基于小球受控勻速下落的粘滯系數測量實驗研究*

趙 高 杜妮茜 高靜敏 常 清 唐亞楠 陳衛光

(鄭州師范學院物理與電子工程學院 河南 鄭州 450044)

液體的粘滯系數又稱為內摩擦系數或粘度，是描述液體內摩擦力性質的一個重要物理量，在工程技術和生產技術以及醫學等方面，測定液體的粘滯系數具有重大的意義[1].由于液體粘滯系數除了因材料種類不同而變化外，還會受到溫度和密度等環境因素的影響[2～5]，因而改善或設計一種簡便有效的粘滯系數測量方法十分必要.目前常見的粘滯系數的測量方法有落球法、毛細管法及轉筒法等[5～8]，其中，落球法測量粘滯系數具有現象明顯，操作簡便，成本低，消耗小等優點.由于該實驗具有概念清晰，實驗操作和內容充實等特點，被多數理工類大學選做基礎物理實驗之一，是大學物理實驗教學中了解液體反抗形變能力的一項基本實驗[6].然而目前實驗教學所采用的傳統落球法測量通常會出現以下問題：利用秒表進行人工計時會存在反應時間偏差影響測量精度，小球自由下落到勻速下落需要一段路程，勻速下落的起始時間難以確定，難以判斷小球下落是否沿量筒中心軸線等[7～9].因而，關于落球法測量粘滯系數的實驗研究受到了廣泛關注[10～12].本文針對當前落球法的不足和實際需求，從落球法基本原理和物理機制出發，采用設置拉力控制小球勻速下落的方法，并結合高精度、低成本傳感器等測量元件研究設計了簡單高效的液體粘滯系數測量裝置，同時本測量方法不受液體透明度的限制、大大縮短了小球的測量路程等特點，拓展了測量裝置的測量范圍和適用條件.

1 實驗原理

在液體中運動的物體都會受到一個阻力的作用，這個阻力是由于附著在物體表面并隨物體一起運動的一層液體與相鄰的液體層之間的摩擦引起的，即粘滯阻力，在相距1 cm的兩液層中，維持單位速度差所需的力即為粘滯系數，其與材料種類和溫度等因素有關.傳統的落球法測量粘滯系數時依靠小球自身重力在液體中下落，當小球所受浮力與粘滯力之和等于重力時達到勻速直線運動狀態.通過獲得此狀態下小球的速度大小和液體對小球的粘滯力大小，并進一步算得液體的粘滯系數,該狀態下小球的受力分析如圖1(a)所示.本測量系統通過對小球施加一個合適的拉力，使得小球處于可控的勻速下落狀態，從而消除時間記錄誤差，小球自由下落達到勻速運動前的位移及小球自由下落時水的沖擊力對測量結果的影響.此時小球在待測液體中勻速下落時受力分析如圖1(b)所示，小球在水中受到向上的粘滯阻力F粘，向上的浮力F浮與拉力T及豎直向下的重力G.

圖1 落球法小球勻速運動時受力分析圖

小球在水中勻速運動時有

G=F浮+F粘+T

(1)

小球浸沒在水中處于靜止狀態則對于小球有

G=F浮+T1

(2)

聯立式(1)和式(2)可得

F粘=T1-T

(3)

當半徑為r的小球在無限寬廣的均勻液體中以速度v勻速運動，且液體未產生渦流，我們可以由斯托克斯公式得出小球在液體中勻速運動時有[1]

F粘=6πηvr

(4)

式中η即為液體粘滯系數，單位為Pa·s，v是小球在液體中勻速運動的速度，單位為m/s.r為小球半徑，單位為m.

由式(3)、(4)得

(5)

由于液體盛在深廣程度有限的容器中，不能滿足無限寬廣液體這一條件，所以對式(5)進行修正得[11]

(6)

其中R為容器半徑，單位為m.h為小球下落位移，單位為m.

