TCP/AWM網絡系統的自適應有限時間漏斗擁塞控制

井元偉，謝海修，白 云

(東北大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110819)

近些年來,隨著網絡的快速發展和科技的不斷創新,用戶對網絡服務質量的要求也逐漸提升.為了保證人們的生活質量和工作效率,如何避免網絡擁塞、提升網絡性能,成為互聯網領域的熱點問題.目前,將端到端的傳輸控制協議(transmission control protocol,TCP)與主動隊列管理(active queue management,AQM)算法相結合是解決TCP網絡擁塞問題的一種廣泛且有效的方法,從而實現網絡資源的合理分配[1].最早提出的AQM算法是隨機早檢測(random early detection,RED),雖然RED算法可以減少數據包丟失和提高鏈接利用率，但是其設計參數對網絡環境變化非常敏感[2].

隨著TCP網絡建模技術的發展,根據流體流理論,Misra等[3]在2000年建立了TCP網絡的非線性動態模型,該模型為研究者們基于控制理論設計AQM算法奠定了基礎.由此產生了許多AQM方案[4-6],不僅解決了網絡中存在的傳輸延遲、外部干擾和網絡參數頻繁變化等問題,而且具有較好的穩定性和魯棒性.

AQM算法雖然能夠直接獲得隊列長度和吞吐量等信息,但只能通過丟包間接地控制源端的發送速率.然而,丟包會使擁塞控制機制發生作用,進而使得發送窗口急劇減小,增加了穩定隊列的難度.基于上述不足,Barbera等[7]提出了主動窗口管理(active window management,AWM)算法.這種算法在不修改源端節點擁塞控制算法的情況下,能夠直接控制發送端窗口的大小,避免了發送速率的突變.在文獻[8-9]中,對于AWM的研究主要集中在網絡性能的分析和比較上,并沒有從控制理論的角度對AWM機制進行深入研究.文獻[10]首次將AWM算法部署在路由器中,提出了一種基于PID的窗口控制規律,降低了系統潛在的不穩定性,但是PID控制參數設置固定,當網絡環境變化時,算法的性能將會下降.

在實際網絡中,運行在用戶數據報上的UDP流會干擾TCP流的正常傳輸,進而占用TCP網絡的帶寬.同時,在網絡擁塞控制信號傳輸的過程中,當受到外界環境的干擾,如噪聲、交流電以及人為因素等,將會使傳輸的信號發生畸變,從而使得確認報文誤碼率增加.為解決上述問題,研究者們提出了一些魯棒控制器以應對外部擾動對系統的影響,如文獻[11-13]分別利用H∞控制、干擾觀測器、Minimax理論對TCP網絡系統中存在的UDP流進行了處理,設計了相應的網絡擁塞控制器,提高了系統的抗干擾性和魯棒性.

為保證TCP/AWM網絡系統的隊列跟蹤誤差滿足預先指定的暫態和穩態性能,從而規范系統中的隊列長度,因此引入漏斗控制對誤差進行限制.漏斗控制于2002年首次被提出[14]，隨后,取得了豐富的研究成果[6,15-16].其中,文獻[15]提出了一種新的漏斗控制技術,解決了漏斗變量不可導的問題.在此基礎上,文獻[16]結合固定時間漏斗邊界和任意時間穩定理論,設計了一個AWM控制器,跟蹤誤差不僅在任意設定時間內收斂到原點,而且始終保持在所設計的漏斗邊界內.然而,該模型并未考慮外部擾動對TCP/AWM系統的影響.

