高三數學復習課應如何開展解題教學
——以“函數值域的求法”為例

危志剛 (福建省福州第一中學 350108)

解題教學的質量直接關系到高三復習的效果.解題教學看似簡單，實則對教師的教學水平是一個很大的考驗.好的解題教學不只是分析解題思路，呈現解題過程，最重要的是探索解題方法、揭示解題規律、承載解題思想.本文以“函數值域的求法”為例，探討高三復習課中如何開展解題教學.

1 從簡單的做起

波利亞有一句至理名言：“從最簡單的做起”，這特別適用于解題教學.盡管是復習課，教學也必須做到低起點.教學經驗豐富的教師都清楚：一個復雜的數學問題解決不了，多半是因為比復雜問題更簡單的問題沒有理解好；如果簡單的問題理解好了，復雜問題的難度就會大幅度下降，甚至可以做到迎刃而解.大道至簡，老子在《道德經》中說：道生一，一生二，二生三，三生萬物.一個好的簡單問題，就是解題教學中的“道”，在解題教學中承擔著引導教學、傳遞數學思想、揭示規律方法的角色.只要我們深刻理解好這個“道”，就可以做到舉一反三、觸類旁通.

分析1本題為分式型函數值域問題，分子、分母中均含有自變量x，在x變化過程中，分子及分母均隨之而變，分式的值的變化不易把握.為了弄清應變量y隨x的變化特點，可以考慮分離常數，使得分式中只有分母含有自變量x，分子變成常數，這樣可以非常直觀地發現y的變化規律，從而求得y的取值集合.因此，采用分離常數法的目的是為了揭示函數的單調性，由單調性分析函數的值域.

分析3從函數的結構特征出發聯想幾何意義，函數y的結構特點可以對應幾何中兩點的斜率公式，可以非常直觀地得到函數y的值域.這種數形結合的思維方式在解題教學中非常重要，體現了代數與幾何的完美融合.

圖1

評析引例作為一個簡單問題，學生普遍都能作出正確解答.然而，對引例中給出的三種解答的真正數學內涵，多數學生的認知并不清晰.從簡單問題出發，由淺入深，揭示解法背后的思想內涵，有利于學生理解解法的數學本質，發揮簡單問題在解題教學中的示范性和啟發性.

2 形成初步技能

解題技能的形成是一個階梯式的、逐步發展的過程，需要經歷模仿和實踐兩個階段.波利亞說過：“解題是一種實踐性的技能，就像游泳、滑雪或彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實踐學到它.你想學會游泳，你就必須下水，你想成為解題的能手，你就必須去解題.”前面通過引例的學習，學生對函數的值域問題的求解有了一個基本的認知，模仿的解題意識已經初步形成，此時教學中可以通過變式訓練的方式，強化和鞏固解題技能.變式訓練題的設計很重要，不能簡單重復引例的模式，在解題技能形成的初級階段，“變其形，不變其神”的變式題是最理想的.這種變式題使學生“跳一跳夠得著”，對于幫助其探索發現解題的一般規律是十分有利的.

評析變式1和變式2的設計符合學生的認知規律，從學生認知的最近發展區著手.如果分別把2x，x2+2x看成一個整體變量，則變式1、變式2的結構與引例的結構完全類似.如果學生能夠通過觀察發現變式與引例之間的這種共性特征，得到和引例相對應的三種解法也就十分自然了.

3 做到靈活變通

《易經》中有這樣一句話：“易窮則變，變則通，通則久”，意思是說生活中一件事情發展到了極致就需要變化，而這種變化讓接下來事物的發展不會受到阻礙.這句話折射到數學的解題教學中同樣是這個道理，解題教學一定要做到靈活變通、活學活用.我們可以通過不斷變化試題的結構、改變試題的條件、轉換試題的問法等策略，讓試題變得煥然一新，卻又讓人感覺似曾相識.當然，改變試題的面貌，拋給學生長著新面孔的試題，主要是為學生搭建更多思考的空間平臺，不斷變化的試題可以提升學生分析問題和解決問題的能力.如果只是用相同模式的試題進行反復訓練，容易造成學生簡單模仿、死記硬背、機械刷題、不求甚解的現象.只有學生掌握了思考問題的思維和方法，面對新的研究對象，懂得如何去分析，如何去思考，他們才能在解題中真正做到靈活變通、游刃有余.

分析1導數是研究函數基本性質的重要數學工具，本題函數的表達式結構并不復雜，可以考慮利用導數的方法求該函數的值域.

x(-∞,1)1(1,3)(3,5)5(5,+∞)y'+0--0+y遞增極大值遞減遞減極小值遞增

所以y的極大值為4，y的極小值為20.又因為x從3的左側趨近于3時，y趨近于-∞；x從3的右側趨近于3時，y趨近于+∞.所以y∈(-∞,4]∪

[20,+∞).

