反證法在小學數學解題教學中的應用研究

◎朱翠珍

(甘肅省莊浪縣第一小學，甘肅 平涼 744600)

素質教育是現代教育改革的主旋律小學教育已經不是單純的啟蒙行為政府、學校以及家長都希望在小學階段能夠重點關注學生能力的培養，并從多方面憑借先進的教學方式促進學生的全面發展教師在開展教學活動時，要針對不同情況運用不同的教學方式教師在對學生講述解題方式時，不要拘泥于方法的講解，要注重培養學生解題的能力“授人以魚，不如授人以漁”，能力的發展是學生成長的基礎本文針對反證法在小學數學教學過程中對培養學生能力的價值體現進行研究

一、反證法的概念

反證法是指間接證明法的一種，是從反方向證明的證明方法，即肯定題設而否定結論，通過結論逆向推理出矛盾，從而證明原命題具體來講，反證是從反論題下手，把命題結果作為否定條件，讓其與條件產生矛盾，進而證明命題成立利用反證法解題時，必須用到“反設”，不然就無法構成反證法運用反證法解題時，依據反設情況，尋找合理的矛盾點并對其進行反駁，這就是“歸謬法”；想要證明的命題存在多種情況，那就一一證明它們無法成立，這就是“窮舉法”反證法在數學中是最常用的方法當解題無法在正面進行時，就可以利用反證法，此謂“正難則反”

二、反證法的原理

逆否命題與原命題的真假性相同，這是反證法的邏輯原理原命題的肯定結果與原命題的否定結果必然是對立的現象例如，原命題的肯定結果為真，那么原命題的否定結果就是不成立的；反之，原命題的肯定結果不成立，那么原命題的否定結果一定為真這里我們要特別注意，否命題和命題的否定結果是截然不同的兩個概念命題的否定結果只是關于原命題的結果做出否定證明，而否命題的存在是同時否定條件與結果，我們對此要有清晰的認識

三、利用反證法解題時的注意事項

(一)反證法需要正確運用

結果的正確否定才是反證法解題的基礎條件，否則命題無法成立數學問題的分析要清晰地掌握題型結構，掌握題干信息，從而合理地運用反證法進行解題，通過命題結果的否定來證明命題結果成立，這樣可有效將難度較大的問題進行簡化解決要想否定原命題的結果，那么在邏輯推理的開展中就要及時地發現問題與矛盾，并且主動創造矛盾反證法不僅是常規的解題方式之一，還能給正面解決問題遇到困難時，提供另一種解題思路，這樣可培養學生反向思維能力，有助于提高學生的數學綜合能力

(二)反證法的核心要點

運用反證法，必須清晰掌握反證法的核心內容：否定命題的結果，并在證明的過程中創造矛盾在解題過程中，矛盾會如何出現，以及出現什么樣的矛盾，都體現了矛盾的不準確性我們在應用反證法的過程中，保證假設成立，推理過程嚴謹且有依據，必然會找到矛盾教師在結合反證法實施數學教學的過程中，要重視“假設條件”在問題當中的應用，引導學生通過對邏輯關系的推理來掌握數學證明方法在現代數學教學活動中，反證法在解題、教學中的應用極為常見

(三)矛盾的幾種形式

利用反證法解題時，不是只能尋找題干設置的矛盾矛盾可以多種多樣的形式展現，有的是題干或者部分內容制造的矛盾；有的是與真命題產生矛盾，即肉眼可見的邏輯錯誤，如“有四條邊的圖形一定是個正方形”，便可以通過邏輯關系及“一定”等有關概念進行分析；還有的與臨時開展的假設產生矛盾，如對證明類問題的分析、歸納這類問題以求解、證明為主要任務，但題干具有更為明顯的混淆性特點，學生未必能夠快速解決相關數學問題此外，還有與已知條件產生矛盾，這類矛盾只要按照題目的邏輯關系進行逆向推理即可，證明難度并不大

