含中間質量改進三參數隔振器動力學特性研究

朱冬梅 肖凱莉 劉海平

摘要：通過在含X形機構非線性三參數隔振器中引入中間質量，提出一種改進三參數隔振器并建立其理論模型.采用諧波平衡法得到隔振系統的穩態解析解，利用四階龍格庫塔法和多體動力學軟件ADAMS驗證其正確性.將力傳遞率作為評價隔振系統動態性能的技術指標，與傳統三參數隔振器以及含X形機構非線性三參數隔振器進行對比，結合工程實際，分別給出3種類型隔振器在多頻穩態激勵下的時域位移響應，并進行對比研究.分析了該隔振系統的功率流特性以及能量特征，選擇隔振系統部分關鍵設計參數進行影響因素分析.從動力吸振器的角度，討論了所提模型中非線性連接方式對其減隔振效果的影響.計算結果表明，合理選擇中間質量可以在原隔振系統諧振頻率附近形成一個反共振低谷，且系統固有頻率向低頻移動，使隔振系統有效隔振頻帶變寬；相比于傳統三參數隔振器和含X形機構非線性隔振器，隔振系統在低頻和高頻的隔振性能均得到有效提升；通過力傳遞率評估設計參數，結果表明各參數均存在最優值；將線性動力吸振器與接地X形機構連接，可進一步改善其減隔振效果.

關鍵詞：非線性分析；隔振器；諧波平衡法；中間質量；動力學分析

中圖分類號：TB123文獻標志碼：A

Research on Dynamics Characteristics of Improved Three-parameter Isolator with Intermediate Mass

ZHU Dongmei，XIAO Kaili，LIU Haiping

（School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China）

Abstract：By introducing an intermediate-mass into the nonlinear three-parameter isolator with an X-shaped mechanism，an improved three-parameter isolator is proposed，and its theoretical model is established. The Harmonic Balance Method is used to obtain the steady-state analytical solution of the vibration isolation system，and the correctness is verified via the fourth order Runge-Kutta method and ADMAS. By using the force transmissibility as the indicator for evaluating the isolating performance，some comparisons are carried out among the proposed isolators. Meanwhile，according to the engineering application，the time-domain displacement responses of three types of isolating systems under multi-frequency steady excitation are solved，and a comparative study is carried out，respectively. The vibration power flow and maximum kinetic energy are investigated，and some typical design parameters are selected and analyzed. At last，from the perspective of the vibration dynamic absorber，the effects of the nonlinear connection on the vibration suppressing performance are further discussed. The calculation results show that the natural frequency of the vibration isolator can be decreased after the intermediate mass is introduced into the system，the effective vibration isolation frequency band of the vibration isolation system becomes wider，and an anti-resonance frequency is introduced at the original resonant frequency at the same time. Compared with the traditional three- parameter isolator and the nonlinear vibration isolator with an X-shaped mechanism，the vibration isolation performance of the developed isolator at both low and high frequencies is improved accordingly. In addition，the abovementioned all design parameters exist the optimal values when the force transmissibility of the nonlinear isolator is used as an evaluating index. Besides，the vibration suppressing performance of the vibration dynamic absorber with a grounded X-shaped mechanism is enhanced.

Key words：nonlinear analysis；isolator；harmonic balance method；intermediate mass；dynamic analysis

與傳統兩參數隔振器相比，三參數隔振器在阻尼元件上串聯了輔助剛度元件，相當于整個系統與基礎彈性連接.與傳統兩參數隔振器相比，可以在抑制共振峰的同時顯著改善其高頻隔振效果.三參數隔振器最早由Ruzicka等提出[1-1].王杰等[3-4]針對三參數流體阻尼器模型提出一種確定模型阻尼系數的機械阻抗等效理論與測試方法.王超新等[5]給出三參數隔振系統最優阻尼的設計方法，為后續微振動減振平臺設計提供理論支持.

為了進一步提升隔振器的減隔振效果，非線性隔振器受到研究人員持續廣泛的關注[6-9].一些研究人員將負剛度元件引入隔振系統中，使其具備“高靜低動”的力學特性[10-13].Lorrain[11]將正負剛度并聯的低頻隔振原理用于隔振器和地震儀；Liu等[14]將歐拉壓桿作為一種負剛度元件與線性彈簧并聯安裝在隔振系統中；王保勵[15]利用水平彈簧連桿機構提供負剛度，提出一種具備仿生特征的非線性低頻隔振器；劉彥琦等[16]利用兩組傾斜布置的彈簧和一根豎直彈簧分別實現隔振系統的負剛度和正剛度特性；董光旭等[17]利用磁性負剛度彈簧與機械彈簧的組合設計實現系統超阻尼輸出；邢昭陽等[18]以Voigt型動力吸振器為基礎提出一種將杠桿機構應用于含負剛度彈簧元件的動力吸振器模型；Wang等[19]提出一種新型的負剛度放大阻尼器，并將其應用到地震工程研究中.因此，引入負剛度元件成為提升隔振器減隔振性能的熱點研究方向之一.