在工程實踐中,為了獲得更好的系統性能,通常要求系統具有一定的快速收斂特性.因此,有限時間穩定控制的研究應運而生.相比于Lyapunov漸近穩定,有限時間穩定意義下的控制器可以使狀態變量在有限時間內收斂到平衡點或平衡點的小鄰域內,具有動態響應快、精度高等優點.基于此,文獻[17]提出了一種有限時間控制(finite-time control,FTC)的基本設計和分析方法.隨后,許多學者研究了FTC的各種穩定性和穩定方法[15,18-19].如文獻[15]設計了一種自適應有限時間模糊漏斗控制器,保證了閉環系統的所有信號是有界的.文獻[18]基于自適應模糊控制方法研究了一類具有外部擾動的高階非線性系統的自適應實際有限時間控制問題.文獻[19]針對一類非嚴格反饋非線性系統首次提出了一種半全局有限時間實際穩定性判據.然而,到目前為止,還沒有關于針對TCP/AWM網絡系統的自適應有限時間擁塞控制的研究.

受上述討論的啟發,本文將RBF神經網絡、漏斗控制、有限時間控制和Backstepping設計方法結合解決了具有外部干擾的TCP/AWM網絡系統的擁塞控制問題.具體方法:①為了使TCP/AWM網絡系統更接近真實情況,在原模型的基礎上改進了網絡動態模型,同時考慮了外部擾動對隊列變化率和窗口變化率的影響;②基于有限時間穩定理論,引入漏斗控制限制隊列跟蹤誤差,保證了跟蹤誤差在有限時間內收斂到給定的漏斗邊界內,提高了TCP/AWM網絡系統的暫態性能和穩態性能.

1 問題描述

1.1 TCP/AWM網絡模型

Barbera等[7]為了獲得鏈路容量的最大利用率,降低網絡往返時延和丟包率,提出了TCP/AWM網絡模型:

(1)

其中:q(t)為路由器瞬時隊列長度;W(t)為TCP網絡發送窗口大小;R(t)為往返時延;N(t)為TCP會話數;C(t)為路由器鏈路帶寬;Tp為傳播時延;u(t)為待設計的控制器.此外,在實際的網絡環境中,N(t)和C(t)在相當長的一段時間內變化緩慢.因此為研究方便,將其看作常數,記為N和C.

令x1(t)=q(t),x2(t)=W(t),同時考慮外部干擾對系統的影響,則變量代換后系統(1)可以寫為

(2)

其中:f(t,x)=NC/(x1(t)+TpC);x=[x1(t),x2(t)]T;y(t)為系統輸出;ω1(t)和ω2(t)為外部擾動.

模型(2)不同于現有文獻[10-11,13,16]中所使用的模型.其中,文獻[10,16]并未考慮外部擾動對系統的影響.值得注意的是,在實際網絡中,UDP流會干擾TCP流的正常傳輸,進而占用TCP網絡的帶寬,所以在常值鏈路帶寬的基礎上,減去UDP流所帶來的外部干擾,以此來表示某一時刻的鏈路容量.此外,通信網絡還存在確認報文誤碼率的問題.高誤碼率會損壞報文,造成更多的數據包丟失,從而降低數據的傳輸速率和網絡性能[20].因此,將UDP流和誤碼率作為外部擾動,并考慮其對TCP網絡系統的影響是十分有必要的.然而,文獻[11,13]僅僅考慮了外部擾動對系統單一狀態的影響.因此,本文在現有模型[10-11，13，16]的基礎上,考慮了不同的外部擾動分別對隊列變化率和窗口變化率的影響,使TCP/AWM網絡系統更接近真實情況.

TCP/AWM擁塞控制算法通過直接設計窗口的變化規律,進而控制系統發送數據的速度,使得瞬時隊列長度穩定在期望隊列長度附近,從而提高系統性能.因此,為獲得預期的控制目標,在控制器設計過程中需要引入以下假設.

假設1 外部擾動ωi(t)(i=1,2)是連續且有界的.

假設2 期望隊列qref(t)及其導數連續且有界.

