Mathematica交互式程序在高中物理教學的應用

谷程鵬 陳武靜 文偉

(湖南工業大學理學院 湖南 株洲 412007)

Mathematica軟件是由美國物理學家及計算機學家Stephen Wolfram于1988年構思、設計的一款科學計算軟件．發展迭代至今，它在科學工程領域得到了廣泛的應用，同時由于它具有直觀的數學圖像繪制功能、動畫演播功能和卓越的符號計算能力，也逐漸被用于數字化科學課堂的建設[1]．該軟件的動畫和交互式操作等功能，能模擬物理學的基本原理、復雜的實驗現象以及諸多因素的相互作用過程，將物理現象和知識直觀地展示給學生，有助于學生深入理解物理規律和知識，提高課堂教學效果．

本文以高中物理教學中難以進行現實實驗教學的“帶電粒子在勻強磁場中的運動”為例，介紹如何利用Mathematica軟件進行課件開發和互動性創設，同時也將展示如何利用它構建情境性的教學環境以提高物理課堂教學效率．

1 “帶電粒子在勻強磁場中的運動”教學現狀

這節課的主要內容是讓學生理解帶電粒子在勻強磁場中受洛倫茲力作用下的運動規律．在教學過程中我們發現，對于“軌道圓心角大小與速度偏轉角大小相等”“速度方向與洛倫茲力方向始終垂直”這些動力學特征，學生理解得并不透徹[2]，而這些知識內容是本節中的重難點，經常出現在勻速圓周運動綜合性問題中，也是高考題常見的熱點知識．由于“磁偏轉”現象在生活中不常出現，因此讓學生順利分析出粒子的運動過程，找出其幾何關系[3]，是一個比較大的挑戰．如果能夠通過圖像和動畫形象地展示這種運動特征，并能夠讓學生親身探究運動規律，這對于學生領悟和掌握這節內容將是一個積極的幫助．

傳統的多媒體課件難以展示粒子運動的全過程，學生很難全面認識物理現象，歸納物理規律．而常規動畫缺乏對不同磁場強度、磁場邊界、粒子速度等諸多因素影響運動過程的模擬，學生在進行變式題型的訓練時，容易對運動軌跡產生聯想偏差，造成解題困難．而Mathematica軟件具有豐富的涵蓋計算領域的內置函數，強大的符號計算、數值計算和圖形繪制功能，能完成復雜的物理仿真模擬，將抽象的帶電粒子運動過程呈現給學生，并且其交互式操作功能可以實現不同參數配置下的帶電粒子運動的動態模擬，提高了程序應用于教學的適應性．所以，應用Mathematica軟件制作“帶電粒子在勻強磁場中的運動”仿真實驗可以促進課堂教學．

2 交互式程序的制作

2.1 設計思路

仿真模擬物理現象，本質就是對一個系統運動規律的建模過程．為了精準模擬帶電粒子在電磁場中運動的物理現象，要抽取帶電粒子運動的過程，以下是帶電粒子在均勻電磁場中低速運動的運動微分方程組[4，5]

而本程序模擬的是低速帶電粒子在垂直于平面的勻強磁場中的二維運動情況，因此

E=0Bx=By=0

運動微分方程組即變為

本程序中粒子的質量m、電荷量q、垂直于平面的磁感應強度B都是可調控的已知參數，再利用Mathematica軟件求出動力學微分方程組的數值解，獲得粒子運動的坐標(x，y)，輸入至繪圖命令中，對帶電粒子在勻強磁場中運動的軌跡進行構建，就可以完成物理仿真模擬．

2.2 程序實現

為了使學生能更全面地認識“帶電粒子在勻強磁場中運動”的規律，本程序使用了Mathematica軟件中的交互式操作命令Manipulate[expr,{u,umin,umax,du}]，其中expr為任意圖形的表達式,{u,umin,umax,du}用于生成一個滑動條，控制變量u從umin到umax以du等間距變化．本程序共有7個控制變量，分別是運動時間t2:{t2,0.01,4}，電荷質量m:{m,1,5,0.5}，電荷量q:{q,-8,8,1}，磁感應強度B:{B,-6,6}，發射速率v0:{v0,2,10}，發射角度θ:{θ,0,Pi}和發射位置x0:{x0,2,6}，通過調節滑動條，輸入不同變量值，配置出粒子對應不同荷質比、磁感應強度、發射速度等參數的動力學微分方程組．

利用Mathematica軟件中的NDSolve命令求微分方程組的數值解，將帶電粒子運動的實時位置坐標儲存在變量pos中，求解微分方程組程序如下：

{pos,{{points}}}=NDSolve[{m*x''[t]==q*B*y'[t],m*y''[t]==q*B*x'[t],x'[0] ==v0*Cos[θ],y'[0]==v0*Sin[θ],x[0]==x0,y[0]==0,WhenEvent[{y[t]<0,x[t]<0,y[t]>8,x[t]>8},{{x'[t],y'[t]}->{0,0},Sow[{x[t],y[t]}]}]},{x,y},{t,0,4}]//Reap;