除了負剛度元件可以提供非線性特性以外，一些具有特殊性能的結構/機構由于其自身優越的幾何非線性特性也被廣泛應用到減隔振系統中，例如：X形機構[20-23]，薄片結構等.Liu等[24]充分利用X形機構的幾何非線性特性，將n層X形機構與杠桿系統組合應用到被動隔振或者半主動隔振中，實現較好的低頻寬帶隔振.受到自然界中動物肢體形狀的啟發，Wu等[25]提出一種包含不同桿長和不同線性剛度的仿生結構.Bian等[26]、Feng等[27]提出一系列基于X 形機構的非線性隔振器，研究表明，X形機構可以利用自身的幾何非線性特性對隔振系統的剛度和阻尼特性實現放大.Wang等[28]提出一種基于仿生學的垂直非對稱X形隔振器，研究表明，此類非對稱布置結構比對稱布置的結構擁有更低的固有頻率和傳遞率.劉海平等[29]、Liu等[30]基于傳統三參數隔振器和X形機構在減隔振方面的優良性能，提出一種含幾何非線性三參數隔振器模型.

在被動振動控制中，通過在隔振系統中增設質量元件，可以有效降低系統固有頻率，并且改變系統原始的響應特征，使原有質量元件的共振轉變為附加質量的共振，生成一個反共振頻率，從而改善系統的低頻隔振效果.

為了進一步改善內含X形機構非線性三參數隔振器在低頻段的減隔振效果，本文提出一種含中間質量的改進三參數隔振器，并建立其動力學模型.在此基礎上，利用諧波平衡法求解系統的頻響特性，通過四階龍格庫塔法和多體動力學軟件ADAMS對系統解析解的正確性進行驗證.分析系統在不同質量比條件下的功率流特性以及最大動能，采用力傳遞率作為系統隔振性能的評價指標，通過與傳統三參數隔振器和含X形機構非線性三參數隔振器進行對比研究，討論了多頻寬帶穩態激勵下不同類型隔振器的減隔振效果.在此基礎上，針對該類隔振系統的多個關鍵設計參數開展影響分析.最后，從動力吸振器角度對X形機構非線性特征的影響展開討論.相關工作可為新型隔振器設計奠定理論基礎.

1含中間質量改進三參數隔振器模型

含中間質量改進三參數隔振器模型如圖1所示.其中，彈簧k_v為主支撐彈性元件，k_e為輔助支撐彈簧，附加質量塊m和X形機構依次串聯.X形機構由4根長度均為l的剛性桿鉸接組成，每根桿與水平軸的角度為θ_i，φ為剛性桿與水平軸的夾角變化量.阻尼元件c和剛度元件k_h并聯并以鉸接方式與X形機構相連.此外，F代表系統所受外部激勵力，y₁和y₂分別表示X形機構左右兩側活動鉸接點在運動過程中發生的位移，x₁和x₂分別代表質量塊M和m的位移.

為了方便比較，給出含幾何非線性三參數隔振器模型以及傳統三參數隔振器的模型，分別如圖2 和圖3所示.其中，kv和ke表示系統的剛度；c和M分別代表系統的阻尼和質量.以上4個參數均與含中間質量改進三參數隔振器相同.

2動力學建模及計算驗證

2.1動力學建模

根據牛頓第二運動定律，建立隔振系統在力激勵下的運動微分方程：

由圖1可知，X形機構內部的幾何關系為：

假設系統所受外部激勵力F=F₀cosωt，將式（2）中的幾何關系代入式（1），可得：

為了簡化計算，定義以下兩個函數：

將函數f₁（x₂）和f₂（x₂）在x=0處分別進行三階泰勒級數展開，可得：

其中，β₀、β₁、β₂、β₃、β₄、β₅的詳細表達式如下.

