拋物線型旋轉軌道上珠子的運動問題

曹煜軒 姜建剛

(西北農林科技大學理學院 陜西 咸陽 712100)

旋轉圓環上的珠子是一道有趣的力學問題．描述了一個珠子在圓形繞軸旋轉的軌道內運動的問題．因其具有豐富的動力學性質,已有很多學者對這一問題展開過研究[1～3]．然而,本文通過理論分析發現,拋物線型軌道上的珠子這一問題仍具有十分有趣的動力學性質．同時,本文通過數值模擬[4～6],更加直觀地闡明了珠子的運動現象．理清這一問題背后的原理,十分有助于學生對動力學與微分方程的融會貫通．

1 珠子的動力學方程

一個質量為m的珠子,放置在拋物線型的光滑軌道中,軌道繞y軸以角速度ω旋轉,如圖1所示.

圖1 拋物線上的珠子示意圖

珠子的位置可由坐標(x,y)確定．因為珠子在拋物線軌道中運動,存在約束x2=2py(p>0),其中p為拋物線軌道的焦準距,所以珠子的位置只需一個廣義坐標就可確定,選取x作為描述珠子運動的廣義坐標．

珠子的動能可以表示為

(1)

選取軌道底部作為零勢能面,珠子的勢能為

(2)

則可以給出珠子的拉格朗日量

(3)

將式(3)代入拉格朗日方程

可得珠子的運動方程

(4)

為了更方便在相平面上討論穩定性,我們令

并將ωc稱為旋轉軌道的臨界角速度,則式(4)可表示為

(5)

2 穩定性分析

2.1 平衡點分析

觀察式(5),系統的平衡點可分為兩種情況：

(1)當ω≠ωc時,平衡點為(X,Y)=(0,0),即珠子靜止在軌道的最底部．

(2)當ω=ωc時,珠子平衡只需要Y=0,而X可取任意值,即只要珠子速度為零，軌道上的任何地方都可以平衡．

下面將分別討論這兩種情況的穩定性．

2.2 當ω≠ωc時

在平衡點(0,0)處,式(5)的線性化方程為

(6)

其中

當ω>ωc即α>0時,此時為兩個異號的實根,根據微分方程的定性理論[7],平衡點(0,0)為鞍點,是不穩定的．而當ω<ωc時即α<0,特征根是實部為零的兩個共軛復根

此時平衡點(0,0)稱為中心[7],是穩定的但非漸近穩定．

2.3 當ω=ωc時

珠子可在任意位置平衡,設平衡點為

X=X*

做平移變換

X=Z+X*

將XOY平面上的平衡點(X*,0)平移到了ZOY平面的原點,式(5)變為

(7)

因為式(7)線性化后的系數矩陣‖A‖=0,表明原點為高階奇點,所以不能通過A的特征根去判斷原點的穩定性．我們通過探究其相平面上的軌線方程,分析其穩定性．將式(7)消去時間t可得相平面上的曲線滿足的微分方程

(8)

式(8)的通解為

(9)

對于初值Y0在零附近的曲線,式(9)的圖像如圖2所示．可以看出,所有的解都有Y→0和Z→∞的趨勢．處在平衡位置的珠子,若被施加一個小的初速度,那么珠子的位置就會從零開始沿著軌道逐漸增大,表明ZOY平面上原點是不穩定的,即在XOY平面上,平衡點(X*,0)是不穩定的．

圖2 ω=ωc時,系統的相圖

上述分析可總結為：當ω≥ωc時,平衡點是不穩定的,而當ω<ωc時,平衡點是穩定的,但非漸近穩定．

3 數值模擬

本節通過數值模擬,探究處在平衡點的珠子若被施加一個小的擾動,即一個小的初速度,珠子的運動軌跡會如何變化．

3.1 當ω>ωc時

數值模擬的參數如表1所示．

表1 ω>ωc時數值模擬中的參數

模擬結果如圖3所示．

圖3 ω>ωc時,珠子運動的數值模擬結果

圖3(a)從相平面描述了珠子的運動情況,可以看出,當ω>ωc時,對于初位移為零,初速度為0.1 m/s的珠子,起初速度增大得很快,然后逐漸趨于一個恒定的速度,并且在這個過程中X持續增大．圖3(b)反映了珠子位置X和時間t的關系,同樣可以看出珠子的位置從零開始隨著時間逐漸增大．模擬結果表明,當ω>ωc時,處在平衡位置珠子若受到一個小的擾動,則會沿著軌道向外運動,表明平衡點是不穩定的．這與我們在2.2節中分析的結果一致．

3.2 當ω<ωc時

參數如表2所示．

表2 ω<ωc時數值模擬中的參數

模擬結果如圖4所示．

圖4 ω<ωc時,珠子運動的數值模擬結果

圖4(a)可以看出,當ω<ωc時,對于初位移為零,初速度為0.1 m/s的珠子,其相平面的軌跡為橢圓,表明珠子始終在原點附近做往復運動．圖4(b)中描述了珠子位置X和時間t的關系,從中也可看到珠子在做往復運動,并且旋轉軌道的角速度ω越大,珠子往復運動的振幅越大．模擬結果可以說明,處在平衡點的珠子若被施加一個小的擾動,珠子仍在平衡點附近往復運動,即平衡點是穩定的,但不是漸近穩定的．這也與我們在2.2節中分析的結果一致．

3.3 當ω=ωc時

通過2.3節分析,我們知道此時珠子可在任何位置平衡．選取不同的初始位置X0作為平衡位置,并給珠子施加一個小的初速度,參數如表3所示．

表3 ω=ωc時數值模擬中的參數

模擬結果如圖5所示．

圖5 ω=ωc放置在不同平衡位置時,珠子運動情況的模擬結果圖

從圖5可以看出,當ω=ωc時,處在平衡位置的珠子若被施加一個小的初速度,珠子都會隨時間,向X增大的方向運動,即珠子會遠離初始位置．表明初始放置的平衡位置是不穩定的．這與2.3節中平衡點是不穩定的結論相一致．

4 結論

本文研究了拋物線型旋轉軌道上的珠子的運動這一非線性力學問題．首先通過拉格朗日方程推導

出了珠子的運動方程,并分析了珠子的平衡點．接著基于微分方程的穩定性理論,討論了不同軌道轉速時,各平衡點的穩定性,得出結論：當轉速大于等于臨界角速度時,平衡點是不穩定的,若施加小的擾動,珠子會向著遠離平衡點的位置運動；當轉速小于臨界角速度時,平衡點是穩定的,即便存在小的擾動,珠子也會在平衡點附近做往復運動．最后通過數值模擬,驗證了分析的結果,并且更加直觀地反映了珠子的運動情況．