立足基礎、穩中求新、關注核心素養
——2021年高考“數列”專題命題分析與備考建議

孔繁晶 (徐州高等師范學校 221116)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出數列作為一類特殊函數，是反映離散過程的基本模型．它不僅是數學課程的重要研究對象，在其他領域和日常生活中也有著廣泛的應用，其研究過程還蘊含了豐富的數學思想方法，對培養學生邏輯推理、數學運算和數學建模等能力有著不可忽視的作用．2021年高考共計10套數學試題，每套試題均將數列作為主干知識進行考查．試題編制突出數學本質，重視理性思維，堅持素養導向、能力為重的考查方向．

1 考查內容分析

綜合分析2021年高考數學試題，其數列命題圍繞等差、等比兩類特殊數列展開，重點考查概念的理解、基本量的計算以及蘊含的數學思想．

1.1 考點分布合理

2021年10套高考數學試題共計18道數列問題，統計如表1.2021年高考數列考查內容分布均衡，主要集中在以下幾個方面：數列的表示方法，項與和的關系；等差(比)數列的判斷和性質；等差(比)數列的通項公式、前n項和公式；利用遞推關系求通項；數列求和；數列的綜合應用等．其中，等差(比)數列的概念、性質、通項公式以及前n項和公式仍是考查重點．部分試題還與函數、方程、不等式、簡易數論、數學歸納法相結合進行考查，如北京卷第21題，浙江卷第10題、第20題，天津卷第19題等．

表1 2021年高考數學試卷數列問題考查情況統計

1.2 分值比重相當

10套試題中，數列內容均有一道解答題，選擇題、填空題數量各有不同．總分值在10～24分之間，全國統一命題卷相對偏低，在10～17分之間，地方自主命題卷相對偏高，在15～24分之間．

1.3 文理差異存在

全國甲、乙卷均針對文、理科學生的能力差異進行分別命題．其中，全國甲卷解答題采用同一題源，理科以“結構不良問題”形式進行考查，文科則以傳統形式進行設計．可見，文理科命題差異依然存在，理科思維跨度稍大，更加注重抽象與邏輯思維，文科則偏重基礎知識與基本技能．

1.4 難度層次分明

全國統一命題的數列試題均以容易題和中檔題為主，主要考查基礎知識和基本方法．值得注意的是，首次問世的新高考I卷數列填空題綜合性較強，考查了學生發現、分析、解決問題的能力．而數列解答題一改江蘇卷多年風格，未與其他知識點交匯命題，也不再以壓軸題的身份出現．

地方自主命題的數列試題呈現多層次考查態勢．北京卷、上海卷的填空、選擇題各一道，一道容易題，一道較難題，浙江卷只有一道選擇題，難度較大．而解答題題號均相對偏后，屬于中檔題或難題，北京卷的解答題為壓軸題，難度大．

1.5 問題力求創新

2020年10月，中共中央、國務院在《深化新時代教育評價改革總體方案》中提出要構建引導學生德智體美勞全面發展的考試內容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題的創新性．2021年高考數列試題踐行這一思路，出現以傳統文化為情境的微型建模、加大開放題的創新力度，將考查指向核心素養和關鍵能力，發揮高考的選拔功能．如全國甲卷理科第18題、新高考I卷第16題、北京卷第21題．

2 命題思路分析

2021年高考數列試題緊扣考試大綱，遵循“基礎性、綜合性、應用性、創新性”的命題原則，立足基礎，穩中求新，關注學科核心素養，落實“立德樹人，服務選才”的核心功能．

2.1 立足基礎，重視基礎知識、基本技能和基本方法

等差、等比數列是高中階段研究的兩類重要特殊數列．《普通高中數學課程標準(2017年版)》要求探索并掌握等差(比)數列的概念、變化規律、通項公式和前n項和公式．因此，基本量、基本運算一直都是高考考查的重點．

例1(新高考Ⅱ卷第17題)記Sn是公差不為0的等差數列{an}的前n項和，a3=S5，a2a4=S4．

(1)求數列{an}的通項公式an；

(2)求使Sn>an成立的n的最小值．

評析本題考查等差數列的通項及前n項和公式，是典型的基本量計算題．題目著眼等差數列五個量a1,an,d,n,Sn之間的關系，通過構造方程組，求得an，Sn，再建立一元二次不等式確定n的最小值．這類問題屬于高考數學高頻考點，重點考查通性通法，方程、整體代換等思想以及數學運算素養．同時，此類解答題還是考查學生數學語言能力的良好載體，書寫過程不必繁瑣，但不可缺少關鍵步驟，例如代數化簡、寫出基本量等．