將式（6）代入式（3）并忽略高次項，可得：

引入以下無量綱參量：

此處，采用諧波平衡法對系統進行求解，設u₁和u₂穩態解的形式為：

u₁=u₁₀cos（Ωτ+β）

u₂=u₂₀cos（Ωτ+ψ）（9）

將式（9）代入式（8），略掉高次項，并假設一次諧波項系數相等，可得：

定義A、B、C、D4個參數：

則系統在力激勵條件下的幅頻響應和相頻響應分別表示為：

2.2計算結果驗證

2.2.1與數值計算結果對比

為了驗證含中間質量改進三參數隔振器所得解析解的正確性，利用四階龍格庫塔法給出系統的數值解并進行驗證.

為了便于對比，根據參考文獻[29]暫定k_v=2 000 N/m，l=0.1 m，M=1 kg，c=1 Ns/m，γ₁=k_h/k_v=0.05，γ₂=k_e/k_v=3，θ_i=60°，μ=m/M=4.

隔振系統質量塊M的位移幅頻響應如圖4所示.同時，圖4中還給出相應模型的數值解.由圖4可見，該隔振系統的數值解和解析解結果基本吻合.

2.2.2與仿真計算結果對比

為了進一步驗證所建模型及解析解的正確性，利用多體動力學軟件ADAMS進行仿真計算，所建模型如圖5所示.利用ADAMS現有的鉸接桿模型建立四桿結構，4個鉸接桿兩兩鉸接，且在其內部水平連接彈簧和阻尼單元，表征模型中的水平彈簧和阻尼；在四桿機構頂部鉸接點與附加質量塊鉸接，并在該質量塊上添加垂向移動副，在附加質量塊與頂部矩形塊之間連接一個彈簧，表征模型中的垂向彈簧k_e；頂部質量塊與底部質量塊用彈簧連接，表征模型中的彈簧k_v.

本部分仿真模型參數與2.2.1節相同.利用所建模型，在上端主質量施加激勵幅值為1 N的正弦激勵，計算得到質量塊M在1～1 000 Hz頻段內，步長為2 000條件下的位移響應，如圖6所示.由圖6可知，該隔振系統的解析結果與利用ADAMS仿真計算所得結果基本一致.

3不同類型隔振器隔振特性對比分析

3.1力傳遞率對比分析

用力傳遞率評價含中間質量改進三參數隔振器的隔振性能，采用簡諧振動的疊加方式，得到傳遞到基礎的力為：

傳統三參數隔振器的力傳遞率T_f1和含中間質量改進三參數隔振器的力傳遞率T_f2分別為：

另外，含X形機構非線性三參數隔振器的力傳遞率參見文獻[29].

為了評價本文所提含中間質量改進三參數隔振器的隔振效果，將該模型與傳統三參數隔振器（參見圖3）和非線性三參數隔振器（參見圖1）進行對比，具體設計參數分別為k_v=2 000 N/m，l=0.1 m，M=1 kg，c=1 Ns/m，γ₁=k_h/k_v=0.05，γ₂=k_e/k_v=3，θ_i=60°，μ=m/M=4，3種隔振器中相同元件的參數相同.3種不同類型隔振器的力傳遞率計算結果如圖7所示.圖7 中“M-M”表示含中間質量改進三參數隔振器“X- M”表示非線性三參數隔振器“R-M”表示傳統三參數隔振器.

由圖7可知，與其他兩種隔振器不同，含中間質量改進三參數隔振器可形成一個反共振頻率.當激勵頻率等于反共振頻率時，含中間質量改進三參數隔振器的隔振效果最好；當激勵頻率處于反共振頻率附近時，含中間質量改進三參數隔振器的隔振效果明顯優于傳統三參數隔振器和非線性三參數隔振器.因此，可通過調整隔振器的設計參數，使反共振頻率接近設備的振動頻率，從而使隔振器最大限度地發揮減隔振效果.而且，受中間質量影響，隔振系統諧振頻率向低頻移動.

另外，與傳統三參數隔振器相比，引入X形機構后非線性三參數隔振器的諧振振幅減小了8.64 dB，頻率比由1增大到1.08，且在頻率比約4.6～19.4頻段內，含中間質量隔振器的傳遞率與傳統三參數隔振器基本一致；在頻率比大于19.4的隔振頻段，含中間質量改進三參數隔振器的力傳遞率較低，證明在高頻范圍含中間質量隔振器的減隔振性能更優.

綜上，受中間質量影響，三參數隔振器諧振頻率向低頻移動，在原隔振系統諧振頻率附近的響應幅值顯著減小，在高頻段減隔振性能得到提升.

3.2時域特性對比分析

在工程實際中，系統所受的環境激勵一般為多頻寬帶激勵，為了研究含中間質量改進三參數隔振器的振動抑制效果，假設系統所受激勵頻率分別為22、34、42、52、63、71、85 rad·s^-1.