Whenevent指定在NDSolve中，當方程組中觸發了帶電粒子運動到勻強磁場的邊界條件時，產生一個使帶電粒子速度為零的相關函數，視覺上形成了帶電粒子打在勻強磁場邊界上的效果，配合Reap和Sow[{x[t], y[t]}]命令，將帶電粒子打在磁場邊界的位置坐標儲存在points中，使程序能提取坐標并使用圖形命令Graphics畫出碰撞點．儲存在變量pos中的坐標輸入至ParametricPlot命令，可以繪制出在有邊界的勻強磁場中的帶電粒子的運動軌跡，繪制粒子運動軌跡程序如下：

ParametricPlot[Evaluate[{x[t],y[t]}]/.pos,{t,0,4},PlotRange→{{-2,10},{-2,9}},Axes→False,PlotStyle→{Dashed,Pink},Axes→False];

將上述代碼中的{t, 0, 4}改為{t, 0, t2}，t2在0.01 s到4 s內任意播放，就可以呈現出帶電粒子在0到4秒內運動的動態過程，更有利于學生觀察帶電粒子的運動過程．同時為了模擬教材中的垂直平面的磁場方向“插入點出”的表達形式，在二維圖形命令Graphics中使用了Table表格程序:

Table[Inset[Style[If[B>0,"×","·"],"Title",Bold,RGBColor[0,0,0,(1/6)Abs[B]],16],{i-0.5,j-0.5}],{i,8},{j,8}];

將“×”或“·”的磁場符號均勻分布在8×8的二維平面中，通過RGBColor顏色命令，用符號顏色透明度表示磁場大小，增強了程序的視覺效果，有利于學生直觀感受磁場強度對于“磁偏轉”現象的影響．并在圖形命令中加入了箭頭Arrow、插圖Inset、格子Grid等圖形命令，將發射速度與水平方向的夾角、軌跡半徑、運動周期和圓心角這些數據顯示在面板中，有助于學生發現和歸納帶電粒子在勻強磁場中運動的規律．

2.3 程序外觀展示

圖3、圖4對應著圖1、圖2的變量設置，分別模擬了正電粒子在垂直平面向外和垂直平面向里的磁場作用下的運動軌跡，通過點擊播放按鈕還可以展示帶電粒子運動的動態過程，增強學生的體驗感和互動感．程序將發射的速度和角度都顯示在圖像中，并且在表格內顯示了軌道半徑、周期、圓心角的數據．

圖1 交互式程序界面1

圖2 交互式程序界面2

圖3 仿真實驗結果1

圖4 仿真實驗結果2

如圖1、圖2所示，在變量的語句中，添加外觀命令Apperance，可選擇控件樣式，本程序將數據統一顯示在控件右側，方便數據記錄，并將運動時間設置為按鈕樣式，功能更加直觀．使用者可拖動滑動條來調整變量的數值，也可以選中右側數值處，輸入可調節范圍內的數值，設置完成后點擊運動的播放按鈕即可顯示帶電粒子在勻強磁場中的運動情況．

3 教學中的應用

3.1 新課教學

在“帶電粒子在勻強磁場中的運動”新課教授時，教師引導學生將“帶電粒子在磁場中運動”的特點與“圓周運動”的速度和加速度特點類比后，認識帶電粒子在勻強磁場中會做勻速圓周運動的運動學特征．根據新教材的指導，教師會采用“洛倫茲力演示儀”進行演示實驗，通過調節磁感應強度或改變出射電子速度，觀察電子運動軌跡的變化，帶領學生探究帶電粒子在磁場中的運動規律．但實際上，“洛倫茲力演示儀”在高中并不常見，更多的教師會用視頻或動畫的方式替代其教學功能．

首先，“洛倫茲力演示儀”采購單價較高，很多中學缺乏這種儀器．其次，該設備只能演示電子在固定方向磁場中的運動情況，并且不具備精確測量功能，教學用途較為單一，通常只用于演示實驗．演示實驗中教師操作儀器，將物理現象直接呈現給學生，雖然有效果直觀，節省實驗儀器，有利于降低成本，便于推廣等優點，但是也存在著學生參與度低，缺乏動手實踐過程，不利于發展學生創新和實踐能力的缺點．

而基于Mathematica制作的教學程序，只需將程序打包，通過互聯網即可共享給每一位教師和學生，解決了教學儀器不足的困難．并且程序的交互式功能允許學生配置不同參數，觀察磁場強度、磁場方向、荷質比等不同因素對帶電粒子運動軌跡的影響．學生能親身感受到磁偏轉現象中，“磁場強度越強，帶電粒子越容易發生偏轉”“粒子電荷量越大，越容易發生偏轉”等規律，對“磁偏轉”現象形成初步的感性認識．

