“對分課堂”在“兩角差的余弦公式”教學中的運用

浙江師范大學物理與電子信息工程學院 孔勝濤 321004

“對分課堂”是復旦大學張學新教授于2014 年首先提出來的一種有機融合講授式教學與討論式教學優點的教學模式，其具體操作流程如下：教師講授（Presentation）→內化吸收（Assimilation）→討論（Discussion），簡稱為PAD 課堂，又稱為對分課堂[1].近幾年，筆者在數學課堂教學中，多次嘗試運用“對分課堂”教學模式，取得了較好的教學效果.

下面以人教A《數學》必修4 中“兩角差的余弦公式”的一個教學片斷為例，介紹在數學課堂教學中嘗試運用“對分課堂”教學模式的一些做法和思考，與大家商榷.

1 教學片斷

1.1 教師講授(Presentation)

問題1 如圖1 和圖2，在平面直角坐標系xOy內作單位圓O，以Ox為始邊作角α，β，他們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B.則如何用角α，β的正弦、余弦值來表示cos(α-β)呢？

圖2

設計意圖：通過對此問題的解析，引領學生回顧平面向量數量積的定義，平面向量數量積的坐標運算，余弦函數的誘導公式等基礎知識，從中體會向量方法在推導兩角差余弦公式中的應用.（在此教學環節中，教師的講解要精練，學生要記聽課筆記）

公式①給出了任意角α，β的正弦、余弦值與差角α-β的余弦值之間的關系.稱為兩角差的余弦公式.

1.2 內化吸收(Assimilation)

這是“對分課堂”教學模式的第二個環節，也是非常重要的一個環節，教師若重視這一環節，不僅有利于提升學生學習的主動性和積極性，而且有利于培養學生的問題意識.在此環節中，教師可引導學生通過“亮考幫”對上述的講授內容進行內化吸收.

“亮”即“亮閃閃”，請學生說出經教師講授及自主學習后自己收獲最大、感受最深的一點，用一句話概括.例如，在這節課上，通過“亮閃閃”生1 說出“從上述的解析1 中不難看出，在推導兩角差的余弦公式時，注重運用向量方法不僅可使推導過程化繁為簡，而且可使推導過程化難為易”.

“考”即“考考你”，請學生把自己弄明白的知識點以問題的形式提出來，小組討論時考考其他成員.例如在這節課上，通過“考考你”生2提出“在上述的解析1中，公式①是在α，β∈[2kπ,2kπ+π]，k∈Z 的情況下得到的，那么你能證明公式①在α，β∈(2kπ+π,2kπ+2π]，k∈Z 的情況下仍然成立嗎？”

“幫”即“幫幫我”，請學生把自己不明白的知識點以問題的形式提出來，小組討論時求助別人.例如在這節課上，通過“幫幫我”生3 提出“從上述的解析1 中發現，當α-β=2kπ±θ時，公式①成立，但在圖3和圖4 的情況下，α-β≠2kπ±θ，此時公式①是否也成立？”.

圖3

圖4

1.3 討論（Discussion）

這是“對分課堂”教學模式的最后環節，在此環節中，教師可先讓學生分組圍繞“內化吸收”環節所提出的問題進行討論，然后再對各小組討論所產生的困難或疑問進行適當的引導.

師：誰能回答生2所提出的問題嗎？

教師的話音剛落，有一位男生舉手.

生4（組1）：老師，我們小組能證明公式①在α，β∈(2kπ+π,2kπ+2π]，k∈Z 的情況下仍然成立.

師：很好！請你代表組1 到講臺上給大家講解一下.

師：很好！組1 的證明方法不僅過程簡潔，而且思路清晰.讓我們再次為組1的簡潔證法鼓掌（組1欣喜）！

生3：老師，我們小組到現在還沒有解決我所提出的問題，您能講解一下嗎？

師：生3 的問題是從上述的解析1 中發現，當α-β=2kπ±θ時，公式①成立，但在圖3和圖4的情況下，α-β≠2kπ±θ，此時，公式①是否也成立？其他小組有同學能回答生3所提出的問題嗎？

巡視課堂后，教師發現學生仍沒有找到思路.因此，教師繼續向學生追問：在上述的解析1 中，夾角θ的取值范圍是什么？在圖3 的情況下，當時，α-β與θ之間有什么關系？在圖4 的情況下，當時，α-β與θ之間又有什么關系？

在教師的追問下，學生有了討論的方向，經過一番分組討論，師生合作給出了如下的解析.（教師巡視，并請生5 在黑板上板書.）

生5 的板書剛一結束，教室里自發地響起一片掌聲.

師：非常好！生5 的解題思路流暢，運算過程正確，板書清晰，字體優美，贊一個.生3，現在你能看懂上述的解析2嗎？

生3：老師，我能看懂上述的解析2，我已明白：任意角α-β要么與θ的終邊相同（如圖1），要么與2π-θ的終邊相同（如圖3）；任意角β-α要么與θ的終邊相同（如圖2），要么與2π-θ的終邊相同（如圖4），這時仍然有 cos(α-β)=cos(β-α)=cos(2π-θ)=cosθ.因此，公式①對于任意角α，β均成立.

師：生3 提的問題很好！剛才的回答也很好！請同學們課后思考上述的解析1 是否需要訂正？如有需要，如何訂正？

評注：在“對分課堂”上留出足夠的時間讓學生討論生2 和生3 所提出的問題，旨在充分發揮學生學習的主動性和積極性，從而讓學生進一步體會和理解平面向量數量積的定義，平面向量數量積的坐標運算，余弦函數的誘導公式等基礎知識及向量法在推導兩角差余弦公式中的應用.

2 教學思考

從上述的教學片斷中，我們不難發現，運用“對分課堂”教學模式進行高中數學課堂教學的意義主要在于以下兩點：

2.1 有利于提升教學的系統性和高效性

“對分課堂”教學模式的第一個環節是教師講授，而講授式教學的主要優點是能充分發揮教師的主導作用，有利于提升知識傳授的系統性和高效性.由于教師聞道在先，術業有專攻，能夠比較系統、準確地領會教材編寫意圖，吃透教材、挖掘教材的深邃內涵，所以教師能在單位時間里向學生迅速傳授較多的系統的數學知識.如在這節課上，通過教師講授，教師能在較短的時間內，引導學生運用向量法完成兩角差余弦公式證明的教學任務，這就是講授式教學的優點.因此，“對分課堂”教學模式的優點之一是有利于提升知識傳授的系統性和高效性.

2.2 有利于提升學生學習的主動性和積極性

“對分課堂”教學模式的第二個環節是內化吸收、第三個環節是討論，在教師講授和討論之間增加內化吸收環節，這是“對分課堂”教學模式的一大創新點.作為討論之前的內化吸收，不僅有助于學生主動積極地參與討論，而且有助于討論的深入進行.又因討論式教學的主要優點是能充分發揮學生的主體作用，有利于提升學生學習的主動性和積極性.如在這節課上，學生能主動積極地參與生2 和生3 所提出問題的討論，學生能在課堂上提出“從上述的證明1 中發現，當α-β=2kπ±θ時，公式①成立，但在圖3 和圖4 的情況下，α-β≠2kπ±θ，此時，公式①是否也成立？”如此的好問題，讓教師都感到十分意外，這問題有利于大幅度提升學生學習的主動性和積極性.因此，“對分課堂”教學模式的優點之二是有利于提升學生學習的主動性和積極性.