例2(全國甲卷文科第9題)記Sn為等比數列{an}的前n項和．若S2=4，S4=6，則S6=( )．

A.7 B.8 C.9 D.10

A.64 B.100 C.128 D.132

評析上述兩道例題，依然考查等差(比)數列的通項、前n項和以及性質．在解題時若能靈活運用性質，將其與基本量運算相結合，如例2依題意知“S2,S4-S2,S6-S4成等比數列”，例3利用“2b3=b1+b5”均可簡化計算、節約時間．這也體現了高考命題小題考“小”、解題“多路徑”的特征．

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

評析縱觀多年各地考題，數列求和問題屢“考”不鮮．本題題干清晰，易于入手，第(1)小題構造方程求解；第(2)小題考查形如cn=an·bn的數列求和(其中{an}為等差數列，{bn}為等比數列)，需利用錯位相減法和等比數列前n項和公式分別求得Tn和Sn，再用作差法完成不等式證明．處理此類問題需要邏輯清晰、公式熟練，其中，錯位相減法也是高考數學中考查學生數學運算能力極好的載體．

2.2 適度綜合，關注數學本質、理性思維和關鍵能力

高中數學各知識點并非互相孤立，而是相互關聯的．因此，近年高考命題遵循覆蓋全面、適度綜合的原則．所謂綜合，既可指內容，如章節內部、章節之間、跨學科的綜合，也可指能力，如聯合考查多個核心素養，以促進師生重視知識間的邏輯關系，重視數學本質，重視理性思維和關鍵能力的培養．

(1)記bn=a2n，寫出b1,b2，并求數列{bn}的通項公式；

(2)求{an}的前20項和．

評析本題位于試卷解答題第一題，無疑應該屬于基礎題一類．但遞推數列與等差數列的結合，又涉及分奇偶討論，這樣相對綜合的問題難住了不少考生．第(1)問關鍵在于通過奇偶分支寫出“bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3=bn+3”， 第(2)問則需要繼續依據奇偶項分類，通過分組求和得出S20．由此可見，所謂大題考“質”，就是避開一些命題固定套路，回歸數列本質，通過列舉找尋規律，用最原始、最簡單的辦法突破問題．

(1)證明：數列{bn}是等差數列；

(2)求{an}的通項公式．

例7(全國甲卷理科第7題)等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn．設甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數列，則( )．

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)設數列{bn}滿足3bn+(n-4)an=0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn．若Tn≤λbn，對任意n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍．

評析數列作為高考數學重要考點，既可以獨立命題，也可以在與其他數學知識、方法交匯處命題，從而全面考查學生的學科核心素養．常見類型是與函數方程、不等式、數學歸納法、簡易數論等知識相結合，且綜合考查多個知識點，難度較大，尤其在自主命題地區常以壓軸題身份出現．

例7相對簡單，將等比數列通項、性質以及前n項和與四種條件相結合，依據定義進行充分性和必要性的判斷．例8難度較大，考查了遞推數列求通項和裂項求和，還融合了利用導數判斷函數單調性、數學歸納法以及不等式放縮等內容，著實對學生的綜合應用能力進行了考查，具備選材價值．例9第(1)問考查Sn與an關系，屬于基本題型，第(2)問借助錯位相減法求Tn，轉化成λ(n-4)+3n≥0恒成立問題，考查了特殊數列求和的常見方法以及分類討論等重要數學思想．

2.3 靈活應用，突出理論聯系實際，學以致用

新一輪教學改革倡導理論聯系實際，學以致用，體現數學的應用價值．故高考試題命制將會彰顯數學學科內外的應用，考查學生必備知識水平與關鍵能力，逐級深化構建德智體美勞全面發展的考試體系．

例10(北京卷第10題)數列{an}是遞增的整數數列，且a1≥3，a1+a2+a3+…+an=100，則n的最大值為( )．

A.9 B.10 C.11 D.12

評析本題雖然容易，卻從簡易背景入手，考查學生應用等差數列前n項和等知識解決問題的能力，顯現出學科內應用的命題思路．

例11(上海卷第19題)已知某企業2021年第一季度的營業額為1.1億元，以后每個季度的營業額比上個季度增加0.05億元，該企業第一季度的利潤為0.16億，以后每季度比前一季度增長4%．

