一類包含臨界Sobolev-Hardy指數的奇異橢圓方程Neumann問題*

公 艷

(山東農業大學信息科學與工程學院，山東 泰安 271018)

關于方程組

其中Ω?RN，Comete等[1]證明了當N=3時，對于每一個λ∈R+σ(-Δ)(這里σ(-Δ)表示具有邊界條件的-Δ的特征值集合)，方程組存在1個非平凡解.當N≥4,λ≥0時，方程組也存在1個非平凡解，Lions等[2-7]討論了類似的問題.

在0∈?Ω的情況下，公艷[8]討論了方程組

(1)

(2)

(3)

方程組(1)的解與能量泛函

Comte等[4]已證明：若方程組

中有正的第一特征值λ1，則有

(4)

所以，

假設如下條件成立：

(H1)Ω?RN∩{x=(x1,x2,…,xN)∈RN|xN>0}是一個有界的定義域，且滿足C1邊界條件.

記H(0)>0(0∈?Ω)為原點的平均曲率.稱Sμ為最佳常數，

Hardy不等式及相關符號定義如下：

Γ={γ∈C([0,1],H1(Ω))|γ(0)=0,J(γ(1))<0}.

定義1[2]泛函J∈C1(X,R),c∈R，假設0<μ<μ*，且c滿足

則稱J滿足(PS)c條件.

Comte等[1]已證明：假設條件(H1)及(2)～(4)式成立，對于0<μ<μ*，如果常數c滿足

那么方程組(1)存在滿足J(u)≤c的非常數解u.

公艷[9]已證明方程組

(5)

的解與變分泛函

的非零臨界點是等價的，并得到如下結論：

引理1[9]在條件(H1)下，有如下估計：

(6)

(7)

(8)

其中：K1(ε),K2(ε),K3(ε)分別滿足

y′=(y1,y2,…,yN-1)∈D(0,δ)=Bδ(0)∩{xN=0}.

筆者將在文獻[7-9]的基礎上，討論方程組

(9)

在滿足α(x)∈L∞(?Ω),α(x)≥0,α(x)不恒等于0的條件下解的存在性.

定理1在條件(H1)下，若α(x)∈L∞(?Ω),α(x)≥0,α(x)不恒等于0，則方程組(9)至少存在1個正解.

證明方程組(9)的解與變分泛函

的非零臨界點是等價的.記

(10)

因此

解得

將tε代入(10)式，可得

所以‖t0v‖>ρ且J(t0v)<0，其中t0>0.根據山路引理可知，存在序列{uk}?H1(Ω)，滿足

J(uk)→c,J′(uk)→0k→+∞,

由定義1可知J滿足(PS)c條件，于是在H1(Ω)中uk有一收斂的子序列，不妨仍記為uk，滿足uk→u.根據文獻[1]可知u為J的臨界點，即方程組(9)存在一非負解u，由強極大值原理可知u>0.證畢.