2 實驗設計與改進方案

本實驗的測量系統及裝置如圖2所示，小球由細絲線經過角速度傳感器以及力傳感器接到水平滑塊上，小球起始位置位于待測液體液面正上方中心軸線處.通過控制滑塊水平勻速移動使得小球在液體中勻速下落，經測算得此狀態下小球所受液體的粘滯力及小球速度，并最終測得液體的粘滯系數值.小球在液體中靜止狀態時和勻速下落過程中，其所受拉力及速度大小分別由高精度力傳感器(分辨率達0.002 N)和角速度傳感器測算得出.小球半徑及容器半徑由游標卡尺測量得出，小球在液體中勻速下落的位移由相應的刻度尺記錄得到.通過速度傳感器直接獲得小球速度，可避免獲得小球速度時人工計時不精確以及肉眼判斷位置帶來的誤差，且通過力傳感器直接獲得小球粘滯力的方法簡單易懂、操作便捷、更易理解和掌握，具體方案如下.

(a)

2.1 裝置的實現

為保證測量系統精確可控，且能夠實時監控測量，本實驗系統部分測量手段及數據處理采用以下方式：本實驗測量裝置的數據通過角速度傳感器，高分辨率力傳感器相應的上位機軟件采集并記錄和顯示實驗的實時數據，從而確保記錄數據的精準性[13].

對小球勻速下落的設計與測量主要通過可勻速移動的位移裝置實現.本實驗選定帶有勻速步進電機的位移滑臺做位移裝置，該步進電機滑臺精度為0.1 mm,最大行程為200 mm.在小球所受重力作用下，位移裝置滑臺與小球之間由細線連接，通過調節步進電機完成位移裝置滑臺部分與小球下落時同步運動，實現對小球運動的精準控制，進而使得小球在液體中以人為設定的速度勻速直線下落，且滑臺的移動距離即為小球的下落距離.

為避免步進電機設定速度與小球實際下落速度測量上的誤差，本實驗利用半徑已知的高精度角速度傳感器對實際運作中的小球進行實時的速度監控，以保證實驗數據的有效性和準確性.同時采用0.002 N高分辨率力傳感器對小球進行拉力的測量，并利用公式(3)得出小球所受粘滯阻力.由于液體粘滯系數受到溫度的影響，本系統通過伴熱帶包裹量筒結合恒溫控制改變液體的溫度，以研究液體粘滯系數隨溫度的變化規律.

2.2 實驗過程

各部件及材料按圖2所示的粘滯系數測量裝置示意圖進行連接，需注意連接小球和位移裝置的細線兩段保持90°角.小球位于待測液體液面正上方中心軸線處，細線水平和豎直兩段可用激光筆進行水平和豎直校準.

小球下落前需測定小球半徑r，角速度傳感器的直徑d，承裝待測液體容器的直徑2R(這里指量筒的內徑)，以及小球勻速運動初始對應滑臺的位置x1.

粘滯系數測量裝置和所需材料安裝無誤后，對液體粘滯系數進行測量.啟動步進電機使得小球在液體中勻速下落，通過計算機得到小球勻速運動時所引起的拉力實時變化圖像和角速度實時變化圖像，對圖像做進一步分析，確定小球所受拉力T1，T和勻速運動時對應的角速度ω.由小球勻速運動時的角速度ω得到小球勻速下落的速度值

(7)

待小球在液體中完成勻速下落時，記錄滑臺此時在滑軌上的末位置x2，有

h=|x2-x1|

(8)

由公式(6)～(8)得

(9)

將測量數據帶入式(9)便可得出η的測量值.

2.3 探究不同變量因素對粘滯系數的影響

液體粘滯系數不僅會受到溫度的影響還會受到液體種類的影響，本實驗采用小球受控勻速下落法更好地實現液體的粘滯系數在不同溫度下和不同種類液體中的測量研究.利用溫控加熱恒溫系統改變并實時顯示液體溫度，進而測得不同溫度下液體粘滯系數.同時對半透明液體蓖麻油、透明液體甘油和非透明液體廢棄機油的粘滯系數進行測量，以了解不同種類液體的粘滯系數.

3 實驗數據與分析

3.1 數據測量

用游標卡尺分別測量角速度傳感器直徑、容器的內直徑，多次測算得出它們的半徑,實驗數據記錄見表1.

