雙迷宮型通道Helmholtz周期結構的低頻帶隙機理及隔聲特性

韓東海,張廣軍，趙靜波，胡培洲，姚 宏，劉 紅

(1.空軍工程大學基礎部，西安 710051；2.空軍工程大學航空工程學院，西安 710038)

0 引 言

低頻降噪歷來是國內外工程界學者關注的熱點問題。隨著我國空軍裝備的現代化和訓練的實戰化，飛行員將長時間在飛機機艙這種密閉艙室進行訓練和作戰。而飛機機艙距噪聲源較近，長時間的噪聲將對飛機上的精密設備和飛行員的身體健康產生極大危害，其噪聲主要特點是噪聲頻率范圍廣、低頻段噪聲作用明顯。傳統的低頻降噪手段需要龐大的系統和材料，會使飛機的重量增加，從而使飛機的作戰性能大幅降低，這顯然不符合實戰化要求。因此，尋找一種低頻、輕質、小巧的隔聲降噪材料或結構是解決這一問題的關鍵。

近年來，聲子晶體的研究應用為減振降噪、控制低頻噪聲提供了新的解決辦法。聲子晶體是由兩種或兩種以上材料組成的周期性復合材料或結構。由于聲子晶體的結構參數具有周期變化的特點，因此具有帶隙特性，具體指的是：位于帶隙頻段內的聲波或彈性波在該材料或結構內無法傳播，而帶隙頻率范圍外的聲波或彈性波可以正常傳播。正是由于這一特性，聲子晶體在隔振降噪領域不斷發展，受到各國學者關注[1-7]。Kushwaha等[8]于1993年首次提出聲子晶體概念，并且提出在該結構中存在剪切波的完整帶隙；Martínez-Sala等[9]于1995年首次驗證了彈性波帶隙的存在；Sheng等[10]發現了一種突破傳統Bragg散射型聲子晶體局限的局域共振型聲子晶體，并從此在低頻降噪領域打開了新的局面。

其中，基于局域共振原理的Helmholtz共振腔是一種典型的聲學結構，具有負質量密度、負體積模量的“雙負”特性[11-12]。該結構是基于空氣自身的振動作用，因此在材料的選用或系統的構成上，具有小型化、輕質化的優點，符合聲子晶體在實際使用過程中的需求，得到了眾多學者的認可[13-17]。Guan等[16]設計了一種螺旋形Helmholtz共振腔聲子晶體，該型聲子晶體通過改變開口處空氣柱長度，使得第一帶隙下限降至217 Hz；劉敏等[18]將Helmholtz結構設計成圓柱形開縫型，進一步打開了低頻帶隙；Jiang等[19]將Helmholtz 結構設計成雙開口形式，將第一帶隙下限降至87.1 Hz；Cai等[20]提出用長頸或螺旋頸取代了Helmholtz共振腔傳統的直頸，提高了結構的低頻降噪性能；張憲旭等[21]通過對 Helmholtz共振腔短管位置進行控制，得到了可在1 300～1 500 Hz和1 500～2 000 Hz范圍內有效控制噪聲的新型聲子晶體。

這些研究對于提高Helmholtz共振腔的聲學性能具有重要的意義，但目前考慮低頻隔聲特性的研究仍然較少，尤其是100 Hz以下的低頻段。本文設計了一種雙迷宮型通道的Helmholtz周期結構，對其帶隙機理進行了深入研究，通過有限元法得到了該結構在0～500 Hz頻率范圍內的能帶結構及隔聲特性，通過聲-電類比的方法建立該結構的等效電路模型，進一步探索了聲子晶體的帶隙機理及結構設計參數對帶隙的影響，為低頻降噪領域中聲子晶體結構設計提供了新的思考方向。

1 結構設計與特性分析

1.1 結構設計

雙迷宮型通道Helmholtz周期結構的元胞橫截面如圖1所示(其中x，y為其周期排列方向)，該結構框架為正方形結構，材質為鋼，整體分為內外兩腔，內腔通過兩個迷宮型的通道與外腔連接，其中晶格常數為a，正方形結構邊長為l，管壁厚度為d，兩側迷宮形通道的寬度為s，等效長度為l1，懸臂梁的數目為n，內腔體積為V1，外腔體積為V2。通過折疊和盤繞，迷宮型通道的設計能夠充分利用腔體空間折疊和盤繞，使得Helmholtz腔結構的空氣通道長度大幅增加，因此聲波在結構中的傳播距離能夠充分延長，可以有效降低低頻帶隙下限，狹窄的迷宮型通道通過粘滯作用使得部分聲能轉化為熱能而損耗，提高其低頻隔聲能力；同時，采用的雙開口設計，使共振區域增加，從而打開了更多低頻帶隙，并得到較低的低頻能帶特性，在結構設計中，可以通過改變通道長度及元胞之間排列方式來達到調節帶隙范圍的目的。

