基于新非線性多重網格法的圖像去噪*

韓 粉,楊奮林

(吉首大學數學與統計學院,湖南 吉首 416000)

圖像去噪是底層圖像處理的重要內容之一.Rudin等設計的全變分(Total Variation,TV)[1]模型可以很好地保護圖像邊緣，但會使光滑過渡區域產生階梯效應[2-5].為了避免階梯效應，學者對TV模型作了改進，構造出在圖像邊緣正則項為L1范數、在圖像平坦區域正則項為L2范數的TVP模型，如基于lp的Directional Total Variation(DTV)模型[3]、分數階P-Laplace模型[4]、基于Lp偽范數的高階Overlapping Group Sparsity(OGS)模型[5]等.這些模型均使用梯度模檢測邊緣，考慮到梯度模不能有效區分圖像的邊緣和陡峭的斜坡，Chen等[2]使用差分曲率檢測邊緣，設計了基于差分曲率的TVP模型，并采用最速下降法進行了求解.但最速下降法收斂速度緩慢[6]，為了加快基于差分曲率的TVP模型的求解速度，筆者擬設計一種新的非線性多重網格(Nonlinear Multigrid,NM)法，即對差分曲率設置有效的限制算子和插值算子，以期避免網格變化對邊緣檢測算子靈敏性產生影響.

1 基于差分曲率的TVP模型

圖像的差分曲率(D)在圖像邊緣處大，在圖像的平坦、斜坡區域及孤立噪聲點處小，它能有效區分圖像的邊緣和平坦的光滑過渡區域，以及邊緣和陡峭的斜坡.基于差分曲率的TVP模型[2]如下:

(1)

(2)

(3)

其中

(4)

(5)

記非線性方程組(5)及其邊界條件為

Nhu=λhz.

(6)

2 新的非線性多重網格法

NM法[6-9]是一種求解橢圓型偏微分方程的快速方法.其基本思想是先在細網格上通過前光滑求出近似解和誤差，對誤差和殘量限制后進入套迭代；在最粗網格上求解殘量方程得到誤差，接著對誤差進行插值，校正近似解并進行后光滑，從而得到最終解.值得注意的是，網格間的轉移算子和光滑化方法在很大程度上會影響NM法的性能.

考慮到用NM法求解(6)式時，隨著網格的變化，圖像的邊緣可能會變模糊，差分曲率檢測邊緣的靈敏性可能會受到影響，筆者將對差分曲率設置合適的限制算子與插值算子，設計出新的NM法.在描述網格間的限制算子和插值算子前，先對最細網格進行標準粗化，即令較細網格上的網格中心點為較粗網格上的節點，得到一系列粗網格上的圖像域Ω2h,Ω4h,Ω8h,…,Ω2lh，其中h是網格步長，l≥1是網格重數.

對D進行限制時，令粗網格上每個節點的值等于其對應細網格上鄰近9點的加權平均,即

對D進行插值時，若細網格上的節點也是粗網格的節點，則細網格上該點的值等于其對應粗網格上的值;若細網格上的節點在粗網格上的2個節點之間，則該點的值等于其對應粗網格上鄰近2點的均值;若細網格上的節點在粗網格上的4個節點之間，則該點的值等于其對應粗網格上鄰近4點的均值，即

算法1uh←NMG(uh,zh,k,β,v1,v2).

Step1計算輸入圖像的差分曲率Dh，Ph，λh.若Ωh是最粗網格，則求解(6)式;否則，對uh進行v1次前光滑.

3 實驗部分

為了驗證新NM法的性能，用該方法和不動點迭代(Fixed Point,FP)法對3幅圖像的噪聲圖進行去噪，并通過峰值信噪比(S)和迭代時間定量分析這2種方法的去噪效果和收斂速度.3幅圖像分別是像素為256×256的Lena圖、像素為512×512的Fighter圖、像素為256×256的Cameraman圖,3幅圖像的原圖及框形區域的放大效果如圖1所示.對Lena，Fighter，Cameraman原圖依次添加標準差為10，10，20的隨機噪聲后，圖像的峰值信噪比依次為20.983 6，21.761 1，16.524 2.噪聲圖及框形區域的放大效果如圖2所示.利用FP法和新NM法分別對3幅噪聲圖進行去噪，去噪效果如圖3所示.

圖1 原圖Fig. 1 Original Diagram

圖2 噪聲圖Fig. 2 Noise Diagram

圖3 FP法和新NM法的去噪效果Fig. 3 Denoising Effect of FP Method and New NM Method

由圖3可見，相比FP法，新NM法去除噪聲更干凈，去噪后的圖像更光滑且沒有產生階梯效應，說明該方法的去噪效果更好.

表1示出了對3幅噪聲圖分別使用FP法和新NM法去噪后的峰值信噪比和迭代時間.

表1 FP法和新NM法去噪后的峰值信噪比和迭代時間Table 1 Peak Signal-to-Noise Ratio and Iteration Time in FP Method and New NM Method

由表1可知，新NM法的收斂速度是FP法的2～3倍，峰值信噪比比FP法的大0.941 8～1.883 2 dB.

4 結語

構造了一種新的NM法，該方法對差分曲率設置了有效的限制算子和插值算子.相比于FP法，用新NM法求解基于差分曲率的TVP模型，去噪效果更好且收斂速度更快.為了進一步提高峰值信噪比和加快收斂速度，未來考慮從光滑化方法的角度改進NM法，并將改進方法應用于基于差分曲率的TVP模型和高階模型.