一種正、負和零泊松比相互轉換的新策略

陳帥， 王兵， 朱紹偉

(1.哈爾濱工業大學 特種環境復合材料技術國家級重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.重慶大學 航空航天學院， 重慶 400044)

泊松比(Poisson′s ratio，PR)目前廣泛用于表征材料的力學性能[1]。自然界中材料的泊松比大多介于0.2～0.5，泊松比為負值或為零的材料在自然界中較少，需要通過人為設計得到。

負泊松比(negative Poisson′s ratio, NPR)材料在拉伸時呈橫向擴張，在壓縮時呈橫向收縮，故又被稱為拉脹材料[2]。與具有正泊松比的傳統材料相比，負泊松比材料具有優異的力學性能，如抗剪切性[3-4]、抗壓痕性[5]、能量吸收和斷裂韌性[6-7]等可以顯著提高，這使其在各個領域具有廣闊的應用前景[8-9]，特別是在航空航天、生物醫療、國防以及智能系統等領域。并已代表性地用于飛機渦輪發動機的葉片中。

自然界中的負泊松比材料確實存在，如奶牛乳頭部分皮膚和貓的皮膚[10]。Ting等[11]的工作表明，對于各向異性材料，只要應變能密度函數是正定的，泊松比可以有任意正負值。因此，泊松比的負值不僅是假設的，而且可以在人造材料中實現。Lakes[3]首次人為造出具有負泊松比的聚氨酯泡沫。在后續研究中根據材料內部胞元的變形機制，負泊松比材料可分為內凹型[8]、手性型[12]、旋轉型[13]和穿孔型[14]。

Gibson等[15]提出了內凹型蜂窩結構。Master等[16]發現了二維內凹結構的負泊松比行為。當在任一方向施加載荷時，對角肋的移動方式會導致另一個方向的負泊松比效應。另一種由于內凹性而表現出負泊松比效應的多胞結構是雙箭頭[17-18]和星形[19]。這些結構中的負泊松比機制類似于內凹結構。在拉伸過程中，雙箭頭和星形單元打開，導致拉脹效應。

Prall等[20]提出手性蜂窩結構的概念。手性是指鏡像上不能重疊，手性結構由等半徑的圓形元素通過與節點相切的直韌帶(壁)連接而成。這種配置通過節點的旋轉和相關韌帶的彎曲提供了平面內的負泊松比效應，以及允許在組成材料的彈性范圍內產生高應變的變形機制。這些結構的泊松比約為-1[12]。

Grima等[13]提出了帶有旋轉單元的負泊松比結構。在此類結構中，負泊松比行為是由通過鉸鏈相互連接的剛性多邊形的旋轉獲得的，如旋轉正方形[13]、旋轉矩形[21]、旋轉平行四邊形和菱形[22]、旋轉三角形[23-25]和旋轉四面體[26]?；谛D剛性單元模型的靈感，負泊松比行為也在具有菱形或星形開孔[14]的片材中得到驗證。

零泊松比(zero Poisson′s ratio, ZPR)材料在受單向拉壓時，不會出現橫向收縮和擴張。自然界中軟木等材料所呈現的泊松比被觀察到等于或接近于零[27-28]。零泊松比材料因其不同尋常的特性和在醫學[29]、組織工程[30]和航空[31]等不同領域的潛在應用而備受關注。在航空領域，變形機翼中使用的柔性蒙皮需要提供足夠的協同變形以承受空氣載荷。此外，根據光滑度的要求，需要對柔性蒙皮的不變形方向進行限制。在這些方案中，泊松比為零的材料更為可取[32]。目前針對零泊松比材料的設計主要有2種思路：1)通過材料胞元的設計實現零泊松比效應；2)混合正、負泊松比胞元獲得重組后的具有零泊松比效應的新型胞元。

程文杰等[32]提出一種新型十字型混合零泊松比蜂窩結構并進行了理論驗證。何玉龍等[33]通過折紙結構設計出新型零泊松比結構，并對其進行了幾何分析及其耗能性能研究。Huang等[34]提出了一種由六邊形部分和薄板部分組成的新穎的平面內零泊松比蜂窩結構。六邊形結構用于承受面外壓縮并產生面內柔性，而薄板用于產生面外柔性。這2個部分對有效力學性能有不同的貢獻，需要分別設計平面內和平面外的性能。