1.2 帶隙及隔聲特性分析

為了計算結構的帶隙結構和隔聲特性，在Comsol Multiphysics平臺上選用壓力聲學和固體力學模塊。在仿真實驗中，考慮到空氣的聲阻抗比鋼要小得多，聲波很難發生透射，因此在仿真實驗中可認為聲波透過結構框架所消耗的能量非常微小，在計算過程中可以忽略，本文將結構框架視為剛體，不考慮其振動。由于該結構在x、y方向呈周期排列，可在該元胞的在x、y方向各施加Bloch-Floquet邊界，將周期結構簡化為單一元胞結構，按照正方形晶格的不可約Brillouin區遍歷掃描，得到了該結構在0～500 Hz頻率范圍內的能帶結構。為了得到雙迷宮型通道Helmholtz周期結構在0～500 Hz頻率范圍內的隔聲特性，本文構建了由7個元胞組成的周期結構，如圖2所示。該結構在x方向上由7個元胞沿橫向周期排列，元胞中心之間距離為a，而在y方向上設置一對Bloch-Floquet周期性邊界，模擬縱向的無限周期排列。另外，在周期結構兩側分別建立入射聲場和透射聲場，聲波輸入采用平面波輻射，沿橫向垂直入射，并在周期結構另一側檢測透射聲壓。為了減小計算結果的誤差，在結構的左右兩側設置完美匹配層來吸收聲波，而對于該結構的上下兩邊，則選擇周期邊界條件來代入計算。對于本文所要研究的雙迷宮型通道的Helmholtz周期結構，可通過式(1)計算出隔聲量T(或稱傳聲損失)：

(1)

式中：Pi為入射聲壓；Po為輸出聲壓。

實驗中所設置結構參數如表1所示。

表1 結構參數Table 1 Structural parameters

仿真計算得到的帶隙結構和傳輸特性如圖3所示。

如圖3(a)所示，該結構在0～500 Hz的頻率范圍內，具有3條完整的帶隙(圖中灰色部分)，其帶隙范圍分別為34.21～94.86 Hz、251.9～252.9 Hz和257.71～295.26 Hz。其中，帶隙范圍為34.21～94.86 Hz的完整帶隙即為最低帶隙，其帶隙下限低至34 Hz左右，突破了傳統聲子晶體的帶隙下限?？紤]到實驗存在的誤差，同時也為了驗證計算的正確性，本文做出了有限周期結構的傳聲特性圖，如圖3(b)所示。通過分析傳聲特性圖可知，頻率在帶隙范圍內的聲波在該結構中傳播時受到抑制，且聲波的抑制范圍與帶隙頻率范圍相符合，充分證明了帶隙計算的正確性；同時，在35 Hz左右出現一個32 dB隔聲峰，在251 Hz處出現一個91 dB左右的隔聲峰，在259 Hz處出現一個80 dB左右的隔聲峰，表現出較高的低頻隔聲性能。另外，該結構在高頻范圍的隔聲峰值大于低頻范圍的峰值，符合聲子晶體結構的隔聲規律。

2 低頻帶隙形成機理分析與等效模型的建立

2.1 帶隙形成機理分析

從圖3(a)中可以看出，能帶曲線呈現較長的平直態，表明該結構存在局域共振模態。為了進一步探究雙迷宮型通道Helmholtz周期結構的能帶結構，揭示其帶隙形成機理，本文選取第一帶隙中的起始點和截止點(見圖3(a)所示A、B點)作為研究對象，并提取了各點處的聲場壓力分布(見圖4)，分析其帶隙的形成機理。

圖4(a)為A點的聲壓場，分析該圖可知，此時結構內腔中的聲壓較大，基本上全部聲壓都分布在內腔中，外腔的聲壓很小，幾乎為0。在迷宮型通道內，聲壓大小呈梯度變化，聲壓強度由內向外逐漸減小。這說明，在A模態狀態下，由于入射聲波的激勵，該結構內腔中的空氣與兩側迷宮通道中的空氣形成了共振，聲波因此被局域在結構的內部，無法在結構之間繼續傳遞。因此A模態對應了第一帶隙的下限，是帶隙的起始點。

圖4(b)為B點的聲壓場，分析該圖可知，與A模態相反，B模態的全部聲壓基本上都分布在外腔中，迷宮通道內聲壓強度同樣呈梯度變化，由外向內遞減，而內腔聲壓較小，且為負值。這表明，在B模態的狀態下，該頻率的聲波可以在結構之間正常傳播而不受影響。因此B模態對應了第一帶隙的上限，是帶隙的截止點。