(1)求2021年起前20季度營業額的總和；

(2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業額的18%？

評析本題以求企業20季度營業額之和以及利潤探討命題，引導學生關注社會生活，理解數學的應用價值．第(1)問考查等差數列前n項和公式的應用，第(2)問利用等差(比)數列通項知識建立不等關系，進而確定何時“首次超過”，意在考查學生學以致用的意識以及數學抽象、數學建模等學科核心素養．

此外，此應用背景源于教材習題，由此可見，高考命題不僅考查的知識點、方法技能不會脫離課本，就連題設背景往往也源于課本．因此，再次提醒日常教學和復習必須重視教材．

2.4 穩中求新，體現素養導向

2021年是高考改革之年，無論是全國統一命題還是地方自主命題，試題都在一個“穩”字的基礎上著力創新．就數列試題的命制來看，在考查基本知識和關鍵能力的同時，更加注重對學生創新性運用的考查．除了?？汲Ｐ碌摹靶露x”問題外，還增加了開放性問題的數量，并從設問方式上、背景設定上作了創新．這既反映了高考數學的考查方向，也體現了人才選拔的意愿．

評析本題為全國甲卷理科試題的中檔題，設問方式相對新穎，試題給出多個條件，要求構建一個命題并加以證明．這類沒有明確結構或解決途徑的“結構不良問題”相對開放，給學生充分的選擇空間．因其需要學生準確表征，自主建構，對于發展學生的創新思維和遷移能力有著豐富的價值．就本題來看，學生可以從多個角度分析，考慮多種可能，組合出三個命題，然后結合條件以及經驗判斷，①③為條件，②為結論或是②③為條件，①為結論(即為全國甲卷文科第18題)．在這個過程中，重點考查學生對于數學本質的理解，評測其思維的系統性、靈活性、深刻性以及創造性．

3 備考建議

數列是高中數學的重要內容，具有內涵豐富、方法靈活、應用廣泛的特點．縱觀2021年高考數學中的數列試題，深感其難度基本穩定，而深度、廣度以及新意都在不斷提升，既實現了“選材”的目的，又指明了課程改革的方向．為了使2022年高考數列復習更加具有針對性，筆者提出以下備考建議.

3.1 研究試題，把握方向

高考試題既是服務選材的尺，又是引導教學的旗．新一輪高考改革提出“一核”“四層”“四翼”，積極促使命題向素養導向發展．因此，在復習備考中，教師要深入研究試題，捕捉命題內容、難度、題型等線索，并且透過現象看本質，總結規律求推廣，以此合理高效地分配備考時間和精力，有的放矢地進行復習．如開展近幾年的熱點——結構不良問題的探討，引導學生深度學習，體會數學本質，歸納一些解決問題的方法：由簡到繁，優先選擇條件單一或者運算方便的；由熟到生，優先選擇熟悉的式子或者條件，等等．

3.2 夯實基礎，透析本質

九層之臺，起于壘土．2021年高考數列試題依舊堅持回歸數學本質，重視基礎知識、基本技能的考查，不設“繁難偏怪”的問題，注重通性通法的研究，淡化一些特殊的技巧．因此，在復習備考中，一方面要引導學生用好教材，重視知識的生成與發展，多想多悟，深化對于數學本質的理解；另一方面要幫助學生夯實基礎，做好“一題多解”“多題一解”的訓練與反思，從通性通法中汲取解題思路，優選方法，強化計算．假以時日才能做到基礎題穩扎穩打，萬無一失，綜合題化繁為簡，逐級破解．

3.3 著眼應用，提升素養

數學源于生活，又作用于生活，有著豐富的應用價值．從近年高考試題可以看出，數列命題堅持從學生認知水平出發，本著“重思維、重應用、重創新”的理念，以學科內外的應用為依托，設計開放性問題、創新型應用問題，深化對于學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養的考查．因此，在復習備考中，教師要著眼應用，勇于創新．一方面做好系統化教學，另一方面開展主題式研究，重視思維力和意志力的訓練，引導學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界，使得學生在考場上遇到新問題能夠不亂不懼，會思考、敢嘗試、能突破，切實提升學科核心素養．