以不是最優解。還有的學生利用畫圖的方法，比如，畫線段圖、圓形圖、正方形圖等來獲得算式結果（如圖2）。最終，學生在經過對比之后，一致認為通過數形結合畫出正方形圖來計算是最簡便、最直觀形象的方法。

圖2

隨后，教師又依據教材內容讓學生探索由1起始的連續奇數列的和“1+3+5+7+……”，讓學生先自己嘗試畫一畫，再進行求和，學生在邊畫圖邊思考中自主建構起連續奇數列之和的數學模型。有一部分學生利用了畫正方形圖的方式建構了相應的奇數列模型（如圖3）。

圖3

在第一個圖形中，學生畫了1個小正方形來表示1；第二個圖形是在第一個圖形的基礎上增加了3個小正方形，組合成了邊長為2的正方形，表示4；第三個圖形又比第二個圖形多了5個小正方形，組合成了邊長為3的正方形，表示9；第四個圖形比第三個圖形多了7個小正方形，組合成了邊長為4的正方形，表示16。以此類推，第五個圖形、第六個圖形……的正方形的邊長分別應為5、6……，正方形分別表示25、36……，通過觀察探究，學生發現了其中的規律，明白了要想快速得出“1+3+5+7+……”的結果，重點在于這個算式中加數的個數，它們的和等于加數個數的平方。正是通過畫圖的方式啟發了學生的創造性思維，讓學生逐漸建構起直觀的數學模型，更容易找到最優算法，快速解決數學問題，有效提高了計算的速度和正確率，也促進了學生計算能力的發展。

三、以形悟數，呈現場景感悟定律

運算定律貫穿整個小學數學學習的始終，所以熟練掌握各種運算定律是能否準確運算的關鍵。在解決實際應用題時，加法和乘法的交換律是最簡單也是最常用的運算定律，涉及一些復雜的計算題時，往往離不開加法和乘法的結合律及乘法分配律。交換律對于學生來講一般不難掌握，但是他們常常會對乘法分配律和乘法結合律的概念產生混淆。比如，在計算“（5×3）×4”時，有部分學生會把算式變形成“5×4+3×4”或者“5×4×3×4”，這就是混淆乘法結合律和乘法分配律之后出現的錯誤。產生這種錯誤的根本原因就是他們并沒有明白運算定律的實際意義，也沒有從根本上去理解運算定律。而數形結合的優勢在于可以將復雜抽象的數學問題通過一定的場景或者圖形直觀地表達出來。因此，教師可以充分利用數形結合的優勢，幫助學生理解運算定律的本質，從而更好地掌握和運用各種運算定律。

以學習乘法分配律為例，探究如何運用數形結合思想來讓學生準確掌握運算定律。乘法分配律的標準書寫方式是“（a+b）×c=a×c+b×c”，這種帶有字母的等式對于小學生來講實在過于抽象，如果單單告訴他們“a，b，c可以代表不同的數字”，那么他們往往只會把不同的數字帶進去而得到不同的等式，壓根不知道運算定律的本質，也做不到掌握和運用的程度。教師可以設置一個“小方格種農作物”的情境來幫助學生理解。如圖4，設定在淺色區域種植土豆，在深色區域種植白菜，問“一共種了多少塊地”。學生從圖中能直觀看出如何列式子來解決問題，學生最容易想到的方法就是分別將土豆的種植塊數和白菜的種植塊數相加，列出算式“4×6+6×6”，并求出答案。

圖4

在此基礎上，教師還可以引導學生觀察圖形，得出不同的式子，他們很快便能觀察到其實兩種農作物種植的列數是一致的，唯一不同的是行數，那么在求解過程中并不需要把兩種農作物分開計算，只需要計算出它們的總行數然后再乘以列數即可，得到“（4+6）×6”，最后的答案和第一個式子是一致的。教師可以引導學生思考“4×6+6×6是否等于（4+6）×6”，進而在形式上和乘法分配律靠攏，使得學生對于這種運算定律有了初步的認識。當然，僅憑這一個等式并不能得出乘法分配律的公式，還需要教師挖掘更多的事例。通過演練大量的數形結合的事例，學生才能掌握乘法分配律的本質，最終熟練運用運算定律，提升運算能力。

四、以數解形，精準計算解決問題

布魯納認為，在數學學習的過程中，深入掌握一些基礎的數學思想方法，更便于對知識的理解和記憶。而數形結合思想就是其中之一，在教學中，大部分時候教師都是用“形”來詮釋“數”的，雖然“形”有著很好的直觀形象性，但也有不容易準確表達的缺點，這時就需要用“數”來準確翻譯出“形”所表達的意思。而“數”具有抽象性的特征，能充分表達出問題的本質。因此，在解決某些問題時，我們也可以用“數”來輔助“形”。比如，利用一些數據來表示圖形的大小，并通過對數進行運算得出更為準確的結果，加強學生對數形結合思想的認識和掌握，提高學生的數學綜合素養。

例如，在學習完“長方形和正方形的周長與面積”這一內容后，教師可以在練習課上圍繞“周長和面積”這兩個概念設計一道練習題：桌子上有1根1cm長的小棒，如果用12根這樣的小棒圍出長方形或正方形，可以圍出多少個，最大的面積應是多少？這道題是對“形”的研究，但如果只是這樣，學生只能大約感受到周長一樣的情況下，如圖5的圖形面積似乎要大于如圖6的圖形面積。

圖5

圖6

那么，如何才能讓學生得出“當周長一樣時，長和寬之間的差越小，圍出的圖形面積就越大”這個結論呢？很明顯要想更加精確地進行說明，單靠“形”是無法做到的。因此，教師便進一步引導學生利用填表的方式（如表1），根據數的運算來解決問題。

表1 圍成的圖形的情況

學生在經過探究后發現：在滿足要求的三類圖形中，面積最大的是正方形。正是通過用“數”來輔助“形”的方式，讓學生更加深刻地掌握了周長和面積這兩者之間存在的關系，使問題獲得了更加準確的解答，這也是數形結合思想的價值所在。

總之，數形結合是計算教學中不可或缺的一種思想方法和有效手段。它不僅能促進計算教學的實效性，還能發展和深化學生的數學思維。通過以形演數、以形助數、以形悟數、以形思數、以數解形等方式來挖掘計算中蘊含的原理和規律。理解各種運算定律的本質，讓學生學會思考，尋找解決問題的更優思路，讓思維向更高處邁進，讓計算水平與數學素養獲得有效的提升。