四、小學數學中反證法的應用

(一)反證法在小學教學中的優勢體現

反證法是反向思維的一種論證法這種解題思路從命題的題設出發，找出矛盾，證明命題成立反證法的特點是思維靈活，簡單直接很多初學者對這種逆向思維感到不適應，無法熟練運用，有的甚至認為反證法加大了解題難度客觀來講，反證法在數學解題方式中具有很高的地位，其不僅是一種簡單、有效的解題方法，還能促進學生在解題過程中有更多的收獲面對很多難以解決的數學題，學生可以嘗試運用反證法在生活中，反證法也能為我們提供幫助我們可以將很多生活難題當作數學題，將困難反過來思考，可能會有意想不到的收獲，從而順利解決生活困難反證法的運用場景極其廣泛，數學學科的大部分內容都可以運用反證法來解決，而數學之外的學科，反證法也能給予極大的助力

反證法的靈便性得到很多數學家的認可，由此可知反證法的應用價值是極其高的從學生的學習表現來看，反證法借由提出相反的結論來幫助學生認識數學知識，在要求學生“逆向證明”的同時提出數學學習問題比如，已知有0～5 六個數字隨機排列，在每個數字的排列都不重復的情況下，其中出現的最大數一定是543210從數學結論上來看，這一觀點似乎正確但教師結合反證法可以讓學生重新認識數學知識每個數字只有使用一次的機會，但可以通過“乘方”的方式來重新表示相關數字，如51320對于學生來說，這類數學知識是新奇且陌生的教師不必在相關數學結論上下功夫，只要幫助學生掌握數學概念與反證法的應用技巧即可教師借用反證法來培養學生的推理能力，有利于開拓學生的眼界，開發學生的思維方式

(二)從實際出發巧妙運用反證法

小學數學的教學目標是以培養學生能力為主要目的，以鍛煉思維方式為基礎任務，通過解題時的技巧運用、思路轉變，提升學習興趣教師應教導學生在面對困難時不能輕言放棄，要堅持不懈，迎難而上，加強學生的信心，使學生發現實際問題并沒有想象中那么難在解題過程中，解題思路是關鍵教師應引導學生從實際情況出發，將反證法滲透到問題本身，促使問題發生變化，從而在研究探索后，總結經驗，形成有效的思維方式教師在日常教學中不能刻板，開展教學活動的時候要多滲透有關邏輯思維的培養，把數學的趣味性、娛樂性呈現給學生，讓學生發現數學是一種游戲，學習數學是充滿樂趣的事

教師在利用反證法實施數學教學工作的過程中，可嘗試結合客觀生活實踐與數學知識幫助學生應用相關數學方法，創新數學教學模式比如，現在有6條直線，這6條直線最多只能組成兩個圖形，且這兩個圖形一定是三角形利用反證法，我們可從相反的角度進行證明：只要證明6條直線組成的圖形不僅僅包含三角形或圖形的數量超過或不足2個，便可以證明以上數學結論不正確在拼接圖形之后，學生可通過幾何實踐活動完成教學任務：用4根木棒制作一個正方形，在正方形中加入兩根長度相同的木棒，通過設計平行線、對角線的方式重新歸納數學問題配合數學實踐，學生重新認識數學知識：這樣的分割能夠將一個正方形分割為3個長方形，或者4個三角形，由此證明有關結論是錯誤的先假設自己的結論成立，隨后按照自己提出的假設進行數學證明，能夠幫助學生快速掌握數學知識

(三)反證法運用的流程

“反設”“歸謬”“結論”這三步組成了反證法的主要流程，彼此聯系，共同組成了完整的反證法反設是應用反證法解題的基礎，它的正確性保證了命題結論的準確性解題前，我們需要對題干內容、相關條件、命題結論等主要因素進行全面了解與細致調查，保證在解題過程中找到矛盾，對命題結論進行證明，得出命題結論的肯定或者否定結果，這整個過程就是“反設”歸謬是指根據反設創造命題結論的矛盾，是運用反證法的重要步驟之一歸謬是在解題過程中，確定了反設條件，得到了結論內容之后，開展的解題過程結論是反證法的最后一步，其是在這個環境中產生的結論，不是命題產生了新的結論，只是解題過程中依據反設創造出來的矛盾總結出來的結論反證法的三個步驟里，反設與結論中創造出來的矛盾才是運用反證法的關鍵所在