1.2 預備知識

定義1[18]考慮非線性系統:

(3)

其中:x和u分別表示系統的狀態和輸入;d(t)為外部擾動;f(·)在原點的鄰域內是連續的.對于每一個初始狀態x0=x(t0),如果存在常數ε>0和0

引理1[19]對于非線性系統(3),如果存在一個正定函數V(x)∈C1和常數a>0,b>0,0<γ<1,0<φ<1,對?t≥0滿足:

(4)

則系統(3)是SGPFB,并且穩定時間Ts滿足:

(5)

引理2[19]對于任意連續的非線性函數F(X),存在RBF神經網絡能夠在緊集ΩX?Rq上以任意精度逼近未知非線性函數,即

F(X)=WTH(X)+δ,|δ|≤δ*.

(6)

其中:W=[w1,w2,…,wl]T∈Rl是權重向量;δ是神經網絡的近似誤差;δ*是δ的上界.X∈ΩX?Rq是輸入向量;H(X)=[h1(X),h2(X),…,hl(X)]T∈Rl是基函數向量，hi(X)為式(7)形式的高斯函數:

(7)

其中:ζi=[ζi1(X),ζi2(X),…,ζiq(X)]T為基函數的中心;ηi為高斯函數的寬度.

引理3[19]對于x∈R和y∈R以及任意正實數a,b和c,有式(8)成立:

(8)

引理4[20]對于xi∈R,i=1,2,…,n和0<γ<1,有式(9)成立:

(|x1|+…+|xn|)γ≤|x1|γ+…+|xn|γ.

(9)

1.3 漏斗控制和誤差變換

為了使隊列跟蹤誤差e1(t)=x1(t)-qref(t)具有更好的暫態和穩態性能,受文獻[15]的啟發,選擇漏斗邊界函數ρ(t):

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-βt+ρ∞.

(10)

其中:ρ0>0為漏斗邊界函數初值且滿足|e1(0)|<ρ0;ρ∞>0為設計常數;β>0決定ρ(t)的收斂速度.

定義誤差變換函數:

(11)

經計算可得ζ1(t)關于時間t的導數為

(12)

2 主要結論

本節針對TCP/AWM網絡系統(2)設計了一個自適應有限時間跟蹤控制器.通過穩定性分析表明跟蹤誤差在有限時間內是有界的且處于預先設定的漏斗邊界內.

2.1 自適應有限時間控制器設計

根據反步法的思想,定義如下坐標變換:

z1=ζ1,

(13)

z2=x2-α1.

(14)

其中,α1是虛擬控制律.

步驟1 求取z1的導數:

(15)

選取Lyapunov函數:

(16)

(17)

其中,F1=Γω1.

采用RBF神經網絡去逼近非線性函數F1:

(18)

(19)

其中,a1>0是設計參數.

將式(19)代入式(17),可得

(20)

α1=

(21)

(22)

其中:k1>0;σ1>0; 0.5<γ<1是設計參數.

將式(21)，式(22)代入式(20),可得

(23)

步驟2 求取z2的導數:

(24)

選取Lyapunov函數:

(25)

(26)

采用RBF神經網絡去逼近非線性函數F2:

(27)

(28)

其中,a2>0是設計參數.

將式(28)代入式(26),可得

(29)

(30)

(31)

其中,k2>0,σ2>0是設計參數.

將式(30)～式(31)代入式(29),可得

(32)

到此,TCP/AWM網絡系統的自適應有限時間跟蹤控制器設計完成.

2.2 穩定性分析

在本小節中,針對TCP/AWM網絡系統(2)進行穩定性分析,并給出該系統是SGPFB的充分條件.

定理1考慮具有外部干擾的TCP/AWM網絡系統(2),在假設1和假設2以及|e1(0)|<ρ0的條件下,如果選擇合適的虛擬控制律(21),實際控制律(30)以及自適應律(22)和(31),則閉環系統的所有信號是SGPFB,同時隊列跟蹤誤差e1(t)始終保持在預先設定的漏斗邊界內.

