和矩陣Drazin逆的重要結果

楊曉英

(四川信息職業技術學院 人文學院,四川 廣元 628017)

在沒有任何限制條件的矩陣Drazin逆表示是許多學者想要解決的問題，就如無任何限制條件的矩陣之和Drazin逆的表示一樣。但是，學者們用不同方法給出了在特定條件下的矩陣之和的Drazin逆表示，近年來也涌現出了比較多的重要結果，詳見文獻[1-11]。其中, 文獻[2]給出在最簡單的條件PQ=0下兩矩陣之和Drazin逆的表示; 文獻[3]給出在P2Q=0，Q2=0條件下兩矩陣之和Drazin逆的表示; 文獻[4]討論了在P2Q=0，Q2P=0條件下兩矩陣之和Drazin逆的表示; 文獻[5]給出在(P+Q)P(P+Q)P=0，(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0和QPQ3=0條件下兩矩陣之和Drazin逆的表示; 文獻[6]得到Q(P+Q)P(P+Q)=0,P(P+Q)P(P+Q)=0和QPQ2=0條件下兩矩陣之和Drazin逆的表示。本文將繼續這一問題的研究，利用矩陣的分解及上三角矩陣的Drazin逆給出在Q(P+Q)P(P+Q)=0，PQP2=0，Q(P+Q)Q(P+Q)=0和(P+Q)Q(P+Q)P=0，(P+Q)Q(P+Q)Q=0，P2QP=0下兩矩陣之和Drazin逆的表示；進而，由所得定理結果給出一個更簡單的推論。最后，通過一個數值例子來驗證結論的正確性。

1 預備知識

設Cm×n表示m×n階復矩陣的集合。設B∈Cn×n，若J∈Cn×n滿足下列方程[1]：

Bl+1J=Bl,JBJ=J,JB=BJ

則稱J為B的Drazin逆, 記作J=BD，稱l為B的指數，記作ind(B)=l。另記Bπ=I-BBD。矩陣的Drazin逆是矩陣廣義逆的一種類型, 如果矩陣的Drazin逆存在,則Drazin逆必唯一。

接下來給出幾個重要的引理。

引理1[1]設A∈Cm×n，B∈Cn×m，則(AB)D=A((BA)D)2B。

其中,

引理3[2]設P、Q∈Cn×n，ind(P)=r，ind(Q)=s。如果PQ=0，則

2 重要結果

下面利用上述引理給出在條件Q(P+Q)P(P+Q)=0，PQP2=0，Q(P+Q)Q(P+Q)=0和(P+Q)Q(P+Q)P=0，(P+Q)Q(P+Q)Q=0，P2QP=0下兩矩陣之和Drazin逆的表示。

定理1設P、Q∈Cn×n，ind(PQ)=r，ind(P2)=s。如果Q(P+Q)P(P+Q)=0，PQP2=0，Q(P+Q)Q(P+Q)=0，則

(P+Q)D=(P+Q)((PQ+P2)D)2(P+Q)2=((PQ+P2)D)2(P+Q)3

證明由Drazin 逆的定義和引理1，由條件Q(P+Q)P(P+Q)=0，得

(P+Q)D=(P+Q)((P+Q)2)D

=(P+Q)(P2+PQ+QP+Q2)D

=(P+Q)(PQ+P2I)

=(P+Q)(PQ+P2I)

(1)

(2)

其中，

X=((PQ+P2)D)2+((PQ+P2)D)3(Q2+QP)

又PQP2=0，由引理3，

(3)

將式(3)和式(2)代入式(1)，結論得證。

下面給出兩矩陣之和Drazin逆的另一個對稱表示。

定理2設P、Q∈Cn×n，ind(P2)=r，ind(QP)=s。如果(P+Q)Q(P+Q)P=0，(P+Q)Q(P+Q)Q=0，P2QP=0，則

(P+Q)D=(P+Q)((QP+P2)D)2(P+Q)2=((QP+P2)D)2(P+Q)3

其中，

證明由Drazin 逆的定義和引理1，由條件(P+Q)Q(P+Q)P=0，得

(P+Q)D=(P+Q)((P+Q)2)D

=(P+Q)(P2+PQ+QP+Q2)D

=(P+Q)(QP+P2I)

=(P+Q)(QP+P2I)

(4)

(5)

其中，

Y=((QP+P2)D)2+((QP+P2)D)3(Q2+PQ)

又P2QP=0，由引理3，

(6)

將式(6)和式(5)代入式(4)，結論得證。

推論1設P、Q∈Cn×n，ind(QP)=r2，ind(P2)=s2。如果(P+Q)Q=0和P2QP=0，則

(P+Q)D=(P+Q)(QP+P2)D

其中，(QP+P2)D同定理2所給形式。

3 數值算例

下面給出一個數值例子來驗證推論1的正確性。

通過計算，滿足推論1中的條件(P+Q)Q=0和P2QP=0。

因此，由推論1可得