(四)教學實例

反證法是針對數學問題在正面無法得到解答的情況下的另一種有效的解題思路主要表現為以下幾種情況．

1題干內容中條件過少，沒有合適的數學公式，無法有效推論出結果，可以采用反證法進行證明，從而得出準確的結論比如，25個小朋友參加游戲，將他們分成6個隊伍，總有一個隊伍里有5個小朋友對此進行分析：共25個小朋友，如果每隊由5個小朋友組成，那么他們無法分成6個隊伍如果每隊由4個小朋友組成，那么可以組成6個隊伍，還余出1個小朋友未加入任意隊伍結論得以證明：總有一個隊伍里有5個小朋友教師在幫助學生解答這類數學問題的過程中，要從相反的角度引導學生進行思考：假設原有的結論不成立，每個小組都能夠安排5個小朋友，或者沒有任何小組達到5個小朋友，借由兩個假設結論，讓學生找到問題的矛盾點

2很多無法進行正面證明的題目，皆以反證法進行處理：明確假設條件，創造矛盾，開展命題論證比如，三角形中，三個內角中有一個內角明確是鈍角，必然其他兩個內角是銳角對此進行分析：三角形的三個內角和是180°，90°<鈍角的角度<180°，如果其余兩個角中有一個是直角，那么另一個是銳角，0<銳角<90°，鈍角+直角>180°無法滿足三角形三個內角和是180°，產生矛盾，假設不成立如果其他兩個內角相加等于90°，與三角形明確的鈍角相矛盾，假設不成立因此，三角形兩個內角與鈍角相加為180°，并且兩個內角和<90°，該證明成立應用反證法進行解題的第二種有效方法如下：假設原結論成立，按照題目中的思路進行數學計算，當題目中的結論無法被證明時，則證明相關描述錯誤對于“三角形中，三個內角中有一個內角明確是鈍角，必然其他兩個內角是銳角”也可以通過反證法引入逆向思維來進行快速證明：假設鈍角三角形中存在兩個鈍角，則每個鈍角都大于90°，兩個鈍角相加大于180°，這一假設明顯不成立從不同的角度進行逆推也可以有效應用反證法

3小學數學教學中的重點與難點是邏輯推理，它是小學數學?？疾榈乃刭|，也是學生未來工作與學習中的主要關鍵能力比如，教師獎勵表現優秀的三個小朋友一些糖果，一共有9塊糖果，分別發給小明、小亮與小婷若小明比小亮多4塊，小婷比小明少2塊，小婷比小亮多2塊，則小婷肯定有3塊糖果分析得出：小婷有3塊糖果，如果小亮和小明也有3塊糖果，符合一共9塊糖果，但是與小婷比小明少2塊，比小亮多2塊條件矛盾，假設不成立如果小亮有1塊，小明有5塊，符合一共9塊糖果，也符合小婷比小明少2塊，比小亮多2塊糖果的條件，假設成立，因此小婷肯定有3塊糖果

4通過直觀假設應用反證法反證法的最大教學優勢便在于直觀，其省略了數學學習過程，允許學生以更為簡單的方式來解決數學問題以“擲骰子”為例，玻璃杯下面有兩個骰子，將其分別拋出，兩個骰子的點數相同的可能性為50%從結論上來看，這一問題并不存在錯誤，但骰子上有6個不同點數，當擲出骰子時，點數相同的可能性僅為16教師可結合數學假設幫助學生分析相關問題：假設結論正確，則第一次拋出骰子點數為2，拋出第二個骰子時，點數只能為2或其他另外一個數字，不能出現新的數字組合，不然結論不成立用假設驗證問題，有利于反證法的應用

五、結束語

結合以上論述，反證法在小學數學教學中存在重要意義反證法的特殊解題方式可以使學生在解題過程中有全新的視角．反證法可培養學生的逆向思維，讓學生了解數學問題的多樣變化以及不同的表達形式．針對不同題型與不同內容應用反證法，可有效鍛煉學生反證法的運用技巧，總結豐富的學習經驗教師在數學教學中培養學生的能力符合社會要求，因此應遵循教育改革的指導方針，注重學生的素質教育，促進學生能力得到有效提升，這有助于學生打好數學基礎，從而滿足其未來更高層次學習與生活的要求