圖8給出含中間質量改進三參數隔振器在多頻力激勵條件下的時域位移響應曲線.由圖8可知，在0～3 s內，傳統三參數隔振器的最大位移響應幅值為8.4×10^-3m，非線性三參數隔振器的最大位移響應幅值為5.3×10^-3m，含中間質量改進三參數隔振器的最大位移響應幅值為1.3×10^-3m.結合計算結果可知，與傳統三參數隔振器相比，含中間質量改進三參數隔振器以及非線性三參數隔振器的隔振效果均有不同程度的提升.但是，含中間質量改進三參數隔振器的減隔振效果最優.

4含中間質量改進三參數隔振器動力學特性

4.1不同質量比對功率流與能量特性的影響

從系統內部振動能量分布情況出發，采用功率流方法評價隔振器對慣性質量動態響應的控制效果.在進行振動功率流特性分析時，往往對該隔振系統單位時間內的平均功率流進行求解計算.對于本文提出的隔振系統，采用剛性基礎，在一個振動周期T=2π/Ω內，系統的無量綱平均輸入功率與無量綱平均耗散功率相等.

系統的瞬時輸入功率為系統輸入的激勵與系統響應的乘積，即

P_in=P_d=-u₁₀Ωsin（Ωτ+α）f₀cos Ωτ（18）

式中：P_in為系統的瞬時輸入功率；P_d為系統的瞬時耗散功率.系統在單位時間周期內的無量綱平均輸入功率與無量綱平均耗散功率可以表示為分貝的形式：

將本文所提隔振系統中的質量塊M在正弦諧波激勵下的最大動能以分貝形式表示：

圖9和圖10分別為不同質量比對應的功率流曲線和最大動能曲線.由圖9和圖10可以看出，改變質量比，對隔振系統在高頻段及低頻段處的動態特性無明顯影響；但隨著質量比不斷增大，系統的功率流及最大動能曲線對應的兩個峰值均向低頻移動；隨著質量比增大，兩個峰值之間的低谷頻率不斷降低，兩峰之間的頻段逐漸變寬.

4.2不同參數對力傳遞率影響分析

重點針對在隔振器中引入中間質量后，阻尼比ζ、剛度比γ₁和γ₂、初始角度θ_i和質量比μ對力傳遞率的影響進行研究.初始設計參數與2.2.1節相同.

保持其他設計參數不變，選擇不同初始阻尼比ζ對應系統力傳遞率，如圖11所示.由圖11可知，當阻尼比ζ=0時，在頻率比Ω=1.2兩側出現新的諧振峰，且隨著阻尼比增大諧振幅值減??；受中間質量影響，在頻率比Ω=0.9附近，隔振系統的力傳遞率出現一低谷，且隨著阻尼比增大谷值增大；阻尼比增大，隔振系統的第2個諧振峰的諧振頻率向低頻移動且頻帶變寬.當阻尼比大于0.84時，隨著阻尼比繼續增大，系統由于引入中間質量所產生的低谷逐漸消失.因此，阻尼比的最優值為［0，0.84］.

僅考慮剛度比γ₁變化對隔振系統力傳遞率的影響，如圖12所示.由圖12可知，當-1<γ₁<0時，隔振系統中的水平彈簧呈現負剛度特征，此時系統的諧振峰對應的頻率比Ω>2且僅呈現一個諧振峰；隨著剛度比增大且大于0時，兩個諧振峰出現在頻率比Ω=1.6兩側，隨著剛度比增大峰值增大，且第2個諧振峰對應的諧振頻率向高頻移動，頻帶變窄；在頻率比Ω<3的高頻范圍，隔振系統的力傳遞率衰減特性良好.當剛度比γ₁為［0.01，0.08］時，系統的低谷頻率位于Ω=1附近，且對應位于低頻段的第1個諧振峰值較小.因此，剛度比的最優值為[0.01，0.08].

考慮剛度比γ₂變化對隔振系統力傳遞率的影響，計算結果如圖13所示.由圖13可知，當γ₂=0時，隔振系統力傳遞率僅呈現一個諧振峰且對應的頻率比Ω<1；隨著剛度比γ₂增大，第1個諧振峰對應的頻率向低頻移動，峰值逐漸降低；在頻率比Ω>2附近出現另一個幅值較小的諧振峰，且該諧振峰的峰值增大，頻帶逐漸變寬，導致高頻段的力傳遞率衰減效果變差；隨著剛度比γ₂增大，隔振系統受中間質量反共振特征影響出現的谷值增大.剛度比γ₂存在最優值為[2，5]，對應系統的低谷頻率處于Ω=1附近.