針對正、負泊松比胞元混合構型的設計也有廣泛的研究。Olympio[35]提出的構型可以實現整體微元的零泊松比效應。當周期微元受到一個方向的載荷時，微元中的正、負泊松比胞元分別收縮(膨脹)和膨脹(收縮)相同的橫向變形量，整個周期微元的等效橫向變形為零，即表現出零泊松比效應。Gong等[36]設計了一種零泊松比蜂窩，可以實現沿2個正交方向的變形，并通過抑制非變形方向的泊松變形，避免了變形方向的有效剛度大幅增加。

本文基于曲桿/板組成的內凹式十邊形多孔結構提出了一種正、負和零泊松比相互轉換的新策略。即通過改變桿的曲率，結構的泊松比可實現為正、負和零。

1 結構的設計與制備

1.1 幾何構型設計

本文提出的內凹式十邊形蜂窩結構如圖1(a)所示，由4×10個胞元組成。其內凹十邊形胞元如圖1(b)所示。胞元的每條邊均由如圖1(c)所示的正弦梁組成。當豎向力作用于蜂窩結構時，曲梁會偏轉和彎曲，導致整體結構的大變形行為。通過改變曲梁的曲率參數可以在整個蜂窩結構中實現不同的泊松比效應。余弦梁的幾何形狀可以表示為:

(1)

式中：t為余弦梁的函數形式；L為余弦梁的長度；k為余弦梁的曲率。2個胞元之間均由橫向直梁連接。橫向直梁的存在可以聯動整個結構的橫向變形。

圖1 內凹式十邊形蜂窩結構的幾何構型設計Fig.1 Geometric configuration design of re-entrant decagonal honeycomb structure

1.2 樣品制備

制備樣品的材料體系選用熱塑性聚氨酯。熱塑性聚氨酯是增材制造技術中最常用的聚合物之一，在世界上應用廣泛。具有來源廣、韌性好、強度高、成本低、耐高溫等優點。且熱塑性聚氨酯是一種成熟的環保材料，具有優良的耐磨性、耐老化性和安全性等優點。采用熔融沉積(FDM)3-D打印技術(HORI Z500，北京匯天威科技有限公司)對樣品進行制備。圖2(a)為樣品的3-D打印示意圖。制備的樣品實物如圖2(b)所示。這種增材制造技術有許多優點：可以制造不同材料和尺寸的復雜實體或腔體結構；結構的打印精度極高(可達0.05 mm)，制造成本較低。根據ASTM D638-14拉伸實驗測試標準，獲得了原材料熱塑性聚氨酯的拉伸應力-應變曲線，如圖3所示，其材料基本力學性能如表1所示。

圖2 樣品的制備過程示意Fig.2 Schematic diagram of the preparation process of the sample

圖3 原材料熱塑性聚氨酯的拉伸應力-應變曲線Fig.3 The stress-strain curve of the base material TPU

表1 熱塑性聚氨酯的彈性屬性Table1 The elastic properties of thermoplastic polyurethane

2 研究方法

2.1 有限元方法

為了研究和探索結構在豎向荷載作用下的變形特征及力學性能，采用商用有限元(FE)計算軟件ABAQUS/Explicit求解器進行了數值模擬。首先通過建模軟件SOILDWORKS建立了結構的三維CAD模型，并導入到ABAQUS中。在有限元模型中，由于結構的瞬變特性，考慮了幾何非線性。采用適用于求解大應變問題的八節點線性減縮積分六面體單元(C3D8R)對蜂窩結構進行網格劃分。采用線性減縮積分單元的優點是：當網格發生畸變時，分析精度不會受到很大影響[37-38]。在每個模型中，結構橫截面上都有3個以上的單元，以滿足網格收斂性要求。表1中列出的熱塑性聚氨酯(TPU)材料的力學參數應用到有限元模型中。拉伸試驗的有限元模型如圖4所示。蜂窩上下表面用卡具固定，并采用體積中心有參考點的離散剛體對拉伸卡具進行模擬。在模擬過程中，卡具與試樣之間進行綁定。同時，頂部參考點受豎向位移載荷作用，其他5個自由度均固定。同時，限制底部卡具基準點的所有自由度。為了消除邊界效應，在結構中間設置4個參考點作為測量點，用于監測結構的橫向變形和豎向變形。

