雙邊定數截尾下Pareto分布的Bayes估計

劉 芹，周菊玲

(新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

在可靠性分析與壽命分析等領域中，常會出現數據缺失的情形，而雙邊定數截尾數據是一種特殊的缺失數據，其模型為：在可靠性實驗中假定選取n個產品投入實驗，直到r個產品失效時終止實驗，設觀察到的次序失效數據為x1≤x2≤…≤xr。在實際問題中，由于實驗手段等其他因素的影響，導致有些數據未被觀察到。假設前s-1個數據丟失，則剩下的次序數據xs≤xs+1≤…≤xr，1≤s≤r≤n，此數據即為雙邊定數截尾樣本。對于此類樣本，有不少學者對其展開了研究，李艷玲[1]研究了雙參數指數分布在雙邊定數截尾下的貝葉斯預測問題，郭紅瑩等[2]、鄧嚴林[3]在雙邊定數截尾下分別研究了Burr分布、Topp-Leone分布參數的Bayes估計，田霆[4]在雙邊定數截尾下討論了Weibull分布兩參數的聯合置信區間。

Pareto分布是一種重要的壽命分布，具有遞減的失效函數，因此常被應用于個人收入、股票價格的波動、保險風險等模型。該分布的概率密度函數及分布函數為：

(1)

式中：a>0，θ>0，a為尺度參數，θ為形狀參數。近年來關于Pareto分布的研究有很多，例如，李如兵等[5]在移動極值排序集抽樣下，針對共軛先驗和杰弗萊先驗，研究了Pareto分布形狀參數的Bayes估計；周巧娟等[6]基于定數截尾數據，在復合Mlinex損失下，研究了Pareto分布參數的穩健Bayes估計；劉璐等[7]在定數截尾試驗時，給出了Pareto分布參數的最優置信區間，使得估計更加精確；Han等[8]在不同損失函數下研究了Pareto分布形狀參數的E-Bayes估計及其均方誤差。本文在前面學者研究的基礎上，基于雙邊定數截尾樣本研究Pareto分布在LINEX損失函數和復合LINEX函數下參數的Bayes估計問題。

1 預備知識

在Bayes統計決策中，無信息先驗分布和共軛先驗分布是兩種常用的先驗分布，Pareto分布參數的這兩類先驗分布有如下形式：

(2)

(3)

對于雙邊定數截尾樣本，當產品服從Pareto分布時，記x=(xs，xs+1，…，xr)，則由文獻[2]知樣本(xs，xs+1，…，xr)的聯合分布密度函數為：

(4)

將(1)式帶入式(4)得到

(5)

2 參數的Bayes估計

2.1 LINEX損失函數下參數的Bayes估計

取LINEX損失函數

Lc(θ，δ)=ec(θ-δ)-c(θ-δ)-1，c≠0

(6)

這里討論c>0的情況。

引理1 在LINEX損失函數下，對于任意先驗分布π(θ)，θ的Bayes估計為

(7)

且若此估計的Bayes風險有限，則它是唯一的Bayes估計。

定理1 設X=(X1，X2，…,Xn)是服從Pareto分布的簡單隨機樣本，在LINEX損失函數下，有以下兩種情況

(8)

(9)

證(i)由(2)和(5)式，根據Bayes公式可得θ在無信息先驗分布下的后驗分布

(10)

式(10)的分母可化為

由引理1可知，在無信息先驗分布下參數的Bayes估計為

(ii)由(3)和(5)式，根據Bayes公式可得參數θ在共軛先驗分布下的后驗分布為

(11)

由引理1可知在共軛先驗分布下參數的Bayes估計為

2.2 復合LINEX損失函數下參數的Bayes估計

復合LINEX損失函數的表達式為

L(θ，δ)=L-c(θ，δ)+Lc(θ，δ)=e-c(θ-δ)+ec(θ-δ)-2，c>0

引理2 在復合LINEX損失函數下，對任意先驗分布π(θ)，θ的Bayes估計為

(12)

定理2 設X=(X1，X2，…,Xn)是服從Pareto分布的簡單隨機樣本，在復合LINEX損失函數下，有以下兩種情況

(13)

(14)

由引理2，類似定理1 的證明過程即可證得。

3 數值模擬

表1 模擬結果

由表1可知，在同一個損失函數下，對比兩先驗先分布下參數估計的均方誤差，發現共軛先驗分布下參數估計的均方誤差較小，因此參數θ取共軛先驗分布時，參數的Bayes估計更接近真值；在同一個先驗分布下，LINEX損失函數下參數的Bayes估計的均方誤差較小，同時在LINEX損失下，參數θ取共軛先驗分布時，參數的Bayes估計模擬效果更好。

4 實例分析

Arnold在其著作中給出了一組服從Pareto分布的數據。 50名高爾夫球手收入超過70 000美元，他們到1980年為止的收入為3581、1690、1433、1184、1066、1005、883、841、778、753、2474、1684、1410、1171、1056、1001、878、825、778、746、2202、1627、1374、1109、1051、965、871、820、771、729、1858、1537、1338、1095、1031、944、849、816、769、712、1829、1519、1208、1092、1016、912、844、814、759、708美元，且這些數據服從尺度參數a≈703，形狀參數θ≈2.23的Pareto分布。

首先將上述數據按照由小到大的順序排列，然后利用R軟件根據這組數據選取其中符合要求的部分進行參數估計。這里僅考慮在不同損失函數下先驗分布選Γ分布的參數估計，設c=10，α=100，β=100。結果如表2所示。

表2 形狀參數的Bayes估計

由表2可知，當樣本量一定并且先驗分布選Γ分布時，參數在LINEX損失下估計的偏差最小，此時的參數估計效果較好，且與數值模擬的結果一致。

5 結論

雙邊定數截尾是一種在可靠性試驗中會遇到的特殊截尾數據。本文在雙邊定數截尾場合下，基于LINEX損失函數和復合LINEX損失函數，采用Bayes估計的方法對Pareto分布中的形狀參數進行估計。在無信息先驗分布和Γ先驗分布下，將不同損失函數下參數的Bayes估計與其真值進行比較分析，結果表明，在LINEX損失下，選用Γ先驗分布時，參數估計更接近真值，并且通過實例也驗證了此結論。