另外，由于迷宮型通道較為狹窄，通道內壁與空氣之間會產生粘滯損失，粘滯作用使得部分聲能轉化為熱能而損耗，此時，在通道內空氣振動過程中會產生能量損失，普通波動方程的假設條件不再成立。其中，結構的熱粘性損耗主要集中在迷宮型通道處，內腔部分的熱粘性功耗可忽略不計。綜上分析，本文通過使用聲-電類比的方法來建立A、B兩種模態的等效電路模型，并對該數學模型進行研究計算，探究A、B模態對該聲子晶體的帶隙結構的影響。

2.2 建立等效電路模型

為方便讀者理解，本文在對雙迷宮型通道Helmholtz周期結構帶隙形成機理的分析中，將該結構劃分成4個部分——左側通道、右側通道、內腔和外腔。

模態A主要是由內腔及兩側的迷宮型通道的空氣區域協同共振產生，而結構外部的聲壓場壓力為0，因此外腔不做考慮。根據聲-電類比原理，Helmholtz諧振腔中各部分結構線度遠小于聲波的波長，聲波在Helmholtz腔中的動態類似于電感、電容元件在電路中的電流動態。對于Helmholtz腔的開口部分，此處可看作聲質量振子，類比為電路中的電感和電阻元件，內腔部分可看作彈性元件，類比為電容元件。因此，該結構中狹長的迷宮型通道內空氣可以等效為電感L1和L2，而內腔中空氣可等效為電容C1，由于迷宮通道比較狹窄，通道內空氣與通道壁面之間存在粘滯性阻力，會引起一部分能量損耗，相當于在等效電路模型中添加電阻R。綜上所述，其構成的等效電路如圖5所示。

設結構高度為1，圖5中L1和L2為等效電感，其表達式為：

(2)

式中：ρa為空氣密度；l1為迷宮型通道長度；S為迷宮型通道的橫截面積。

圖5中C1為內腔空氣的等效電容，其表達式為：

(3)

式中：V1為內腔體積；c為空氣中聲速。

系統結構振動的阻尼作用取決于空氣振動時通道壁面對空氣產生的粘滯性阻力，該部分的聲阻(R)表達式為：

(4)

式中：μ0為空氣的運動粘性系數。

模態A處的共振頻率計算式為：

(5)

通過上述分析可知，為進一步提高低頻隔聲特性，降低帶隙下限的起始頻率，可以增大等效電感L1和等效電容C1數值。由式(2)可知，增大等效電感L1可以通過增大迷宮型通道長度l1或者減小迷宮型通道的橫截面積S實現；由式(3)可知，增加等效電容C1可以通過增大內腔體積V1實現。這為聲子晶體的低頻設計提供方向。

對于模態B，由于左側通道、右側通道、內腔和外腔四個區域都具有聲壓場，因此在進行聲-電類比的過程中，要完全考慮4個區域的作用，其構成的等效電路如圖6所示。

圖中C2為外腔空氣的等效電容，其表達式為：

(6)

式中：V2為外腔體積。

模態B處的共振頻率計算式為：

(7)

通過上述分析可知，為增加該結構帶隙寬度，拓寬低頻隔聲的頻率范圍，提高帶隙上限的截止頻率，可以減小等效電感L1或等效電容C1、C2數值。由式(2)可知，減小等效電感L1可以通過減小迷宮型通道長度l1或者增大迷宮型通道的橫截面積S實現；由式(3)可知，減小等效電容C1可以通過減小內腔體積V1實現；由式(6)可知，減小等效電容C2可以通過減小晶格常數a實現。這為提高聲子晶體帶隙上限，拓寬帶隙寬度提供了結構設計思路。

等效電路模型計算與仿真實驗兩種方法所得結果如表2所示，其中誤差是將仿真實驗所得結果作為真實值計算所得。

表2 仿真實驗與等效模型計算結果比較Table 2 Results of simulation experiment method and equivalent model method

可見，采用等效模型進行計算所得結果與仿真實驗計算所得結果的誤差較小，證明了該方法的正確性。兩種方法產生誤差的主要原因是：(1)迷宮通道中的空氣可壓縮性的影響不可忽略，導致等效模型的計算結果出現了誤差；(2)迷宮型通道的等效長度及寬度難以精確測量，為等效模型的計算帶來誤差。

