高中數學教材“拓展欄目”的分布及功能分析

呂增鋒

（浙江省象山縣第二中學，浙江 寧波 315731）

數學教材是在充分考慮學生生理心理特征、教育教學原理、數學學科特點等諸多因素的基礎上精心編寫而成的，教材中不僅包含了正文、例題、習題、小結等主體內容，而且還設置了豐富的“拓展欄目”。這些“拓展欄目”融知識性、科學性、趣味性和教育性于一體，是教材不可或缺的組成部分，其廣泛的客觀基礎決定了它具有獨特的教育價值。但在實際教學中，由于受到教師課程意識薄弱、教材素養欠缺、應試教育等因素的制約，“拓展欄目”并沒有引起足夠的關注與重視?！巴卣箼谀俊北恢糜谶z忘的角落，對廣大教師而言，失去的不僅是一個豐富的資源寶藏，還有使自己從教書匠向研究者轉型的機會。

一、拓展欄目的分布與分類

以人教A 版（2019）為例，教材中的拓展欄目主要由“閱讀與思考”“探究與發現”“信息技術應用”“文獻閱讀與數學寫作”等四個子欄目組成，具體如表1：

表1 拓展欄目的主要內容

續表

根據“拓展欄目”的內容特點，可以將其分為四大類：數學史拓展欄目，例如，函數概念的發展歷程、對數的發明、笛卡爾與解析幾何等；數學知識拓展欄目，例如，向量概念的推廣與應用、方向向量與直線的參數方程、組合數的兩個性質等；科學方法拓展欄目，例如，用計算機繪制函數圖象、統計軟件的應用、圖形技術與函數性質等；數學應用拓展欄目，例如，坐標法與數學機械化、如何得到敏感性問題的誠實反應、貝葉斯公式與人工智能等。

由此可見，“拓展欄目”并不是教材內容的簡單重復，而是拓展延伸與深入探究；“拓展欄目”中蘊含著豐富的數學思想方法、數學史知識、探究性知識，是數學教學的重要資源，還是傳播人文精神、前沿理論、信息技術的重要載體，它與教材中的其他內容共同組成了完整的高中數學知識網絡。

二、拓展欄目的教育功能分析

雖然“拓展欄目”的總體功能定位是為師生提供更多的資源，更好地服務于教師的教與學生的學，但四大子欄目也各自具有獨特的功能與使命。

（一）閱讀與思考：通過閱讀拓展知識視野

“閱讀與思考”中的內容基本上是高中數學知識拓展延伸，例如，“中外歷史上的方程求解”“中國古代數學家求數列和的方法”“歐幾里得《幾何原本》與公理化方法”等，這些內容雖然考試基本不作要求，但凝聚著豐富數學思想方法與數學活動經驗，對于拓展學生的知識視野，豐富學生的數學文化素養具有不可替代的作用。不過，這些額外的知識需要以“閱讀”的方式來獲取。一是閱讀教材本身所提供的材料，但由于篇幅的限制，教材所提供信息往往不夠翔實，因此，還需要“閱讀”課外材料。至于閱讀哪些課外材料，欄目最后往往會以問題的形式提示學生：比如，“你能設計一種比較這兩個（無窮）集合中元素個數多少的方法嗎？”學生只有閱讀了有關“康托爾創建集合論”的文章，才能找到問題的答案。又比如，“你能通過上網查詢，給出一個倍增的指數函數模型實例嗎？”直接提醒學生到網上去查找相關的閱讀材料。

（二）探究與發現：為實施“數學探究活動”積累經驗

“探究與發現”中的很多內容針對的都是高中數學的重點與難點，例如，“互為反函數的兩個函數圖 象 的 關 系”“ 為 什 么是雙曲線的漸近線”“函數及函的周期”等。教材不主張將這些知識直接告訴學生，而是希望教師組織學生進行“探究與發現”。我們知道“數學探究活動”是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，它是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程?！皵祵W探究活動”對師生的知識儲備、思維水平要求較高，實施面臨較大的現實困難。如果說“數學探究活動”是對數學問題的一次“大探究”“大發現”，那么“探究與發現”就是一次“微探究”“小發現”?！疤骄颗c發現”的大量開展可以為“數學探究活動”的實施積累寶貴的經驗，其教學套路經過遷移完全可以為“數學探究活動”所用，從而產生以“微探究”撬動“大探究”的實踐效果。

（三）信息技術應用：促進信息技術與數學課程的深度融合

“信息技術應用”一方面介紹如何借助信息技術直觀呈現以往教學中難以呈現的課程內容，揭示數學的本質，例如“用計算機繪制函數圖象”“利用信息技術制作三角函數表”“概率分布圖及概率計算”等；另一方面向廣大師生推介一些功能強大的數學軟件，從常用的“幾何畫板”，到最近流行的動態幾何軟件“GeoGebra”，再到專業的統計軟件“R軟件”、數學實驗軟件“MATLAB”等。信息技術給予教學的支持是全方位的，不僅可以為學生的探究活動提供強大的技術支持，而且為不同認知風格、不同表達習慣的學生提供數學理解的機會。教師和學生可以利用技術的強大功能，做過去課堂中完全做不到的事情［1］。本欄目的出現使得“技術不僅是工具，也是數學的一部分”理念成為廣大一線教師的共識，從而促進了信息技術與數學課程的深度融合。

