具有logistic增長的SIS傳染病模型動力學分析

聶勇冰，侯 強

(中北大學 理學院，山西 太原 030051)

0 引 言

文獻[1]利用函數h(I)=cI/(b+I)反映疾病治療的情況，提出以下傳染病模型：

(1)

作者利用穩定性和分支理論，研究了平衡點的存在性、 穩定性、 后向分支和Hopf分支等[1]. 文獻[2-12]深入研究了具有飽和治療函數的傳染病模型. 這些模型的人口輸入均是常數輸入，這與實際情況不是很吻合. 因此，本文基于Logistic出生和飽和治療項提出以下模型：

(2)

式中：S(t)，I(t)分別為t時刻的易感者和染病者數量；r為內稟增長率；k為環境容納量；β為有效接觸率；μ為自然恢復率；c為單位時間內的最大治療量；b用來衡量飽和發生的時間，滿足h(b)=c/2；d為染病者的死亡率； 所有參數都是正的.

本文主要研究模型(2)的可行域和平衡點的存在性、 穩定性，以及模型的Hopf分支和B-T分支，并通過數值模擬來驗證理論結果.

1 模型的基本結果

根據模型(2)的第1個方程，可以得到

對上述不等式積分，并代入初始條件，得

類似地，根據模型(2)的第2個方程，可以得到

因此，模型的解都是正的. 接下來考慮模型解的有界性，首先把模型(2)的兩個方程相加得到

對于任意的實數λ，有

其中，N=S+I.選擇一個正數λ，使得d-λ>0. 然后有

(3)

定理1模型(2)的正不變集為

模型(2)有一個無病平衡點E0=(S0,0)=(k,0). 根據下一代生成矩陣[13]，模型的基本再生數為

(4)

正平衡點滿足下列方程

(5)

令A1=B2-3AC，B1=BC-9AD，C1=C2-3BD，定義Δ是g(I)關于I的判別式.

引理1當R0≥1時，如果C>0那么B>0.

d+μ)cr+4(μ+d)(-βk+d+μ)r≥

B=2bβ2dk+(μ+d)(-βk+d+μ)r≥mC.

根據引理1可以得到：

1) 當R0>1，C>0，B>0；C<0，B>0或C<0，B<0時，模型存在一個正平衡點.

2) 當R0=1，C>0，B>0時，模型不存在正平衡點；C<0時，模型存在一個正平衡點.

3) 當R0<1，C>0，B>0時，模型不存在正平衡點；C<0時，有下列幾種情況：

a) 當Δ>0時，模型不存在正平衡點.

b) 當Δ<0時，模型存在兩個正平衡點.

c) 當Δ=0時，模型存在一個正平衡點.

根據以上分析，有以下定理：

定理2對于模型(2)而言，無病平衡點E0始終存在.當R0>1時，模型存在唯一的正平衡點E1(S1,I1)； 當R0=1，C<0時，模型存在唯一的正平衡點E2(S2,I2)； 當R0<1，C<0，Δ<0時，模型存在兩個正平衡點E3(S3,I3)，E4(S4,I4)，且當Δ=0時，兩個正平衡點重合為一個正平衡點E*.

2 平衡點的穩定性

2.1 無病平衡點的穩定性

在無病平衡點E0(k,0)處，模型(2)的Jacobian矩陣為

特征方程為

(6)

通過分析，可以得到以下定理：

定理3當R0<1時，無病平衡點是局部漸近穩定的； 當R0>1時，無病平衡點是不穩定的.

2.2 正平衡點的穩定性

模型(2)在正平衡點E(S,I)的Jacobian矩陣為

特征方程為

λ2-tr(JE)λ+det(JE)=0.

(7)

根據模型(2)的第2個方程，得

((βb2-2rb-c)k+4rbS)I-b2r(k-2S))，

Idkβ(b+I)2+(-2βS+2d+2μ)Ib)+

I2(-βS+d+μ)(k-2S)r)=βIg′(I),

其中,g′(I)=3AI2+2BI+C，A>0.因此，有以下幾種情況：

1) 當R0>1時，存在一個正平衡點E1，當R0=1時，存在一個正平衡點E2.在Ei(i=1,2)處，g′(Ii)>0，det(JEi)>0，當tr(JEi)<0時，Ei是局部漸近穩定的； tr(JEi)>0時，Ei是不穩定的.

2) 當R0<1時，在E3處，g′(I3)<0，det(JE3)<0，則E3是一個鞍點.在E4處，g′(I4)>0，det(JE4)>0，當tr(JE4)<0時，E4是局部漸近穩定的； 當tr(JE4)>0時，E4是不穩定的.于是，可得下面的定理：

定理4當R0>1時，存在一個正平衡點E1； 當R0=1時，存在一個正平衡點E2； 當tr(JEi)<0(i=1,2)時，Ei是穩定的結點或焦點； 當tr(JEi)>0時，Ei是不穩定的.當R0<1時，存在兩個正平衡點E3和E4；E3是一個鞍點； 當tr(JE4)<0時，E4是穩定的結點或焦點； 當tr(JE4)>0時，E4是不穩定的.