3 低頻帶隙影響因素分析

上節建立了雙迷宮型通道Helmholtz周期結構在第一低頻帶隙上限和下限處的等效電路模型，本節將通過該模型對低頻帶隙影響因素進行分析。綜合上述分析，對該結構低頻帶隙造成影響的因素主要是開口長度和晶格常數，為了便于比對分析，本文采用了控制變量法，在分析雙迷宮型通道Helmholtz周期結構的開口長度和晶格常數對低頻帶隙產生的影響時，設定其余結構參數保持不變。

3.1 開口長度對低頻帶隙的影響

為了便于對比分析，在分析開口長度對低頻帶隙的影響時，取結構參數為a=63 mm、l=60 mm、s=0.35 mm、b=0.5 mm不變，當懸臂梁個數n的數目由3到8不斷增大時，實質是迷宮型開口通道的長度不斷增加，其對應關系如表3所示。計算此時帶隙結構變化，得到迷宮型通道長度l1對帶隙結構的影響如圖7所示。

表3 懸臂梁個數n與通道長度l1的對應關系Table 3 Corresponding relationship between n and l1

如表3和圖7所示，隨著懸臂梁個數n的增加，迷宮型通道的長度在不斷增加，而第一帶隙下限和第一帶隙上限在不斷降低，帶隙寬度不斷變窄。根據等效電路模型分析可知，降低帶隙下限的起始頻率可以通過增加迷宮型通道長度l1或者增加內腔體積V1等方式實現，此時迷宮型通道長度l1的增加實質上是等效電感L1和L2的增加，同時懸臂梁個數n的增加也導致了內腔體積V1減小，但減小的幅度相對較小，而迷宮型通道長度相對大幅度增加和內腔體積相對小幅度減小相結合，從而導致帶隙下限逐漸減小。第一帶隙上限是由左側通道、右側通道、內腔和外腔4個區域共同作用所形成的結果。隨著迷宮型通道長度l1增加，等效電感L1和L2也隨之增加，而內腔空氣的等效電容C1隨之減小，外腔空氣的等效電容C2基本不變，從而導致第一帶隙上限降低，使得第一帶隙的寬度變小，實驗結果進一步證明了等效電路模型的正確性。因此通過改變懸臂梁數目n，能夠在特定頻段達到降噪消聲的效果。

3.2 晶格常數對低頻帶隙的影響

為了便于對比分析，在探究該結構的晶格常數對第一帶隙上下限的影響時，同樣保持其余結構參數固定，將結構的晶格常數a以2 mm為間隔，從62 mm增加到70 mm，計算此時帶隙結構在不同晶格常數條件下的變化，得到了第一帶隙上下限隨晶格常數增加而變化的曲線圖，如圖8所示。

圖8顯示了晶格常數a對第一帶隙的影響，通過對該圖分析可以得出，晶格常數對帶隙上限影響較大，對帶隙下限基本沒有影響。隨著晶格常數逐漸增大，其帶隙上限不斷下降，而帶隙下限基本沒有變化，導致其帶隙寬度不斷減小。通過對聲-電類比法所得的等效電路模型分析可知，增加帶隙寬度，提高帶隙上限的截止頻率，可以通過減小晶格常數a實現。實驗表明，隨著a不斷增大，其外腔空氣的等效電容C2也隨之增大，與內腔空氣的等效電容C1串聯后的電容也變大，導致帶隙上限的截止頻率下降。但從另一個角度來看，通過減小結構單元的間隔，就能夠有效擴寬該結構的帶隙寬度。

由于雙迷宮型通道Helmholtz周期結構特有的內外腔設計，可以通過減小晶格常數，增大帶隙上限，從而得到較寬的低頻帶隙寬度?？梢酝ㄟ^增加開口長度，使帶隙上限和帶隙下限有效降低，使低頻帶隙頻段發生移動，到達特定頻段。研究所得的這些結論對于該結構在低頻降噪領域的應用具有一定的參考意義。

4 結 論

本文利用Helmholtz腔這一聲學結構，提出了一種雙迷宮型通道Helmholtz周期結構，該結構在0～500 Hz范圍內存在多個低頻帶隙，且在低頻范圍內表現出了較好的隔聲特性。文中采用有限元法研究了其能帶結構和隔聲特性，并采用聲-電類比的方法構建了等效電路模型，進一步揭示了該結構的帶隙產生機理，并探究了迷宮型通道長度和晶格常數等參數對帶隙的影響。通過仿真實驗與理論推導相互驗證，證明了帶隙計算的正確性。研究表明：通過設計改變懸臂梁數目，可以在特定頻段達到降噪消聲的效果；通過減小排列間隔來減小晶格常數，可以大幅增加其帶隙范圍，擴寬帶隙寬度。這對解決寬頻隔振問題提供了思路和理論支撐，對飛機艙室中的噪聲控制問題提供了新的解決思路。