Gyroid結構力學性能及數值收斂性研究

蔣創宇 張保強 陳 云 王存福 羅華耿 胡杰翔 曹龍超

1.廈門大學航空航天學院，廈門，361102

2.華中科技大學航空航天學院，武漢，430074

3.武漢紡織大學機械工程與自動化學院，武漢，430200

0 引言

三周期極小曲面(triply periodic minimal surface，TPMS)結構存在于自然界中，如部分昆蟲、骨頭、珊瑚等[1]。近年來，由于TPMS結構在力學、聲學、光學等領域具有優異性能，且與傳統柵格結構相比，其曲面上每點的平均曲率為0，有效地降低了局部應力集中，因此在理論方法研究及工程應用中受到越來越多關注[2]。增材制造技術克服了TPMS難以落地的問題，為輕質結構的開發提供了更多選擇[3-5]。

TPMS結構設計者面臨的一個關鍵挑戰是如何選擇合適的設計變量使其力學性能更優，其中TPMS結構的剛度特性是設計的主要關注點[1]。在力學特性方面，MASKERY等[6]討論了螺旋二十四面體Gyroid結構(Gyroid cellular structure，GCS)性能和單元尺寸間的關系，指出較小的胞元尺寸可避免由于局部失效而導致的低應變結構失效。YAN等[7]對TPMS結構進行了試驗和理論研究，證明TPMS的力學性能與其體積分數有很好的相關性，并推導得到了相對模量和抗壓強度以及體積分數間的相關性方程。楊磊[8]設計并制備了不同梯度和體積分數的GCS，通過壓縮試驗與仿真對梯度GCS結構各向異性靜力特性進行了系統分析。張明康[9]利用選區激光融化技術(selective laser melting，SLM)制造了正六面體試件、三明治多孔試件，通過壓縮試驗、彎曲試驗分別對GCS結構的壓縮性能與彎曲性能進行了研究。陳劍勇[10]通過重復試驗，對TPMS結構應力應變曲線和結構變形模式進行分析，研究了胞元尺寸、拓撲形式和密度梯度等參數對TPMS結構準靜態壓縮力學性能的影響。

隨著TPMS結構研究的深入，許多學者使用有限元法進行研究，但TPMS結構的復雜性一定程度上阻礙了有限元方法的應用。MAZUR等[11]對準靜態壓縮工況下不同拓撲形式的單個、多個胞元結構的力學性能進行了模擬，量化了胞元尺寸和約束情況對單個胞元力學性能的影響，對多胞元結構仿真與試驗變形結果進行對比，驗證了有限元方法的可行性。PENG等[12]針對不同寬高比的GCS進行分析，提出了一種改變幾何參數控制GCS各向異性的策略，用有限元方法研究了GCS壓縮狀態時的各向異性彈性響應。MONTAZERIAN等[13]對TPMS結構等效彈性模量的數值收斂性進行了研究，由試驗結果擬合得到單元數與臨界誤差的關系式，預測相對模量收斂時，每個GCS單元數約為6.4萬；AFSHAR等[14]和厲雪等[15]對梯度TPMS結構進行了研究，以壓縮過程中的應力應變曲線為指標，對數值收斂性進行了討論，指出每胞元2萬至3萬體素單元時即收斂。AREMU等[16]使用簡化模型對多種TPMS結構收斂性進行研究，通過有限元研究了多種TPMS結構的力學性能，表明晶格結構的性能在很大程度上取決于胞元的拓撲結構。MASKERY等[17-18]研究表明，每個胞元大約5萬個單元時足以將仿真誤差降低到可接受的水平。PENG等[12]研究發現，當單元尺寸小于0.2 mm時，GCS的等效彈性模量的值幾乎恒定，結構尺寸3×3×3和4×4×4的GCS彈性模量偏差小于5%，這一結論與文獻[17-18]的結論一致。

