打磨機器人自適應魯棒約束跟蹤控制

韓 江, 魏光耀, 董方方, 夏 鏈

(1.合肥工業大學 機械工程學院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省智能數控技術及裝備工程實驗室,安徽 合肥 230009)

打磨、拋光是大部分工業生產場景中一道必不可少的程序,使用高效、智能的打磨機器人進行打磨加工已成為一種趨勢。目前,打磨機器人大多使用六關節機械臂作為本體,而六關節機械臂是一種復雜的非線性機械系統,各關節之間存在較強的耦合關系,且在外部環境影響下易受干擾,存在參數不確定性等問題,這對機械臂的控制算法提出了較高的要求[1]。

針對上述問題,已有很多經典的控制方法,如魯棒控制[2]、滑?？刂芠3]、自適應控制[4]、神經網絡控制[5]、模糊控制[6]等。但是單一的控制方法本身存在著一定的局限性,于是許多學者嘗試將這些控制算法結合起來,以期達到更好的控制效果。其中,自適應魯棒控制是一種比較常見的結合方式,它兼具魯棒控制和自適應控制兩者的優點。魯棒控制可以快速降低由系統不確定性所帶來的誤差,而自適應控制可以對控制器的參數進行在線調節以避免魯棒控制由于考慮不確定性“最壞情況”所造成的增益過大等問題。近年來,各種形式不同的自適應魯棒控制方案被相繼提出,并應用到機械臂控制中,均取得了不錯的效果。文獻[7]將計算轉矩法用于機械臂系統標稱模型控制,設計了一個魯棒控制器作為補償項,并通過自適應算法對不確定上界進行在線估計;文獻[8]提出了一種多連桿柔性關節機械手的自適應魯棒控制方法,并在此基礎上設計了一種模糊系統的性能指標,用來解決與控制相關的優化問題;文獻[9]針對六自由度裝配機械臂的軌跡跟蹤問題,設計了一種自適應魯棒滑?？刂破?實現了精確的參數估計和對外界干擾的魯棒性;文獻[10]針對高空作業機械手模型的不確定性問題,采用魯棒控制器對系統交互力殘差進行補償,通過所提出的自適應算法來處理動態不確定性,可以保證系統的穩定性和跟蹤性能。

本文針對打磨機器人末端軌跡跟蹤控制提出一種新的自適應魯棒約束控制方法。首先,將系統的期望運動軌跡抽象為性能約束,并根據U-K(Udwadia-Kalaba)基本方程[11-12]來得到滿足該約束所需的控制輸入;然后進一步設計帶有泄露型自適應律的魯棒控制器,以補償系統的不確定性。

相較于傳統自適應魯棒控制方案,本文所提方法的主要特點如下:① 傳統的軌跡跟蹤控制將跟蹤期望軌跡作為控制目標,根據期望軌跡與系統狀態反饋信息的誤差來設計控制器,而本文把系統的軌跡誤差為0看作是系統的完整約束,將跟蹤既定約束作為控制目標,從一個新的角度來解決軌跡跟蹤控制問題;② 對于標稱模型控制,本文通過U-K方程來求解滿足系統理想約束所需要的約束力,U-K方法不需要借助拉格朗日乘子或任何輔助變量,過程簡單清晰,最顯著的優點是可以得到約束力的解析解形式;③ 在不確定性的處理方面,傳統方法大多關注的是不確定性本身,控制器只能對單一的不確定性進行補償,而本文控制方法考慮的是系統不確定性的集合,并不限于某種特定的不確定性,因而具有更好的魯棒性。

1 動力學模型

打磨機器人的前3個關節主要用于調整末端的空間位置,后3個關節主要用于調整末端的姿態,并且前3個關節的慣量與尺寸比后3個關節更大。本文對打磨機器人末端軌跡跟蹤控制進行研究,因而省去后3個關節,將六關節機械臂簡化為空間三關節機械臂,如圖1所示。

圖1 空間三關節機械臂結構簡圖

本文采用拉格朗日法對機械臂進行動力學建模,機械臂各參數符號及定義見表1所列。

表1 機械臂各參數的符號及定義

根據拉格朗日力學方程可以推導出系統的動力學方程為:

(1)

其中

h11=I1+a1cos2q2+a2cos2(q2+q3)+

2a3cosq2cos (q2+q3),

h12=h21=h13=h31=0,

h22=I2+a1+a2+2a3cosq3,

h23=h32=a2+a3cosq3,h33=I3+a2;

g1=0,g2=b1cosq2+b2cos(q2+q3),

g3=b2cos(q2+q3)。

2 控制器設計

一般的機器人系統的動力學方程可表示為:

(2)

為使控制器更具實用性,在進行控制器的設計時,考慮機械系統中可能存在的不確定性,可對M()、C()、G()進行分解[13],即

(3)

(4)

則有:

ΔS(q,δ,t)=S(q,t)N(q,δ,t)。

2.1 軌跡約束

本文將系統的期望軌跡視為施加到系統上的約束,并寫成如下形式:

(5)

整理為矩陣形式為:

B(q,t)=d(q,t)。

其中:B=[Bli]m×n;d=[d1d2…dm]T。

(5)式為約束的零階形式,將其對時間t求微分,得到約束的一階形式，即

(6)

(7)

其中:A=[Ali]m×n;c=[c1c2…cm]T。

因為二階約束在加速度上是線性的,并且滿足零階以及一階的初始條件的信息仍然會被保留在二階約束方程的初始條件中,所以二階約束是進一步進行動力學分析和控制設計的最優形式。為此,將(7)式進一步對時間t求微分,可得約束的二階形式為:

(8)

(8)式可以改寫為:

(9)

寫為矩陣形式為:

(10)

2.2 自適應魯棒控制器設計

為了便于對控制器進行設計以及對控制器的穩定性進行證明,給出以下若干假設。

假設2 對于每一個(q,t)∈Rn×R,A(q,t)是滿秩的,也即A(q,t)AT(q,t)可逆。

假設3 在假設2的前提下,給定一個矩陣?！蔙m×m,Γ>0,令

A(q,t)T[A(q,t)AT(q,t)]-1Γ-1

(11)

則存在一個可能未知的常量ωE>-1,對所有的(q,t)∈Rn×R都有:

(12)

(13)

(14)

JJ+J=J,J+JJ+=J+,

JJ+=(JJ+)T,J+J=(J+J)T。

(15)

(16)

(17)

其中

(18)

(19)

(20)

至此,提出了完整的自適應魯棒控制器為：

(21)

3 控制器穩定性分析

(1) 一致有界性。對任意r>0,存在一個η(r)<∞,若‖υ(t0)‖≤r,則對所有的t≥t0,都有‖υ(t)‖≤η(r)成立。

穩定性證明:選擇一個李雅普諾夫函數,即

(22)

為使表述簡潔化,除保留關鍵函數的參數外,下文將省略部分函數中的參數?？梢郧蟮肰的導數為:

(23)

首先分析第1部分?；?3)式中的不確定性分解及(10)式中的約束形式,第1部分可化為:

(24)

對于Ⅰ部分,將(13)式代入可得:

(25)

則有:

(26)

對于Ⅱ部分,將(14)式代入可得:

2βTΓASτ2=

(27)

對于Ⅲ部分,由假設4可知:

(28)

對于Ⅳ部分,將(17)式代入可得:

2βTΓA(S+ΔS)τ3=

(29)

根據(18)式,可得:

-2μTγμ=-2γ‖μ‖2

(30)

根據瑞利原理[14]及(12)式,可得:

-γλmin(Y+YT)‖μ‖2≤

-2γωE‖μ‖2

(31)

結合(30)式、(31)式可得:

2βTΓA(S+ΔS)τ3≤-2γ(1+ωE)‖μ‖2

(32)

由(19)式可知:

綜合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分,則對所有的‖μ‖>ε有:

-2k‖β‖2-2(1+ωE)‖μ‖+

(33)

對所有的‖μ‖≤ε,有

(34)

根據假設5,有:

(35)

綜合(33)～(35)式可知,對所有的‖μ‖都有:

(36)

對于第2部分,由(20)式有:

(37)

-χ1‖σ‖2+χ2‖σ‖+χ3

(38)

其中

(39)

(40)

