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1973 年,美國中學老師斯特溫(Steuen)應用面積方法對著名的“蝴蝶定理”進行了簡捷明了的證明,后來人們就將這種證明方法稱之為“斯特溫面積法”.下面就介紹如何運用“斯特溫面積法”來證明兩線段的相等.
例1 已知過圓的弦AB的中點M,任意引兩弦CD和EF,連接DE與CF,分別交AB于P、Q.求證:MP=MQ.(蝴蝶定理)(第24屆美國大學生數學競賽題)
圖1
例2 過正方形ABCD的頂點D作DF//AC,且CF=AC,CF與AD的延長線交于M.求證:AM=AF.(2010 年沙市高中數學競賽題)
圖2
例3 設P、Q為線段BC上兩定點,且BP=CQ.A為BC外的一點,當點A運動到使∠BAP=∠CAQ時,求證:△ABC是等腰三角形.(1986年全國初中數學競賽題)
圖3
圖4
綜上所述,應用斯特溫面積法證明兩線段相等,首先觀察圖形,根據題設,建立斯特溫面積等式;然后利用三角形的邊角與面積之間的關系,結合“等高的三角形面積的比等于底邊的比”和“等底的三角形面積的比等于高的比”的性質,將有關關系式代入斯特溫面積等式,通過化簡運算進行證明即可.用斯特溫面積法證幾何題,不添加任何輔助線,現將這種思維方法歸納如下:
依據題中結論與條件的關系,確定幾個相關的三角形,其面積依次為S1、S2、S3…、Sn,組成比積式.再把需要的面積公式代入計算或化簡,從而使問題獲得解決.此法富有規律,方法明晰,符合新課程改革的理念要求,利于學生融會貫通所學幾何和代數知識,對予培養學生學習數學的興趣、提高教學質量均頗有益處.加強這一專題內容的研究,很有必要.