證明 根據Young’s不等式,可得

(33)

(34)

將式(33)～式(34)代入式(32),可得

(35)

根據引理4,式(35)進一步有

(36)

其中,μ=min{2γ-1k1,2γ-1k2,σ1,σ2}.

(37)

將式(37)代入式(36),并結合引理4,可得

(38)

其中,Θ=μ(1-γ)γγ/(1-γ)+Δ.

根據引理1有,穩定時間為

(39)

(40)

將式(40)分為兩種情況討論,具體內容如下:

(41)

將式(41)代入式(40),進一步得到

(42)

解不等式(42),可得

(43)

其中,當T>Ts時,進一步有

(44)

根據式(16)和式(25),可得

(45)

由式(44),式(45)有

(46)

(47)

最終,可以得出

(48)

因此,隊列跟蹤誤差e1(t)始終被約束在預先設定的漏斗邊界內.

3 仿真及結果

在本節中,考慮具有N個TCP流會話數的單瓶頸啞鈴型的網絡拓撲結構,如圖1所示.通過使用MATLAB/SIMULINK將本文獲得的AWM算法進行仿真研究,驗證所提方法的可行性和優越性.

圖1 單瓶頸啞鈴型網絡拓撲結構

TCP/AWM網絡系統的參數選擇如下:N=100,C=1 750 P/s,Tp=0.15 s,qref(t)=100 P,初始狀態x0=[120,0.1]T.控制器的參數設計如下:k1=12,k2=80,γ=0.99,a1=1,a2=0.4,r1=10,r2=100,σ1=0.01,σ2=0.01.漏斗邊界函數參數選擇為ρ0=25,ρ∞=0.5,β=18.外部擾動分別選擇為ω1(t)=1.25sin(6t)+0.75cos(πt)+2 P/s 和ω2(t)=0.05e-0.2tP/s.其中,P表示包(packet).

圖2依次表示路由器的瞬時隊列長度q(t)、系統窗口大小W(t)及本文所提出的AWM擁塞控制器u(t)的響應曲線,可以看出隊列長度、窗口大小和控制輸入均是SGPFB.

圖2 系統狀態變量及控制輸入的響應曲線

為了說明所提方法的有效性,將本文的仿真結果與文獻[10]的PID方法和文獻[13]的Minimax方法進行比較,得到如圖3，圖4所示的仿真結果.

由圖3可以看出,所設計的控制器能夠使隊列跟蹤誤差在有限時間內收斂到原點的小鄰域內并且一直保持在預設的漏斗邊界內.與 PID 方法相比,它具有更快的收斂速度以及更小的超調量.雖然Minimax方法所獲得的隊列跟蹤誤差的收斂速度與本文方法的收斂速度近似相同,但是由圖4可以看出,Minimax方法的控制信號的幅值要遠大于本文所提方法.此外,根據系統窗口大小的對比曲線圖可知,雖然三種方法的窗口大小最終均收斂在3.63 P附近,但是本文所提方法的窗口大小的超調量更小,收斂速度更快.

圖3 隊列跟蹤誤差及窗口大小的對比結果

圖4 控制輸入的對比結果

4 結 語

在本文中,利用有限時間穩定理論、漏斗控制、RBF神經網絡和Backstepping技術,提出了一種TCP/AWM網絡擁塞控制系統的自適應有限時間控制方法.采用RBF神經網絡逼近外部干擾，可以很好地抑制干擾對系統的影響.通過穩定性分析證明了閉環系統中的所有信號都是有界的,并且可以使得路由器隊列長度在有限時間內跟蹤上期望隊列.最后,將本文設計方法分別與現有的兩種方法作對比，不難發現，所設計的控制器可以使系統響應更快，超調更小,進一步驗證了所提方法的有效性.

在未來的工作中,考慮多瓶頸拓撲結構或者利用多智能體系統的設計思想,可以將該方法推廣到多路由的TCP/AWM網絡中,同時應用網絡模擬器如NS-2/3驗證所提算法的性能.