目前TPMS結構主要通過隱式函數設計得到STL文件，該格式用于增材制造，但難以直接用于有限元仿真，而由STL獲取可自由編輯的實體CAD模型存在許多障礙[19]。劉偉洛[20]聯合使用MATLAB、Rhino、HyperMesh等軟件對Primitive結構進行處理，將STL轉為CAD模型，并劃分了規則六面體單元，但由于拓撲形式的不同，GCS難以實現全規則六面體單元的劃分。也有學者[8-9]繞過STL轉為CAD的步驟，使用商業軟件Deform對TPMS結構進行仿真，但該軟件對GCS結構僅支持四面體網格劃分，難以降低節點、單元數。目前許多研究者[14，16-17]基于完美體素單元方法，通過在封閉區域添加節點生成單元，用于有限元仿真。雖然這種方法的前處理十分便捷，但基于體素的六面體網格使曲面階梯式化，失去了表面的連續性和光滑性，少量體素單元計算的準確性難以保證。因此，需要對基于TPMS的體素化所引起的計算偏差進行分析。

已有學者針對正六面體GCS的數值收斂性和力學性能做了大量工作，但仍有部分問題需要解決：一是體素化方法存在少量單元難以精確描述TPMS結構，而大量單元難以對尺寸較大結構計算求解的矛盾；二是沿某方向胞元數變化的非正六面體結構的力學特性的相關規律較為少見。

本文通過拉伸試驗獲得材料參數，為提高計算效率使用基于扭曲單元的體素化方法對GCS試件進行數值收斂性研究；通過拉伸試驗驗證方法的可行性。以此為基礎，選擇常見的拉伸與彎曲工況，進一步討論量化了變厚度GCS與正六面體GCS的力學性能差異，通過解析解與有限元方法的對比，為GCS結構設計給出參考。

1 設計和試驗方法

1.1 GCS的設計與構造

GCS曲面的級數近似有不同的表述方式[21]，通常在笛卡兒坐標系中表達的實函數更易實現：

G(x，y，z)=CxSy+CySz+CzSx-c

(1)

其中，Sx、Sy、Sz，Cx、Cy、Cz為正弦與余弦函數，可通過下式得到：

(2)

ki=2πni

(3)

式中，c用于控制胞元體積分數，c=0.615；i=x，y，z；Li為胞元結構在x，y，z方向上的尺寸，Li=5；ki為胞元的周期，ki=2π；ni為x，y，z方向上的胞元個數。

待所需參數確定后，根據點、線、面、體的建模思想，首先編寫GCS結構表達式，然后使用MATLAB生成點云、提取點云笛卡兒坐標；再使用MeshLab對點云進行初步處理生成STL面片文件，通過Geomagic Wrap對STL文件進行曲面擬合，并進行體偏差的量化(平均偏差±0.002 mm)；接下來，在SolidWorks中對曲面進行縫合，根據GCS尺寸建立大小為5 mm×5 mm×5 mm的平面區域，使用曲面剪裁工具將GCS曲面多余部分剪裁掉，剩余部分與平面區域進行縫合，形成封閉空間；最后與實體求交得到單個胞元，在此基礎上進一步通過陣列命令即可得到拉伸試件。圖1為GCS設計與構造示意圖。

(a)MATLAB點云 (b)曲面重建與偏差對比

1.2 相對模量

ASHBY等[22]基于小應變假設的前提，對開孔泡沫材料的立方模型提出了表征多孔固體力學性能與體積分數(相對密度)的冪函數模型，該模型被廣泛應用于預測多孔結構力學性能的模型中，針對GCS而言，這一理論同樣可用于量化其力學性能。以相對模量E*為指標對GCS的數值收斂性及力學性能進行研究。多孔結構的等效彈性模量與實心材料彈性模量之間的關系為

(4)

式中，E*為相對模量；El為GCS的等效實心結構彈性模量；Es為材料的彈性模量。

根據圖2所示的載荷與約束，GCS的等效彈性模量為

圖2 載荷、約束示意圖

(5)

式中，F為GCS頂面沿載荷方向的合力；L為GCS的原始長度；A為柵格區域的橫截面積；u為GCS頂面在加載方向上的位移，為滿足小變形和材料線性假設，令u為L的1%。

