也談“奔馳定理”及其空間形式的推廣證法

魏東升

(福建省廈門雙十中學漳州校區 363107)

文[1]從三角形面積和線段比例關系、正弦形式的三角形面積公式、三角形重心的性質、向量按垂直坐標系分解的性質和平面向量基本定理等五個方面對奔馳定理進行了證明，讀來受益匪淺．筆者對該定理也進行了進一步的探究，并在文[1]的基礎上又得到了五種方法，同時對其空間形式的推廣也給出了三種證法，為方便討論，引該定理如下：

圖1 圖2

如圖2，延長AP交BC于點D，可得

所以只需證明等式

因為B,C,D三點共線，所以上式顯然成立.

圖3

以點P為原點，PC所在直線為x軸，建立如圖3所示的直角坐標系，記PB和PC的夾角為θ1，PC和PA的夾角為θ2，PA和PB的夾角為θ3，不妨認為A,B兩點分別在一，四象限，其他情況同理.

證法4 結合題意可知a，b，c三數同號.

所以SA∶SC=a∶c=a∶c.

同理可證SB∶SC=b∶c，SA∶SB=a∶b.

即SA∶SB∶SC=a∶b∶c，定理得證.

由克拉姆法則可知

=SA∶SB=a∶b.

同理可證SB∶SC=b∶c，SA∶SB=a∶b.

即SA∶SB∶SC=a∶b∶c，定理得證．

“奔馳定理”有多種推廣形式，如可把點P由三角形內任一點推廣到三角形外任一點，進而推廣到空間中三棱錐內的任一點．以下給出該定理的空間推廣形式及相應的證明方法:

圖4

即只需證明等式

如圖4，延長AP交平面BCD于點E，則

因為B，C，D，E四點共面，所以上式顯然成立，定理得證.

所以VA∶VD=a∶d=a∶d.

同理可證VA∶VB=a∶b，VA∶VC=a∶c，VA∶VD=a∶d.

即VA∶VB∶VC∶VD=a∶b∶c∶d，定理得證.

由克拉姆法則可知:

同理可得

所以a∶b

=VA∶VB=a∶b.

同理可證VA∶VC=a∶c，VA∶VD=a∶d.

即VA∶VB∶VC∶VD=a∶b∶c∶d，定理得證.