關于不定方程x3-1=193y2

李 恒,楊 海,高志鵬

(西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

0 引言及結論

關于不定方程

x3-1=Dy2

(1)

(其中D>0且不含平方因子)的求解已得到了不少的研究。當D不含6k+1型素因子時,其整數解已由柯召和孫琦[1-2]及曹珍富[3]等人全部給出,但當D含6k+1型素因子時,此類方程的求解比較困難。 當D含6k+1型素因子且0100時,此類方程的求解只得到了一些零散的結果：牟全武等[7]證明了x3-1=103y2僅有整數解(x,y)=(1,0)；高麗等[8]證明了x3-1=559y2僅有整數解(x,y)=(1,0)；樊苗[9]證明了x3-1=181y2僅有整數解(x,y)=(1,0)；楊曉柳等[10]證明了x3-1=229y2僅有整數解(x,y)=(1,0)；朱小玲[11]證明了x3+1=559y2僅有整數解(x,y)=(-1,0)；瞿云云等[12]證明了x3-27=119y2僅有整數解(x,y)=(3,0)。本文探討了D=193的情形, 運用同余式、Pell方程解的性質及遞歸數列等初等數論方法證明了:

定理1不定方程

x3-1=193y2

(2)

僅有整數解(x,y)=(1,0)。

1 若干引理

引理1[3]設p是一個奇素數,則丟番圖方程

4x4-py2=1

除去p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外,無其他的正整數解。

引理2[13]不定方程x2-Dy4=1(其中0

引理3[3]設M與D都是整數且D>0,D不是完全平方數,K是方程

x2-Dy2=M

2 定理1的證明

顯然,不定方程x3-1=193y2有整數解(x,y)=(1,0),故只需證方程(2)無其他正整數解即可,本文中a,b均為正整數,且a,b互素。

由于gcd(x-1,x2+x+1)=gcd(x-1,3)

=1或3。

故方程(2)可分為以下4種情形：

情形I:x-1=193a2,x2+x+1=b2,

y=ab,gcd(a,b)=1

情形II:x-1=a2,x2+x+1=193b2,

y=ab,gcd(a,b)=1

情形III:x-1=579a2,x2+x+1=3b2,

y=3ab,gcd(a,b)=1

情形IV:x-1=3a2,x2+x+1=579b2,

y=3ab,gcd(a,b)=1

對情形I: 由x2+x+1=b2得(2x+1)2+3=(2b)2，所以有

(2b+2x+1)(2b-2x-1)=3

由x,b為正整數,得x=0或-1均不滿足x-1=193a2,故該情形方程(2)無解。

對情形II: 將x-1=a2代入x2+x+1=193b2可得

a4+3a2+3≡a4-a2+3≡3(mod 4)

又因為193b2≡b2(mod 4),則b2≡3(mod 4)不可能成立,故該情形方程(2)無解。

對于情形III:將x-1=579a2代入x2+x+1=3b2可得

(1 158a2+3)2+3=3(2b)2

即 (2b)2-3(386a2+1)2=1

Un=4Un-1-Un-2(n≥2),U0=1,U1=2

Un+r=UnUr+3VnVr,Vn+r=UnVr+UrVn

Un+1=2Un+3Vn,Vn+1=Un+2Vn

(3)

(4)

(5)

由386a2+1=Vn,得Vn≡1(mod 386),則有n≡1(mod 24),n≡11(mod 24)。

當n≡1(mod 24)時,不妨設n=24p+1,由386a2+1=Vn可知p≥0,其中在p=0時,易得平凡解(x,y)=(1,0)。在p>0時,由式(3)、(4)、(5)得

386a2=Vn-1=V24p+1-1

=U24p+2V24p-1

=2U12p+1V12p

龍泉村依山傍水，背靠桐柏山脈，門前淮河繞村而過。村領導班子先后引進西游記漂流、抱樸谷、神農部落、道教文化園等四大景區項目。

所以U12p+1V12p=193a2。

又由(Un,Vn)=1及式(3),(5)得

(U12p+1,V12p)=(2U12p+3V12p,V12p)

=(2U12p,V12p)=2

且193|V12p,所以必存在正整數s,t使得

U12p+1=2s2,V12p=386t2,a=2st

當n≡11(mod 24),假設n=24q+11,其中q≥0且為整數,則類似以上情形有

386a2=Vn-1=V24q+11-1

=U24q+10+2V24q+10-1

=2V12q+5(3V12q+5+2U12q+5)

=2U12q+6V12q+5

則U12q+6V12q+5=193a2。

又由(Un,Vn)=1及式(3),(5)得

(U12q+6,V12q+5)=(2U12q+5+3V12q+5,V12q+5)

=(2U12q+5,V12q+5)=2

且193|V12q+5,故必存在正整數h,k使得

U12q+6=386h2,V12q+5=2k,a=2hk

對情形IV:將x-1=3a2代入x2+x+1=579b2可得

(6a2+3)2-579(2b)2=-3

則6a2+3=Un,2b=Vn

λ2-770λ+1=0

據此可知Un與Vn滿足地推公式

Un+2=770Un+1-Un,U0=24,U1=18 504

Vn+2=770Vn+1-Vn,V0=1,V1=769

從上式可知,對任意自然數n,Vn均為奇數,這與Vn=2b矛盾,故該情形方程(2)無解。

綜合以上4種情形可知,不定方程x3-1=193y2僅有整數解(x,y)=(1,0)。