2 數值收斂規律及力學性能

要建立能精確表示TPMS幾何構型的有限元模型要從計算精度和效率等方面考慮。彈性體有限元求解中計算誤差主要來自兩方面，一是由于單元內假設位移場與物體真實位移場不一致；二是求解基本方程時計算過程的舍入誤差?？赏ㄟ^細化網格、增加單元與節點數來減小誤差，對于試件級的GCS有限元模型而言，節點與單元數可能呈冪次增加，是需要避免的。而且對于復雜曲面，通常需要大大增加單元數，整體剛度矩陣隨之擴大，反而會增大舍入誤差，此外，對計算機硬件要求很高，會帶來額外的計算開支。

2.1 網格劃分

目前，已報道過的TPMS結構網格劃分方式有5類：殼模型、實體模型、均勻化、超單元模型、體素化。這5種建模技術各有優缺點[23]。

為提高前處理效率，使用適應性廣、建模過程高效的體素化方法進行GCS有限元網格的劃分。文獻中多以圖3所示的直邊體素網格建立有限元模型，圖中深藍色為體素網格，紅色部分為GCS單胞的幾何結構，隨著單元尺寸的減小，紅色部分與體素網格趨于一致，但仍存在階梯變化。

圖3 體素化單元尺寸變化圖

在實際仿真中發現，對于TPMS等復雜曲邊、曲面結構，僅采用直邊的體素單元仍會產生較大的誤差。為更好地對幾何結構進行近似，需要進行有限單元劃分，但曲邊單元的產生無法避免[24]。曲邊單元的產生需要引入坐標變換，在有限元法中最普遍采用的變換方法是等參變換，即單元的幾何形狀和單元內的場函數采用相同數目的節點參數和相同的插值函數進行變換[25]。借助等參元可以對任意幾何形狀的工程問題進行有限元離散，反映理想單元與實際單元變換關系的參數主要是雅可比值[26]，因此在體素化方法的基礎上，通過設置不同的雅可比值與單元尺寸參數作為劃分單元的約束，研究了不同約束參數組合下的有限元模型的精度和效率。

采用HyperMesh作為GCS結構網格的前處理工具，在網格工具Shrink Wrap中對單元最小雅可比(min Jacobian，MJ)值進行限制[27]。圖4所示為單元尺寸相同、MJ值不同的六面體單元。

(a)MJ值為0.34 (b)MJ值為0.55

圖5所示為不同雅可比值約束下得到的單胞網格模型。結合圖3可看到，單元尺寸對體素網格近似幾何的保真度也有較大影響。為研究雅可比值與單元尺寸對計算精度的影響，使用控制變量法對雅可比值與單元尺寸進行了單獨分析。

(a)MJ值為1 (b)MJ值為0.8 (c)MJ值為0.5 (d)MJ值為0.3

2.2 數值收斂性分析

對體積分數為0.3、沿X、Y、Z軸排列形式為1×1×1的GCS數值收斂性進行分析，載荷及約束如圖2所示。使用ANSYS靜力模塊進行仿真，所用單元類型為8節點六面體單元。X方向上的位移載荷(1%的應變)隨時間線性變化，作用于模型頂面的節點。底部平面的節點在X方向上是固定的，而在Y和Z方向上的平移不受約束。后處理中讀取約束處的支反力，代入式(4)、式(5)可得到GCS的相對模量。

2.2.1網格敏感性分析

對體積分數為0.3，排列形式為1×1×1的GCS數值收斂性進行分析，仿真結果如圖 6、表 1所示，可以得出以下結論：

圖6 相對模量隨體素單元大小及雅可比值變化

由圖6所示的相對模量變化曲線和表1中的具體數據可以發現，體素單元尺寸與MJ值對GCS仿真結果均有影響，且MJ值對結果的影響相比僅改變單元尺寸的影響更大。MJ值為0.5和0.3時，結果相差最大僅7%，繼續減小MJ值對結果影響不顯著，且可能因雅可比值過小導致計算精度下降。