（四）文獻閱讀與數學寫作：發展學生用數學語言表達世界的能力

“文獻閱讀與數學寫作”在拓展學生數學文化視野的同時，其實也在發展學生的用數學語言表達世界的能力［2］。數學語言具有科學性、簡潔性、準確性的特點，它是人類表達世界最高效的語言之一。維果茨基認為數學能力的提高和數學語言的掌握有相互促進的作用［3］，很多學困生的錯誤也主要產生于在使用和理解數學語言的過程中［4］，因此，斯托利亞爾認為“數學教學也就是數學語言的教學”?！拔墨I閱讀與數學寫作”為學生理解和運用數學語言提供了全新的訓練平臺，學生通過文獻閱讀積累寫作素材，根據寫作的主題把素材按照一定邏輯進行組織，然后運用數學語言進行合理表達，展現自己的研究成果與數學觀點。在提升寫作能力的同時，有助于知識納入其已有的認知圖式，促進學習的縱深發展。

三、“拓展欄目”促使教師向“研究者”轉型

（一）教師的研究是實現“拓展欄目”教育功能的前提

“拓展欄目”是課程開發的顯性文本成果，凝聚著課程開發者的智慧，雖然具有重要的教育價值，但這些價值能否得到兌現，在很大程度上則取決于教師能否依據“拓展欄目”本身的特性，準確地闡釋“拓展欄目”的內涵，并結合學生的認知水平，進行合理甄選與改造，使“拓展欄目”中的教學資源從學術形態轉化為易于學生理解的教育形態。換言之，如果沒有教師自身的深入研究與再創造，“拓展欄目”難以發揮其固有的價值。

例如，“閱讀與思考”中的“中國古代數學家求數列和的方法”，這則材料包含了“古代數列名題”“沈括、楊輝、劉徽等古代數學家的故事”“隙積術、垛積術等數列求和的方法”，不僅涉及的知識面非常廣泛，而且還蘊含著豐富的數學文化元素，但遺憾的是教材只提供了不到兩頁的篇幅來呈現上述內容，“蜻蜓點水”式行文表達導致學生即使“閱讀”了材料，也無法理解“我國古代數列求和”到底是怎么一回事。這就要教師去研究與材料相關的文獻資料，厘清古代數列求和的來龍去脈，揭示隙積術、垛積術、招差術的原理及聯系。當然，這只是第一步，接下去更為重要的是還要研究如何把材料中的內容以適合學生認知邏輯順序進行整合，從而能夠讓學生讀懂材料所表達的意思，體會所蘊含的數學文化與數學原理。

教師是課程的直接實施者，理論與實踐的落差使得課程與教學理論常常難以預測高度復雜的課堂情境中所出現的問題。這便要求教師在已有的專業知識的基礎上不斷進行創造性的探索，將研究融合于實踐，以應對教學實踐中的具體問題［5］。

（二）“拓展欄目”為教師提供了研究的方向

滿足教學常規，信奉“經驗主義”是制約教師成為研究者的一個重要因素。一方面受傳統“教教材”理念的影響，導致教師認為自己沒有成為研究者的必要；另一方面，雖然數學教材也在更新換代，但知識結構、核心內容沒有發生根本改變，對于具備了一定從教經驗的教師來說，教材的主體知識早已了然于胸，甚至“閉著眼睛也能教”，從而產生了“已經沒有什么可以研究”的錯覺。而“拓展欄目”由于長期處在遺忘的角落，長期被人無視，這反而使它成為教材的“神秘之境”，成為值得研究的領域與對象。比如，對于“祖暅原理與柱體、錐體的體積”“牛頓法——用導數方法求方程近似解”這兩個材料，教師能夠解釋其中的數學原理，但缺乏對原理產生的歷史背景的了解，所以需要研究數學史；又比如，“孟德爾遺傳規律”“貝葉斯公式與人工智能”這兩個材料，教師對概率論盡管非常熟悉，但對于生物遺傳學與人工智能卻知之甚少，所以需要進行跨學科研究。

（三）“拓展欄目”進課堂驅動教師的研究行為

教師研究動力一部分源于自我發展的愿景，即教師要堅信：只有通過研究，才能發現學科的思想與價值，引導學生利用知識的有意義建構而產生智慧，還有一部分就是源于外部力量的驅使。實踐性是教師研究的本質特征，教師研究就是要解決教學中遇到的實際問題，以解決實際問題、改進教學實踐、提高教學質量為價值取向［6］。盡管“拓展欄目”具有很高的研究價值，但如果僅僅停留在教師自我賞析的階段而沒有進入課堂，就無法真正發揮“拓展欄目”的教學價值，形成課堂效益，就沒有足夠的動力驅動教師的研究行為。因此，如何以“拓展材料”為素材打造出精彩的數學課才是研究的目標。

例如，“中國古代數學家求數列和的方法”，涉及了三種求高階等差數列和的“術”，一節課時間是很難讓學生理解全部“術”的文化精髓的。經過分析，發現“隙積術”與“招差術”不適合在課堂中詳細展開，只有“垛積術”，往上可追溯到等差數列求和公式，往下可以遷移拓展為“裂項求和法”，跟學生的已有經驗聯系緊密，具有較大的教學價值。教師以“垛積術”為研究對象，在明確“垛積術”來龍去脈的基礎上，可以按照“認識‘垛’—計算‘垛’—優化‘垛’的算法”的邏輯順序展開教學。教師不僅為學生帶來了一場數學文化盛宴，而且也讓自己的研究成果轉化為課堂的效果，在實現了研究的價值的同時也進一步激勵教師的研究行為。

教師研究的領域與對象當然不止是教材，但不可否認作為知識濃縮、智慧結晶的教材理應成為教師的研究重點，尤其是“拓展欄目”更是有待開發的“寶藏”，對于教師教材觀念的形成、教材理解能力與用教材水平的提升具有不可估量的作用。對“拓展欄目”的研究可以促使教師從單一的教書匠、課程的傳遞者、知識的消費者，轉變為教學教育的研究者?！?/p>