圖14給出不同初始角度θ_i對應隔振系統的力傳遞率.由圖14可知，當初始角度為[0°，45°]時，隔振系統的力傳遞率在頻率比Ω=1.2的兩側呈現出新的諧振峰以及反共振特征引起的谷值；當初始角度為[45°，75°]時，隨著初始角度增大，位于低頻段的第1 個諧振峰對應的頻率向高頻移動，且原有的兩個諧振峰的峰值逐漸減??；當初始角度大于75°時，隨著角度的進一步增大，中間質量引起的谷值減小，隔振系統僅呈現一個諧振峰且頻帶變寬，高頻范圍的力傳遞率衰減性能變差.因此，該初始角度的最優值為[45°，75°].

考慮隔振系統選擇不同質量比μ對其力傳遞率的影響，如圖15所示.由圖15可知，當質量比μ<0.25時，系統存在2個諧振峰，第1個諧振峰出現在Ω=1處；當質量比μ>0.25時，頻率比Ω=1處的諧振峰逐漸減小并逐漸消失，僅保留Ω=1的右側的第2個諧振峰，峰值隨著質量比的增大而增大.當質量比為[0.1，0.3]時，系統存在反共振特性，且2個諧振峰值較低.因此，質量比也存在最優值，為[0.1，0.3].

4.3非線性特征及連接方式對主振系動態響應特性的影響

在建立理論模型中，相對于主振系，中間質量及附屬元件可視為動力吸振器.本節進一步討論相比常規線性動力吸振器，X形機構引入的非線性特征及連接方式的變化對主振系動態響應特性的影響.

為了便于對比，給出安裝線性動力吸振器的系統動力學模型，如圖16所示，并研究其受外部激勵力F=F₀cosωt時對應主振系的頻響特性.其中，x₁和x₂分別為質量塊M和m的振動位移，k_v和k_e均為線性彈簧，以上所有參數均與2.2.1節相同.

根據牛頓第二運動定律，安裝線性動力吸振器系統受力激勵的運動微分方程為：

引入以下無量綱變量：

計算得到主振系的位移幅值x₁₀為：

圖17為不同模型對應主振系的位移頻響曲線. 其中“M-M”表示含中間質量改進三參數隔振器（參見圖2）“T-M”表示安裝線性動力吸振器系統（參見圖16）.為了便于對比，分別給出未安裝動力吸振器系統模型（w/o VDA）和不考慮阻尼時對應含中間質量改進三參數隔振器（M-M，c=0）的主振系位移頻響曲線.

由圖17可知，安裝動力吸振器后線性系統諧振頻率附近峰值變為谷值，且在兩側引入新的諧振峰；受X形機構引入非線性特征影響，第1個諧振頻率高于線性吸振器且峰值降低；考慮阻尼影響，連接X形機構動力吸振器引起的諧振峰值被進一步降低；第2個諧振頻率對應峰值受X形機構（不含阻尼）影響較小，與安裝線性動力吸振器對應頻響結果相近；當考慮阻尼影響時，第2個諧振頻率對應峰值得到有效抑制.除了上述諧振頻率附近頻段，在Ω<0.2的低頻范圍和Ω>4的高頻范圍不同模型對應頻響曲線一致.

5結論

本文建立了含中間質量的改進三參數隔振器動力學模型，并進行了相關動力學特性研究，得到以下主要結論：

1）隨著質量比不斷增大，系統的平均輸入功率流以及最大動能特性對應的兩個峰值以及兩峰之間的低谷向低頻移動，且兩峰之間的頻段逐漸變寬.因此，增大質量比可以有效改善系統的隔振性能.

2）頻域力傳遞率和時域位移響應對比表明，中間質量進一步改善了非線性三參數隔振器的減隔振性能，含中間質量的非線性三參數隔振器不僅可以改善系統的高頻隔振性能，而且可以充分利用其反共振特性，使得激勵頻率為某一固定范圍時的隔振性能顯著提高.

3）在非線性三參數隔振器中引入中間質量，使隔振系統的固有頻率向低頻移動且原隔振系統的諧振峰受反共振特征影響而得到極大衰減；受中間質量影響，隔振系統各關鍵設計參數的影響主要集中于低頻范圍，且存在最優值.

4）將線性動力吸振器與接地X形機構連接，受其非線性特征影響，第1個諧振頻率被提高且峰值得到有效抑制.

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