一致最終有界性為:

(41)

(42)

4 數值仿真

為驗證本文提出的自適應魯棒約束控制方法的有效性,在MATLAB環境中使用龍格庫塔法進行常微分方程組的求解,并對簡化后的打磨機器人末端軌跡跟蹤控制進行數值仿真實驗研究。

圖1中,假設機械臂末端在空間坐標系中沿X軸、Y軸、Z軸的坐標分別為X、Y、Z,可以得到機械臂運動學正解，即

(43)

現給定一個機械臂末端的期望軌跡:

(44)

將(44)式代入(43)式,并分別對時間t求一階導數和二階導數,可以得到軌跡約束的一階形式和二階形式為:

c=[0.5cost-0.5sint0]T。

機械臂仿真物理參數的設置見表2所列。

表2 機械臂仿真物理參數

考慮到打磨機器人工作過程中質量可能存在不確定性,這里設置隨時間變化的擾動為:

Δm2=0.4sint, Δm3=0.2cost。

為說明本文控制算法的有效性,保持相同的初始偏差和不確定性,與文獻[8]中的自適應魯棒控制以及經典PID控制進行仿真實驗對比,將本文提出的自適應魯棒控制算法記為“ARC1”,將文獻[8]中的自適應魯棒控制記為“ARC2”。在相同仿真條件下,3種控制方法的機械臂末端運動軌跡及沿各軸方向的運動軌跡分別如圖2、圖3所示。

圖2 機械臂末端運動軌跡

圖3 機械臂末端沿各軸方向運動軌跡

由圖2、圖3可知：從同一起點出發,ARC2和PID控制在經過一段時間的跟蹤之后,仍然具有明顯的誤差；而ARC1的機械臂末端軌跡則快速地跟蹤上了期望軌跡,且基本與期望軌跡重合,相比之下,ARC1的軌跡跟蹤效果更好。

本文所提自適應魯棒控制下各個關節的控制輸入力矩隨時間的變化情況如圖4所示。從圖4可以看出,起始時刻各關節的控制力矩快速地變化以減小系統誤差。在前幾秒的時間里,由于較大的初始偏差和系統不確定性的存在,控制力矩會出現小幅度的抖振,但隨著誤差變化的平穩,控制力矩也迅速趨于穩定。

圖4 各關節控制力矩的變化

圖5 自適應參數變化

3種控制方法下的末端軌跡跟蹤誤差變化情況如圖6所示。從圖6可以看出,相較于ARC2和PID控制,ARC1具有更快的誤差收斂速度,且在達到穩態之后,ARC2和PID控制的誤差仍然有一定的波動,而ARC1的誤差變化則比較平緩。

為了更加直觀地對比仿真結果,統計出3種控制方法下的穩態誤差數據,見表3所列。其中:AVG表示t=15 s之后的平均誤差值;MAX表示t=15 s之后的最大誤差值。

圖6 機械臂末端軌跡跟蹤誤差

表3 3種控制方法穩態跟蹤誤差對比單位:m

從表3可以看出,ARC1穩態誤差的平均值和最大值均比其他2種控制方法要小得多。

綜上仿真結果可知,本文提出的自適應魯棒約束跟蹤控制與經典PID控制和傳統自適應魯棒控制相比,具有更好的軌跡跟蹤性能。

5 結 論

本文針對打磨機器人末端軌跡跟蹤控制提出了一種自適應魯棒約束控制方法。該方法將機器人末端的期望軌跡抽象為約束的形式,考慮了系統在外界條件作用下可能產生的不確定性,并假設這種不確定性存在未知的邊界,將系統分為標稱部分和不確定性部分,針對標稱部分采用基于U-K理論的標稱控制,針對不確定性部分設計了一種泄漏型自適應律,對系統不確定性進行有效地估計和補償;然后選擇合適的李雅普諾夫函數證明了該控制方法的穩定性;最后,通過仿真實驗與另一種自適應魯棒控制及經典PID控制進行對比,驗證了本文所提出的自適應魯棒約束控制方法有著更好的控制性能,對于非理想狀態下的打磨機器人末端軌跡跟蹤控制,具有良好的魯棒性和軌跡跟蹤精度。