表1 不同雅可比值與單元尺寸組合下的結果及誤差

隨著MJ值的減小，幾何保真度增大，仿真結果與收斂值之間的相對偏差顯著減小。且根據MJ值不同取值的趨勢來看，取1和取0.8時單元尺寸由0.1 mm細化至0.05mm，但相對模量E*收斂參考值的相對誤差eE*的改變量為19%和9%，未收斂；取0.5時，單元尺寸為0.05 mm與0.1 mm時，eE*在3%以內；取0.3時，單元尺寸從0.5 mm縮減至0.05 mm，eE*逐漸減小，單元尺寸取0.05 mm與0.1 mm時，單元數增加6倍，eE*僅為1%，可認為結果收斂。

體素單元尺寸以相對誤差不超過5%，單位GCS單元數不超過10萬為限制，兼顧計算精度和效率。表1第一列中，a_b表示生成單元時HyperMesh中設置的參數，a為該單元中的MJ值，b為單元尺寸。結合表1結果，可選擇0.3_0.2(eE*為4.85%，單元數為11 457)、0.5_0.1(eE*為4.52%，單元數為46 228)、0.3_0.1(eE*為1.06%，單元數為63 600)?？紤]到硬件原因(處理器：Intel(R)_i7-4770_CPU_@_3.40 GHz；硬盤：Western Digital，接口類型 SATA2(3Gb/s)容量 1TB，轉速7200 r/min，緩存 64 MB；內存：金士頓，容量16 GB，DDR3 1333 MHz)，選擇0.3_0.2這一組合進行后續的仿真計算，在精度相差不大的情況下顯著減少了單元數量。

對比不同文獻中數值收斂性研究結果，因難以找到完全相同的GCS，相對模量值難以度量，故選擇收斂時每胞元所含有限單元個數為標準。表2中“與MJ值為0.3的單元數之比”表示達到收斂時每個TPMS胞元所含有限單元數與MJ值為0.3時所含有限單元數的比值，由此可知用扭曲體素單元可顯著減少收斂時單元數。

表2 不同收斂下每胞元包含的體素單元數

2.2.2GCS正六面體排列結構收斂性分析

在討論了網格敏感性的基礎上，對體積分數為0.3、排列形式為2×2×2至6×6×6的GCS數值收斂性進行分析。如圖7所示，GCS單個胞元尺寸不變，結構以正六面體形式增大，一至六階的GCS相對模量也表現出增大的趨勢，且隨著階次的增加，相對模量變化量逐漸減小。三階相對模量與收斂值相比，相對誤差為0.76%，但體素單元數相差約8倍；四階相對模量與收斂值相比，相對誤差僅為0.32%，體素單元數相差約3倍。這一結果在文獻[12]、文獻[17]中也得到了證實，因此使用四階GCS仿真更優。

圖7 相對模量隨階次的變化

隨著GCS階次的增加，GCS的相對模量逐漸逼近收斂值。這一現象可看作是文獻[17]中給出的關于整體效應的另一種解釋：隨著結構中GCS數目的增大，變形中引入了一定程度的均勻性，因為GCS邊緣的自由面受到相鄰GCS的約束，可以給出更精確的變形描述，內部GCS可認為是均勻多孔固體的一部分。

2.3 拉伸試驗與仿真

用于試驗的GCS表達式如式(1)所示，取單個GCS的尺寸為5 mm×5 mm×5 mm，體積分數為0.3?；?.1節中的GCS設計與構造方式，通過控制體積分數、單個GCS尺寸、總體結構尺寸等參數，在SolidWorks中生成拉伸試件的幾何文件，幾何尺寸如圖8所示，圖8a所示為用于打印加工的STL模型，圖8b為加工實物圖。

(a)STL模型 (b)實心試件與GCS試件

2.3.1GCS制造

試驗試件來自西安鉑力特增材技術股份有限公司，采用選區激光融化(SLM)技術，所用設備為BLT-S310打印機。所用材料為Ti6Al4V，粉末顆粒尺寸和形態見表3和圖9，粉末顆粒球形度達到0.92，球形度高，顆粒尺寸在15～53 μm，Dv(50)值為38.110 μm，位于顆粒尺寸范圍中帶，滿足SLM工藝粉末顆粒尺寸和形態要求。

