矩陣Fan積的最小特征值

張曉鳳，陳付彬，羅 歡

(昆明理工大學津橋學院，云南 昆明 650106)

M-矩陣是在許多領域有著重要價值的矩陣。Fan積是矩陣諸多計算中的一種特殊乘法[1-2]。M-矩陣Fan積特征值相關的不等式是眾多矩陣論專家關注的焦點，文獻[3-16]陸陸續續給出了許多很好的不等式，但是這些結果中的不足是計算較為復雜或者精確度不高。如文獻[3-7,9,15]中，結果需要計算矩陣的最小特征值τ(A)或者是矩陣的Jacobi迭代矩陣的譜半徑ρ(JA)，當矩陣的階數很大時，計算τ(A)或者ρ(JA)比較困難，并且計算精度不高。文獻[8,10-11,16]中，結果雖然只依賴矩陣的元素，但是迭代次數較多，計算復雜精度不高。文獻[13-14]中，結果含有參數α，計算起來也是非常復雜，并且不能選取適當的參數α使結果達到最優解。文獻[12]雖然計算較為簡單，但是精度不夠。針對這些問題，本文給出了僅依賴矩陣本身的元素，計算較為簡單且精度高的新不等式。

1 預備知識

設N={1,2,…,n}，Cn×n(Rn×n)為復(實)矩陣構成的集合。如果矩陣A=(aij)∈Rn×n滿足aij>0(aij≥0),i,j∈N,稱A是正(非負)矩陣，記為A>0(A≥0)。用σ(A)={λ1,λ2,…,λn}表示矩陣A的所有特征值構成的集合。|λi|的最大值稱為A的譜半徑，記為ρ(A)。矩陣A的最小特征值τ(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)}∈σ(A)。

令A=(aij)∈Rn×n,如果aij≤0;i,j∈N,i≠j,稱A是Z-矩陣,表示為Zn。記A=αI-P，P≥0,若α>ρ(P),A為非奇異M-矩陣，以Mn表示該類矩陣構成的集合；若α=ρ(P),A是奇異矩陣[2]。

令A=(aij)∈Rn×n,B=(bij)∈Rn×n,A★B=(cij)稱為矩陣A與B的Fan積，滿足

若A,B∈Mn, 則A★B∈Mn[3]。

若有置換矩陣P,使A滿足

稱A是可約矩陣，否則，即A不是可約矩陣[1]。

給出后文中用到的記號如下：設

A=(aij)∈Rn×n,i,j,k∈N,j≠i

2 主要結果

引理1[17]設A=(aij)∈Cn×n, 則A的所有特征值位于下面區域：

引理2[18]設A=(aij)∈Cn×n,則A的所有特征值位于下面區域：

定理1設A=(aij),B=(bij)∈Mn，則

證明結論在n=1時顯然是成立的,n≥2時分兩種情況加以證明。

1)若A★B不可約, 此時A，B皆為不可約。由前面所給的引理1可知,存在i∈N,有下面的不等式

即

因此

2)若A★B可約。由文獻[19]，主子式皆為正時，Zn中的矩陣為M-矩陣。 設P=(pij)為滿足p12=p23=…=pn-1,n=pn,1=1，其余元素是零的置換矩陣，因為ε>0足夠小時，A-εP,B-εP的主子式全是正的，所以A-εP,B-εP全是不可約的M-矩陣,此時A，B分別替換為A-εP,B-εP，當ε→0時,結論依然是成立的。

定理2設A=(aij),B=(bij)∈Mn，則

證明結論在n=1時顯然是成立的,n≥2時分兩種情況加以證明。

1)若A★B不可約, 此時A,B不可約。令τ(A★B)=λ，由前面所給的引理2可知，存在(i,j)∈N,1≤i,j≤n,i≠j,有下面的不等式

|λ-aiibii||λ-ajjbjj|

即

因此

2)若A★B可約。由文獻[19]，主子式皆為正時，Zn中的矩陣為M-矩陣。 設P=(pij)為滿足p12=p23=…=pn-1,n=pn,1=1，其余元素是零的置換矩陣，因為ε>0足夠小時，A-εP,B-εP的主子式全是正的，所以A-εP,B-εP全是不可約的M-矩陣,此時A，B分別替換為A-εP,B-εP，當ε→0時,結論依然是成立的。

下面將所得兩個定理進行理論上的比較,對i≠j,令

即

因為

所以

即

理論上定理2的結果好于定理1的結果。

3 數值算例

設

依據文獻[4-10]中相關定理9、定理4、定理3.1、定理7、定理1，定理2、定理5，文獻[12]中的定理3.1及文獻[13-16]中定理3、定理2、定理1、定理1，通過Matlab計算得：

τ(A★B)≥1.573 0，τ(A★B)≥1.523 8

τ(A★B)≥2.433 3，τ(A★B)≥1.573 0

τ(A★B)≥2.836 8，τ(A★B)≥1.523 8

τ(A★B)≥2.842 0，τ(A★B)≥2.833 3

τ(A★B)≥2.882 0，τ(A★B)≥2.806 9

τ(A★B)≥2.416 7，τ(A★B)≥2.833 6

由定理1得

由定理2得

=2.899 5

4 結語

文中給出兩個關于特征值的新不等式，無論是計算的復雜性還是精度，在某些條件下都優于相關領域中一些文獻中的結果，可作為該領域的一個補充。