3.2 仿真實驗

在初步認識各種因素對“磁偏轉”現象的影響后，要解決本節內容的難點問題：“帶電粒子在有界磁場中運動軌跡”的規律．由于中學不具備該內容的實驗教學條件，通常教師會采用直接教授“圖像繪制規律”的教學方式，學生沒有經過自己探索、體驗和發現規律的過程，規律與認知結構之間只是簡單的映射關系，學生不容易形成有意義學習，這不利于學生將新知識內化至自身原有的認知結構中，可能造成學生理解和運用知識解決問題等方面的困難．

而本程序能精確模擬不同初始條件下帶電粒子在有界磁場中的運動情況，教師可運用其交互式操作功能開展虛擬仿真實驗．學生通過調節荷質比、磁感應強度、出射速度等不同參數進行多次實驗探究，觀察不同條件下帶電粒子運動至磁場邊界的運動軌跡，從實踐中獲得豐富的直觀經驗，逐步發現帶電粒子運動軌跡的幾何特征．

如圖5、圖6、圖7分別展示了帶電粒子運動至磁場左側邊界、底部邊界、右側邊界的軌跡情況．經過多次實驗，教師帶領學生反復認識帶電粒子圓周運動中圓心角和速度偏轉角的關系，學生不難從中歸納出“圓心角大小等于速度偏轉角大小”的規律，結合數學幾何知識，掌握確定帶電粒子做勻速圓周運動的圓心以及運動軌跡繪制的方法，具備解決“帶電粒子在有界磁場中運動”一類問題的關鍵能力．

圖5 左側邊界

圖6 底部邊界

圖7 右側邊界

3.3 習題訓練

筆者引入一道教材中的例題，來展現本程序的習題教學功能．

【例題】如圖8所示，一個質量為m、帶負電荷粒子電荷量為q，不計重力的帶電粒子從x軸上的P點以速度v沿與x軸成60°的方向射入第一象限內的勻強磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限．已知OP=a，求：

圖8 題圖

(1)勻強磁場的磁感應強度的B的大??；

(2)帶電粒子穿過第一象限所用的時間．

考點分析：本例題通過在有界磁場中帶電粒子的運動考查學生對“磁偏轉”現象以及規律的理解．需要學生通過物理思維分析已知條件，判斷帶電粒子偏轉方向；根據速度偏轉角推斷出圓周運動軌跡圓心角大??；結合數學幾何知識確定粒子圓周運動的圓心位置和半徑大小，繪制出精確的帶電粒子運動軌跡，再進行未知量的求解．

講解過程：

師：各位同學閱讀了題目中的已知條件，可以知道帶電粒子會沿什么方向運動？

生：已知磁場方向垂直平面向外，帶電粒子是負電荷，根據“左手定則”，可知粒子會沿逆時針方向運動．

師：大家的分析非常正確，題目已知粒子垂直于y軸射出第一象限，那么大家嘗試繪制一下粒子的運動軌跡．

教師活動：調節交互式程序的參數，模擬出如圖9符合題意的帶電粒子運動情況，帶領學生觀看帶電粒子動態運動過程，指導學生與Mathematica模擬的結果進行校對，修正自己繪制的圖像．

圖9 帶電粒子運動軌跡

師：我們已經求得圓心角等于120°，帶電粒子的運動時間t和周期T之間有怎樣的關系？

設計意圖：Mathematica交互式程序將習題中靜態的物理現象動態地呈現于課堂之上，提高了教師習題教學的互動效能，動態的物理現象和教師的講解刺激學生的視聽覺，幫助學生建構正確的物理運動概念，進一步強化學生對物理知識的理解和運用，掌握帶電粒子在磁場中運動的物理規律，實現從感性認識到理性認識的飛躍．

使用Mathematica軟件制作的交互式程序，能有效解決現實“帶電粒子在勻強磁場中運動”內容教學中實驗資源不足的困難，并且在新課教學、仿真實驗和習題訓練等場景均有很好的教學價值．教師和學生使用交互式程序時，可以根據需要設置荷質比、磁場強度、發射速度等參數，既可以觀察帶電粒子的運動過程，感受各個參數對磁偏轉現象的影響，也可以觀察運動軌跡，總結運動軌跡的幾何特點，歸納帶電粒子在勻強磁場中的運動規律．學生經歷完整的科學探究過程，既可以從中獲得感性的認識，又可以增加理性的理解，提高物理學科核心素養．

4 結束語

基于Mathematica制作的仿真實驗程序，融合了科學、技術、工程、藝術、數學和編程等學科思維，體現出跨學科能力的重要性，這與STEAM教育理念十分契合，并且將其應用于教學也符合教育部的“教育信息化”主張，因此Mathematica軟件在中學理科教育中具有很高的應用價值．本程序將交互式功能應用于高中物理的重要教學內容——“帶電粒子在勻強磁場中的運動”，模擬了帶電粒子的運動過程，生動形象地展示了各種因素對于帶電粒子運動軌跡的影響，增強了教學的情境性和互動性，有助于學生更深入理解其中的物理規律，促進教學目的的達成．