3 分支分析

根據Sotomayor’s定理[14]，當R0=1時，如果cr≠βb2d，模型會發生跨臨界分支； 如果cr=βb2d，模型會發生叉形分支.根據文獻[15]的方法，當R0=1時，如果cr>βb2d，模型會發生后向分支. 接下來研究Hopf分支以及尖點分支.

3.1 Hopf分支

在正平衡點Ei(i=1,2,4)處，當tr(JEi)=0時，模型可能會發生Hopf分支，令x=S-S*，y=I-I*，將模型(2)在原點泰勒展開可得

(8)

其中

其中，Δ=a0d0-b0c0=det(JE2)>0，可以得到下面的定理：

定理5對于模型(2)，當σ<0時，模型發生超臨界Hopf分支； 當σ>0時，模型發生亞臨界Hopf分支； 當σ=0時，模型發生Bautin分支.

3.2 尖點分支

由定理2的分析可知，當Δ=0時，兩個正平衡點E3和E4合并為一個正平衡點E*，此時det(E*)=0.如果tr(E*)=0，正平衡點的特征方程有兩個零特征值，模型(2)會發生B-T分支.

定理6正平衡點E*是一個余維2的尖點，也是一個B-T分支點.

證明令x=S-S*，y=I-I*，然后將模型(2) 在原點泰勒展開成式(8)，同時作變換X=x，Y=a0x+b0y，可以得到

(9)

其中

作近似恒等變換

v=Y+α20X2-β02XY.

可以得到

(10)

因此，當β11+2α20≠0時，E*是一個余維2尖點，當β11+2α20=0時，至少是余維3的.

4 數值模擬

為了驗證正平衡點的存在性，取r=0.05，k=20，β=0.033，μ=0.001，c=0.027，b=0.1，繪制I隨R0變化的曲線.由圖 1 可以看出，正平衡點的個數隨著R0的變化而變化.當R0較小時，模型不存在正平衡點； 當R0=0.858時，模型存在一個正平衡點； 當R0取值在0.858～1之間時，模型存在兩個正平衡點； 當R0≥1時，模型存在一個正平衡點.

圖 1 模型(2)平衡點個數隨R0變化的分支圖

下面驗證Hopf分支以及極限環的存在性，選擇第1個Hopf分支點作為初始點，以R0為分支參數，繪制極限環曲線，如圖 2 所示.

圖 2 以第1個Hopf分支點為初始點的分支圖

由圖 2 可以看出，在第1個Hopf分支點附近形成一個不穩定的極限環且在第2個Hopf分支點附近消失.

然后，以第3個Hopf分支點為初始點，以R0作為分支參數，繪制極限環曲線，如圖 3 所示. 由圖 3 可以看出，在第3個Hopf分支點附近形成一個不穩定極限環后趨于穩定，最后消失.

圖 3 以第3個Hopf分支點為初始點的分支圖

固定參數r=0.027 412 217，k=20，μ=0.001，c=0.5，b=0.2，d=0.027，隨著參數β的變化模型會發生倍周期分支，如圖 4 所示.

圖 4 模型(2)的倍周期分支曲線圖

選擇r，c作為分支參數，固定參數k=20，μ=0.001，b=2，d=0.027，模型會隨著分支參數的變化出現Bautin分支GH點、 B-T分支點以及尖分支CP點，如圖 5 和圖 6 所示.

圖 5 模型(2)的Bautin分支及B-T分支曲線圖

圖 6 圖5中BT點以及CP點的局部放大圖

以上數值模擬驗證了理論結果，變化的人口模型具有更加復雜的分支現象.

5 結 論

基于文獻[1]中的傳染病動力學模型，本文考慮logistic增長率和飽和治療項，建立了一個新的SIS傳染病模型. 首先確定了模型的可行域和基本再生數，分析發現模型正平衡點的個數會隨著R0的變化發生改變； 其次，分析了平衡點的穩定性，利用規范型理論，研究模型出現的分支現象，發現模型不僅出現余維1的跨臨界、 叉形、 后向和Hopf分支，還會出現Bautin分支和至少余維2的尖點. 通過數值模擬發現，模型經歷了倍周期分支和B-T分支. 分析結果拓展了人們對疾病控制影響因素的認識，在控制長期傳播的傳染病時，不僅要考慮到醫療資源的限制，而且要充分考慮人口增長的影響.