表3 粉末元素質量分數

圖9 顆粒形態

2.3.2材料參數及模型

通過圖10所示的實心試件的單軸拉伸試驗來確定該材料的彈性模量和單軸抗拉強度。以3 mm/min的加載速率，在電子萬能試驗機HF-JL-005上進行單軸拉伸試驗，執行標準為GB/T 228.1—2021和GB/T 7314—2017，拉伸試驗過程如圖10所示。

圖10 拉伸試件載荷、約束示意圖

對同樣熱處理方案下的實心樣件試驗數據進行處理，得到了Ti6Al4V材料的塑性應力-應變曲線[28]。其中，線彈性段擬合得到彈性模量Es為105 860 MPa，屈服強度σs為830 MPa，塑性應力應變數值如表4所示。

表4 實心試件拉伸塑性數據

2.3.3仿真模型設置

使用顯式動力學模塊Ls-Dyna模擬GCS拉伸過程，材料模型為分段線性(MAT_24)，所用單元類型為8節點六面體，常應力單元(SECTION_SOLID_ELFORM=1)。參照圖10所示的載荷及約束，試件下夾頭端節點施加固定約束(BOUNDARY_SPC_SET)，上夾頭施加位移(BOUNDARY_PRESCRIBED_MOTION_SET)為1.6 mm，該數值取自拉伸試驗試件斷裂時標距段位移改變量，為提高計算效率，僅取GCS試件標距段部分進行仿真。使用材料卡片中MAT_ADD_EROSION中的最大塑性應變判斷準則作為判斷單元的失效準則，失效應變為0.08。

2.3.4GCS拉伸斷裂分析

圖11a、圖11b為實心樣件分別在12倍和1000倍的放大倍數下的掃描電鏡(SEM)圖，12倍下失效截面中部呈纖維區，外部為剪切唇區。用1000倍放大觀察纖維區內截面失效機理，可以看到典型韌窩形貌。圖11c、圖11d給出了12倍GCS形貌及250倍微觀失效界面形貌。低倍下可以看出樣件表面粗糙，有很多顆粒夾雜物。在SEM觀察下，截面杯口形狀和纖維區等更直觀。微觀結果進一步印證了樣件符合典型塑性材料斷裂失效機制。另外，高低倍數下都可觀測到未融化的鈦合金粉末(圖中虛線圓處)，通常是失效先開始的地方，由此可能帶來材料性能的劣化。

(a)實心試件12放大倍 (b)實心試件放大1000倍

2.3.5GCS拉伸斷裂分析

因試驗條件有限，GCS表面無法粘貼應變片，未測得應變數據，故此處僅對力隨時間變化歷程以及抗拉強度、極限載荷等進行對比。

如圖12所示，仿真與試驗所得力隨時間變化逐漸增大，趨勢一致，然后進一步增長即強化階段，到達抗拉強度后試件斷裂，力迅速減小，即卸載與破壞，這與典型金屬材料拉伸過程相符。試驗曲線在5 kN左右進入小的平臺期，發生屈服，仿真中未觀察到類似過程。表5所示為仿真得到的極限載荷和抗拉強度與試驗結果對比，抗拉強度、極限載荷誤差為1.45%。

表5 試驗與仿真結果對比

圖12 仿真與試驗力隨時間變化曲線

圖13所示為仿真與試驗過程中GCS的損傷情況，在拉伸前期，仿真與試驗均可觀察到局部斷裂，位置基本一致；繼續拉伸，發生整體斷裂，整體斷口路徑位置與方向也趨于一致。

(a)加載過程中局部斷裂

3 變厚度GCS力學性能

已有研究表明，排列方式為5×5×5以上的GCS，其等效彈性模量已達穩定值[18]，且SIMSEK等[23，29]以有限元得到的等效彈性模量為有限元仿真的輸入，對夾層結構進行等效并分析了GCS板的模態特性。但對非正六面體GCS是否也適用正六面體GCS的等效彈性模量，還未見報道。且結構設計中，薄板、梁等非正六面體結構的應用范圍更為廣泛，因此有必要對此進行分析。