圖4 蜂窩結構有限元模型Fig.4 The FE model of the honeycomb structure

2.2 實驗方法

為了驗證有限元結果的有效性，采用INSTRON 5569試驗機對結構沿垂直方向進行了準靜態拉伸試驗。準靜態拉伸試樣的實驗裝置如圖5(a)所示，試樣上下兩端通過特制夾具進行固定，以便和試驗機夾頭進行連接。實驗過程采用位移加載控制，恒定位移速率設置為1 mm/min，避免了動態影響。在試驗過程中，監測試樣的橫向變形和縱向變形。為了準確測量試樣的泊松比值，提出一種簡易的DIC技術方法。拉伸試驗前，在樣品中心標記點，如圖5(b)所示。在拉伸過程中，使用高分辨率數碼相機對拉伸試樣進行視頻記錄，如圖5(a)所示。然后將視頻裁剪成反映整個拉伸過程的一系列連續圖片，利用圖像處理技術得到每個標記點中心的運動軌跡，通過軌跡的計算即可得到試樣的縱向應變-橫向應變圖，繼而得到結構泊松比值，其整個方法過程如圖6所示。實驗測試結果也用于驗證有限元結果。

圖5 實驗技術方法Fig.5 Experimental techniques and methods

3 結果分析與討論

3.1 胞元構型的確定

圖7對比了正常凸式六邊形胞元、內凹式六邊形胞元和內凹式十邊形胞元的幾何特征?？梢钥闯鼋Y構的泊松比效應是由A、B和C3個節點的移動方向共同決定的。對于正常凸式六邊形和內凹式六邊形胞元，3個節點坐標在x方向的位置滿足:xA=xC≠xB。在y向拉伸載荷下，節點B在x方向的坐標xB總是朝向xA和xc坐標方向移動。這種外凸(或內凹)的機制使正常六邊形胞元和內凹式六邊形胞元呈現相反的泊松比效應，分別表現出正泊松比效應和負泊松比效應。在內凹式十邊形胞元中，3個節點的坐標在x方向的位置滿足:xA=xC=xB。因為這種胞元同時存在內凹和外凸的機制，如果桿是直的，在y向拉伸載荷下節點B的坐標xB依然和節點A和C的坐標一致，即xA=xC=xB，此種情況下胞元的泊松比表現為零。但是，如果桿具有特殊的曲率，則在y方向拉伸情況下節點B的坐標xB將遠離節點A和C的坐標(xA和xc)，即表現出正或負泊松比效應，其具體分析見下節。因此，本文選用具有不同曲率的內凹十邊形胞元組成具有不同泊松比效應的蜂窩結構。

圖6 簡易的DIC技術方法Fig.6 Simple DIC technology method

3.2 曲率的影響

本文考慮了3種桿曲率內凹十邊形胞元，如圖8所示。在局部坐標系(s,t)中桿的曲率函數被表達為式(1)。為簡化分析，把L視為一個常數。3種胞元桿的曲率k分別取為2、0和-2。限定t′(s)|s=0=t′(s)s=L=0，所以對于不同的曲率k，桿的末端總是具有相同的方向。

為了拓展工程應用，曲板也常作為內凹十邊形多孔結構的胞元壁，且為說明胞元在拉伸載荷和壓縮載荷下表現出同種性質的泊松比效應，本節中3種具有不同曲率k的胞元結構均由曲板組成，且受到壓縮載荷作用，其變形情況如圖8所示?？梢钥闯?，當k>0時,胞元結構呈現正的泊松比；當k=0時，胞元結構呈現零泊松比；當k<0時，胞元結構呈現負的泊松比。很明顯，對于不同的k，胞元可以實現正、負和零泊松比的轉換。