分析2本題的函數結構仍為分式型，與前面提到的分式型函數結構特點相似，主要不同點在于分子分母的函數的次數不同，分子為二次函數，分母為一次函數.可嘗試分離常數法.

評析導數法是研究函數值域的重要方法，本例解法上的變通是一次十分有意義的嘗試.試題解法的多樣性，恰好體現了知識的積累和方法的沉淀，厚積方能薄發.解法2通過分離常數的思想，把一個陌生的分式型函數轉化為一個常數加上一個熟悉的“對勾”函數.我們僅需研究該“對勾”函數的值域即可得到原函數的值域.解答中對其中的一次結構進行整體化，體現了換元簡化函數的思維策略.

4 重視遷移能力

遷移能力，簡單說就是一種學習對另一種學習產生的影響，其實質就是將所學到的知識和方法應用到新情境中所表現出來的一種素養和能力.多數學生在面對具有新情境的問題時，往往無法與所學的知識和方法建立聯系，這就是典型的遷移能力薄弱的表現.遷移，就是洞悉本質的過程.提升學生的遷移能力，是課堂教學的重要環節和核心任務.解題教學最重要的是思維的教學，不能禁錮學生的思維，只有開放、包容、發散的思維環境才能塑造出強大的遷移能力.因此，解題教學中，要注重新情境的探究、解法的多樣性、問題設置的開放性、課堂的動態生成、讓學生多發表見解等教學策略的運用.

分析分析函數結構可以發現，本題本質上與變式2一致，同為分式型函數，分母可看成關于 sinx的一次型；由于cos 2x=1-2sin2x，分子為關于sinx的二次型.可以通過換元的策略轉化為上面已經探討過的問題，用類似的辦法進行解答.

分析1關注到本題可通過三角恒等變換化為關于sinx或cosx的分式二次齊次結構，然后再次利用三角恒等變換中的“弦化切”思想，把函數f(x)轉化為關于tanx的分式型函數，然后通過整體換元的辦法轉化為前面已經研究過的問題，利用分離常數法解答本題.

分析2本題也可通過三角恒等變換化為關于sin 2x或cos 2x的分式一次結構，然后對分式結構進行整式化處理，利用三角函數有界性來解答.

分析3本題的函數為周期函數，把求定義域上的值域轉化為求函數在一個周期內的值域即可，可以利用導數法解答本題.

x0(0,α)α(α,β)β(β,π)πy'-0+0-y遞減極小值遞增極大值遞減

分析4本題的函數結構經三角恒等變換后，同樣可以利用幾何意義的方法進行解答.

圖2

評析這兩道題的函數“體貌特征”發生明顯變化，然而數學本質并未改變.通過簡單的恒等變形、換元等手段，可以發現這兩題與前面問題的共性.因此，完全可以把解答前面問題的思想方法遷移過來，說明兩種方法異曲同工，同根同源.

5 強化選擇意識

一道好的數學試題蘊含著豐富的數學知識，承載著大量的數學信息，這種題目的解法通常都比較多.那么，在解題教學中，是不是講授的解法越多越好呢？其實不然，有些解法是低效的，有些解法技巧性高，有些解法特別繁瑣，諸如此類的解法講多了反而無益，有時甚至會干擾學生對問題的正常理解，容易造成“走火入魔”、誤入歧途的境地.那么什么樣的解法才是好的解法，我們又該如何選擇？首先，能夠揭示一般規律、具有普及性的解法一定是好的解法，比如本文研究分式型函數值域中提到的分離常數法，其數學本質實質上是揭示函數的單調性，由單調性研究函數的值域顯然具有一般性和普遍性.其次，能夠化繁為簡、凸顯思維的解法一定是好的解法，比如本文中利用幾何意義分析函數值域的方法，把繁雜的代數推演簡化為簡單的幾何直觀，凸顯了數形結合的重要思維方法.總之，好的解法耐人尋味，發人深思.因此在解題教學中，教師一定要有選擇地講解方法，有意識地加強各種解法之間的對比，并給出科學的評價和選擇意見.

6 結束語

“格物致知”是中國古代儒家思想中的一個重要概念，意思是探究事物的原理，從中獲得智慧或從中感悟到某種心得.高三的解題教學也應該是這樣，一節課解多少道題并不重要，通過對試題的分析和解讀，探究其蘊含的數學思想方法，揭示其內在的一般性規律，傳播智慧，形成能力才是解題教學的真正要義所在.