以2.2節中正六面體收斂的等效彈性模量得到的計算結果為對照組，對拉伸與彎曲情況下的響應進行研究。

3.1 變厚度GCS拉伸仿真

選擇與2.2節中一致的約束，載荷類型由位移變為力，對沿X、Y、Z軸排列為2×2×1、2×2×2、3×3×1、3×3×2、3×3×3、4×4×1、4×4×2、4×4×3、4×4×4、5×5×1、5×5×2、5×5×3、5×5×4、5×5×5的GCS結構進行分析，體素單元尺寸為0.2 mm，最小雅可比值為0.3。

使用1.2節中介紹的相對模量計算方法，對上述排列形式的GCS模型相對模量進行計算。相對模量隨Z向胞元數目變化結果如圖14所示，可以得出以下結果：

圖14 相對模量隨Z方向層數的變化

(1)GCS沿Z軸方向的胞元數目變化對其力學性能影響是顯著的。隨著二階到五階非正六面體厚度方向的增大，GCS相對模量變化量逐漸減小，其中最大相對誤差出現在5×5×1和5×5×5組，可達14.15%，其次是4×4×1和4×4×4組，可達14.10%。

(2)2×2×2～5×5×5系列GCS隨著Z軸方向的胞元數目的增加，達到正六面體時相對模量E*達到最大，且Z方向胞元數為1和2時，E*改變量總是最大，約為10%。隨著厚度方向層數增加，E*改變量逐漸減小。

為更好地對結構設計進行指導，進一步對沿Z軸方向的胞元數目變化的力學性能進行分析，結合1.2節中式(4)，得到等效實體的彈性模量，結合圖14分析結果，對GCS排列方式為4×4×1、4×4×2、4×4×3、4×4×4的結構，采用解析法和有限元方法對單軸拉伸工況時微小變形(線性彈性)階段的位移結果進行對比。

因結構位移改變量遠小于結構沿載荷方向的尺寸，材料滿足理想線彈性假設，故根據胡克定律，位移的解析解為

(6)

式中，d為加載后載荷方向的位移改變量。

計算所需參數見表6。表6中最后一行給出正六面體GCS收斂的數值，最后一列為變厚度結構的等效彈性模量與正六面體等效彈性模量的相對誤差Δe，該誤差定義為變厚度GCS等效彈性模量與收斂值之差再與收斂值之比，其中4×4×1與6×6×6達到14.41%。

表6 拉伸載荷解析解計算所用參數

圖15所示為對照組與GCS仿真結果。圖15a為采用Ti6Al4V材料、排列方式為4×4×1的GCS計算得到的位移結果云圖，圖15b所示為對照組計算得到的位移結果。由于圖15a中GCS邊角部分結構為懸空狀態，局部剛度較小，在載荷下的變形遠大于其他區域，因此對載荷施加面中心區域均勻選取4個點的位移結果取平均值作為GCS最終的整體位移。

(a)GCS仿真結果

表7列出了解析解與GCS、對照組的計算結果。GCS結果與解析解相對誤差小于3%，表明在彈性段的計算結果是可信的。對照組模型的計算結果與解析解誤差最大值為14.41%，最小為0.31%，表明排列方式為4×4×1的等效彈性模量與對照組差距最大，隨著厚度增大，與解析解誤差逐漸減小。

表7 拉伸載荷解析解與仿真結果對比

值得注意的是，由4×4×3、4×4×4 GCS與對照組的誤差對比可以發現，對接近正立方體的結構使用對照組參數直接近似誤差不超過5%，可滿足工程上對精度的要求，但對于寬高比過大的結構(如4×4×1、4×4×2)則會對力學性能產生過高的估計。