圖7 胞元構型的對比Fig.7 Comparison of cell configurations

圖8 曲率的影響Fig.8 The effect of curvature

3.3 實驗結果與仿真結果的對比

本節在3.2節單胞研究的基礎上進行了蜂窩結構的研究。蜂窩樣品的結構參數為：曲梁長度L=10 mm，曲梁面內厚度T=1 mm，所有試樣的面外厚度均為b=1.6 mm。圖9展示了k=2情況下蜂窩結構在拉伸載荷下的響應分析。將實驗得到的蜂窩結構縱向位移(dy)和橫向位移(dx)響應與仿真結果進行了對比，如圖9(d)所示。蜂窩結構在拉伸載荷下呈現出的變形形態如圖9(a)、(b)所示。圖9(e)為蜂窩結構在變形過程中表現出的泊松比值。從圖9中可以看出，實驗結果與有限元預測在泊松比量值和變形形態方面表現出定量一致性。其結果略區別于單胞結構，即當k>0時，蜂窩結構呈現正的泊松比，隨著真實應變的增大，結構的泊松比呈現減小趨勢，隨后出現負的泊松比。結構的泊松比從正到零，再到負，是一條近乎線性的曲線。這是因為在小變形時，結構節點位置大致滿足xA=xC=xB，非零泊松比是由桿的曲率效應造成的。變形較大時，桿件的曲率減小,xB偏離xA和xC，即出現位錯。隨著位錯的增加和曲率的減小，內凹(或凸)機制將取代曲率效應成為影響泊松比的主要因素。在小變形條件下，有限元分析結果與實驗結果吻合較好。在較大的變形量下，雖然泊松比的變化趨勢相似，但有限元計算結果與實驗結果有較大偏差。其偏差主要由以下2個原因造成的：1)熔融沉積(FDM)3-D打印技術在結構尺寸過大的情況下，打印質量存在一定缺陷；2)在有限元計算中把材料假設成了理想彈性，而結構在大變形情況下會有部分塑性變形發生，這也是造成結果偏差的原因之一。

圖9 k=2情況下蜂窩結構在拉伸載荷下的響應分析Fig.9 Response analysis of honeycomb structure under tensile load whenk=2

圖10展示了k=0情況下蜂窩結構在拉伸載荷下的響應分析。圖10(d)為實驗得到的蜂窩結構縱向位移(dy)和橫向位移(dx)響應與仿真的對比結果。蜂窩結構在拉伸載荷下呈現出的變形形態如圖10(a)、(b)所示。圖10(e)為蜂窩結構在變形過程中表現出的泊松比值。從圖10中可以看出，實驗結果與有限元預測在泊松比量值和變形形態方面表現出定量一致性。即當k=0時，蜂窩結構隨著真實應變的增大始終呈現近乎零的泊松比。這是因為在結構變形時，節點位置坐標大致始終滿足xA=xC=xB。

圖10 k=0情況下蜂窩結構在拉伸載荷下的響應分析Fig.10 Response analysis of honeycomb structure under tensile load whenk=0

圖11展示了k=-2情況下蜂窩結構在拉伸載荷下的響應分析。圖11(d)為實驗得到的蜂窩結構縱向位移(dy)和橫向位移(dx)響應與仿真的對比結果。蜂窩結構在拉伸載荷下呈現出的變形形態如圖11(a)(b)所示。圖11(e)為蜂窩結構在變形過程中表現出的泊松比值。從圖11中可以看出，實驗結果與有限元預測在泊松比量值和變形形態方面表現出定量一致性。即當k<0時，結構的泊松比從負到零，再到正。其原因同樣是：在小變形時，結構節點位置大致滿足xA=xC=xB，非零泊松比是由桿的曲率效應造成的；大變形時，內凹(或凸)機制將取代曲率效應成為影響泊松比的主要因素。

圖11 k=-2情況下蜂窩結構在拉伸載荷下的響應分析Fig.11 Response analysis of honeycomb structure under tensile load whenk=-2

4 結論

1)當曲率k>0時，結構呈現正的泊松比，隨著真實應變的增大，結構的泊松比呈現減小趨勢，隨后出現負的泊松比。結構的泊松比從正到零，再到負，是一條近乎線性的曲線。

2)當曲率k=0時，結構在整個變形中始終表現為近乎零的泊松比。

3)當曲率k<0時，結構呈現負的泊松比，隨著真實應變的增大，結構的泊松比轉變為正。即結構的泊松比從負到零，再到正。

不同曲率下內凹十邊形蜂窩結構的泊松比絕對值隨著有效真實應變的增大，逐漸減小，而后出現了相反的泊松比。對這種現象進行了分析，并提出了一種曲率效應。結果表明，在小變形條件下，桿件的非零泊松比是由桿件的曲率效應引起的。而在大變形條件下，泊松比的轉換是由結構內凹(或凸)的機制取代曲率效應成為主導機制引起的。