表1 實驗數據記錄表

3.2 不同液體的粘滯系數隨溫度的變化

同一種物質在不同溫度下的粘滯系數是不同的，為了測量不同溫度下的液體粘滯系數，采用溫控加熱恒溫系統控制測量溫度，彌補傳統方法不能測量變溫液體粘滯系數的局限性.待測液體的溫度控制在22～43 ℃之間，控制半徑r=4 mm小球分別在2 L容器的蓖麻油和甘油中下落，其粘滯系數隨溫度的變化曲線如圖3和圖4所示.

圖3 蓖麻油粘滯系數隨溫度的變化

圖4 甘油粘滯系數隨溫度的變化

由圖3、圖4可知，空心圓為本實驗系統測量值，與相應文獻查表值一致[14，15]，且所測粘滯系數隨溫度的變化曲線與查表所得不同溫度下粘滯系數值的擬合曲線表現一致.23 ℃時甘油和蓖麻油的粘滯系數分別為1.289 Pa·s和0.812 Pa·s，在25 ℃之前隨著溫度的增加甘油和蓖麻油的粘滯系數急速降低至1.066 Pa·s和0.624 Pa·s.在25～43 ℃之間，隨著溫度的增加液體的粘滯系數繼續降低但降低幅度明顯減小，在43 ℃時蓖麻油的粘滯系數降低為0.158 Pa·s.在其他條件相同的情況下，液體溫度越低，測得的粘滯系數越大，粘滯阻力越大，實驗現象越發顯著.通過對實驗數據的分析與對比，改進后的實驗數據精度遠高于傳統落球法.

3.3 不透明液體的粘滯系數測量

利用本實驗裝置可測量不透明液體的粘滯系數，以廢棄機油為例，將4 mm小球在2 L容器的廢棄機油中下落，對不同溫度下的粘滯系數測量如圖5所示.

圖5 廢棄機油粘滯系數隨溫度的變化

通過數據分析可知廢棄機油的粘滯系數隨著溫度的升高呈現下降趨勢，從22 ℃時的1.198 Pa·s降至36 ℃時的0.617 Pa·s.由于廢棄機油中雜質較多、成分復雜、放置時間較長，因此數據波動較大.在較低溫區間22～25 ℃之間廢棄機油的粘滯系數從1.255 Pa·s急速降低至1.198 Pa·s.在25～30 ℃之間，隨著溫度的增加機油的粘滯系數繼續降低但降低幅度趨于平緩，其數值保持在0.9 Pa·s左右受溫度影響較小.在30～35 ℃之間隨著溫度的增加廢棄機油的粘滯系數繼續降低，但降低幅度從急劇到平緩再到急劇,最后趨于穩定,粘滯系數降至0.617 Pa·s.由此可見廢棄機油的粘滯系數隨溫度變化的趨勢與大多數液體粘滯系數隨溫度的變化趨勢類似.

4 結論

本文采用設置拉力控制小球勻速下落的方法，實現了對液體粘滯系數的測量.可發現采用小球受控勻速落球法測量粘滯系數具有以下幾個主要優點：通過速度傳感器直接獲得小球速度，可避免獲得小球速度時人工計時不精確以及肉眼判斷位置帶來的誤差，大大提高了測量精度和準確度；采用力傳感器(分辨率達0.002 N)測得小球所受粘滯力操作方便，具有高精確度和高準確度，且簡單易懂便于操作，從而更利于該實驗的教學；該粘滯系數測量系統不受液體透明度限制，適用范圍廣；可通過溫控加熱恒溫系統實現不同溫度下液體粘滯系數的測量.通過在不同種類液體不同溫度下的粘滯系數測量結果表明了，所測液體的粘滯系數與相關文獻所得數值保持一致，且所測液體的粘滯系數均隨溫度的升高呈下降趨勢.由此可確定本測量方法不僅有利于粘滯系數測量實驗教學內容的理解，同時為現實工業生產中測定如蠟油、黑色潤滑油等不透明液體的粘滯系數提供了理論和實驗支持.