對比4×4×1到4×4×4，解析解與仿真結果均表明：①在同一載荷下，層數增加對力學性能的改善會逐漸減小，即通過改變GCS排列方式對結構性能進行設計存在邊界效應；②當GCS中某方向胞元數小于其他方向胞元數時，會對整體的力學性能帶來負面影響，直接使用正六面體GCS的等效彈性模量進行等效可能帶來較差的結果。

3.2 變厚度GCS懸臂梁彎曲仿真

結合圖14的分析結果，仍分析四層GCS厚度變化的力學性能。對GCS沿X、Y、Z軸胞元排列為20×4×1、20×4×2、20×4×3、20×4×4的結構進行分析，體素單元尺寸為0.2 mm，最小雅可比值為0.3。載荷與邊界條件如圖16所示，固定端與剛性墻固連，自由端施加沿厚度方向變化、大小為50 N的力。

圖16 懸臂梁模型載荷邊界示意圖

在小變形且材料服從胡克定律的條件下，可得到懸臂梁的近似撓曲線方程，但因本算例中梁跨度相較于截面尺寸相差不大，考慮剪切效應，最大撓度可表示為

(7)

(8)

(9)

式中，wb為彎曲分量；ws為剪切分量；I為GCS截面慣性矩；G為剪切模量；h為GCS寬度；h為GCS厚度；μ為泊松比，取0.34。

表8所示為計算最大撓度所需的參數。表8中最后一行為對照組GCS收斂的數值，最后一列為變厚度結構與對照組等效彈性模量的相對誤差，定義為變厚度GCS等效彈性模量與對照組等效彈性之差與對照組等效彈性模量之比，等效彈性模量最大誤差為21.25%，隨著厚度增大，相對誤差減小，依舊表現出邊界效應。

表8 最大撓度計算所用參數

使用表8給出的材料參數，參照圖16所示的邊界條件進行仿真，懸臂結構GCS與解析解和對照組模型的詳細對比結果如表9、圖17所示。

表9 最大撓度解析解與仿真結果對比

(a)GCS仿真結果

圖17所示為20×4×1排列的仿真結果。圖17a為采用Ti6Al4V材料的GCS模型計算得到的最大撓度結果云圖，圖17b所示為使用對照組等效彈性模量材料參數的實體模型計算得到的最大撓度結果。由于撓度計算理論方法采用桿單元，而此處采用的是二階六面體單元，由此帶來一定誤差(不大于2%)。

表9中可觀察到，除20×4×1外，隨著層數的增加，解析解與GCS仿真結果較為接近，均不大于4%。與拉伸工況結果類似，對照組的結果表明，若直接使用正六面體收斂的等效彈性模量對變厚度GCS進行評估，可能帶來9%以上的性能過估計。相對誤差對比的基準量為解析解。

排列形式為20×4×1的GCS有限元仿真最大撓度小于解析解，誤差為19.44%，對照組的最大撓度結果與解析解誤差為21.25%。GCS出現較大誤差可能是因為GCS的特殊性，在僅一層時胞元完整性較難保證，因此由式(5)得到的單層薄梁結構等效彈性模量難以對彎曲工況進行表征。

4 結論

(1)從單元形式及GCS排列方式對GCS數值收斂性和力學性能了研究，通過改變雅可比值，顯著減少了收斂時有限單元數量，在保證結果精度的前提下，提高了計算效率，并通過拉伸試驗對結果進行了驗證。該方法不僅對GCS有效，對其他類型TPMS結構同樣適用。

(2)變厚度會使GCS力學性能產生較為顯著的變化。若直接使用文獻[18]正六面體GCS力學性能等效方法來表征變厚度GCS力學性能，拉伸工況時，對于4×4×1的GCS而言，對其等效彈性模量產生的過估計為14.41%；彎曲工況時，對于20×4×1的GCS而言，其等效彈性模量與對照組相比減小超過20%。

(3)在結構設計中針對質量、體積、力學性能約束時，可通過改變某方向的胞元數對GCS力學性能進行設計，研究結果對結構設計與工程應用具有指導意義。