探源 拓展 應用
——對一道課本向量習題的深層次研究

黃旭東

(湖北師范大學附屬中學，435000)

最新人教A版數學必修二第52頁習題6.4復習鞏固中有這樣一道習題[1]:

(A)三邊均不相等的三角形

(B)直角三角形

(C)底邊與腰不相等的等腰三角形

(D)等邊三角形

一、題源拓展

由上面習題可知,菱形的對角線為頂角平分線,則可考慮角平分線上任意角平分線向量表示,作如下拓展.

若將定理1放入三角形中,角平分線交對邊于一點,則可得到λ值及分對邊所成比值,即有

由定理2考慮三角形角平分線長,可得

對定理3中消去三角形的內角,只建立邊之間關系,可得

定理4(只與邊長相關的角平分線長公式)在?ABC中,∠A的角平分線AP交BC于點P,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則AP2=AB·AC-BP·PC.

若三角形的一個內角是另一內角的2倍,不妨稱之為倍角三角形.易得此類特殊三角形的邊之間具有如下關系.

定理5(倍角三角形的性質)在?ABC中,∠A=2∠B,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則有a2=b(b+c).

二、角平分線性質應用舉例

1.角平分線廣義向量形式的應用

2.三角形中角平分線向量形式的應用

例4在?ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sinA=2sinB.

解(1)略.

3.邊角相關的三角形內角平分線長公式的應用

例6已知?ABC中, 角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,bcosC=a, 點M在線段AB上, 且∠ACM=∠BCM.若b=6CM=6,則cos∠BCM=( )

4.利用邊關系求內角平分線長

例7在?ABC中,∠BAC的AD角平分線交BC于點D,?ABD面積是?ADC面積的2倍.

又由c=2b,得AB=2AC.由定理4知AD2=AB·AC-BD·DC,即1=2AC2-1,所以AC=1.

例8在?ABC中,AB=5,AC=7,BC=6,∠A的平分線交邊BC于點D,則AD=______.

5.解倍角三角形問題

例9記?ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a,b,c是三個連續的正整數,且a

解由C=2A及定理5,得c2=a(a+b).不妨設b=1+a,c=a+2,則(a+2)2=a[a+(a+1)],即a2-3a-4=0,由此解得a=4.

例10在?ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=2,acosB-2cosA=2.

(1)求證:A=2B;

(2)若?ABC的面積等于λsinC,求λ的取值范圍.

解(1)由條件得acosB-bcosA=b,由正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinB,即sin(A-B)=sinB，而A,B∈(0,π),故A-B=B,得A=2B.

(2)由A=2B及定理5,知a2=b(b+c)=4+2c.

由0

解得2

三、結束語

課本中例題或習題很多具有典型的意義,利用例題或習題進行題組訓練、變式訓練、拓展訓練,挖掘題源與變式,可有效提高教學效率,提升學生的數學核心素養,培養學生的創新精神.因此在平時教學過程中,不能一味只搞題海戰術,應引導學生重視教材與課本,重視例題與習題的拓展與延伸，回歸教材,才是教學的本源與根本.