教科書提供教學素材瑕疵及矯正探析
——透過學生閱讀與教師施教的視點

張 昆，羅增儒

(1.淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北 235000；2.陜西師范大學 數學與信息學院，陜西 西安 710061)

1 問題的緣起

對于大多數的數學知識點，教科書提供的教學素材，都能方便教師施教與學生學習.但是，在具體教學設計及其課堂實施的實踐中發現，對于極少數具有統攝性的具體數學知識點，教科書由于種種原因，造成了所選擇載入的數學教學素材，不能夠做到方便教師施教，同時也不太利于學生比較獨立地通過閱讀學習數學知識.在對勾股定理與數軸概念教學設計進行教材分析時，筆者發現教科書所提供的素材確實存在著具體瑕疵.

關于勾股定理，人教版教科書(上?？茖W技術出版社編制出版的教科書提供的素材也與人教版的大同小異)首先使用了畢達哥拉斯研究全等的四塊正方形鋪地方磚組合成的大正方形，得到了由相鄰兩個小正方形對角線與兩個小正方形邊長之和這三條線段拼接成的等腰直角三角形，結果發現，這個等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；將等腰直角三角形轉化為一般直角三角形是否還具有這樣的結論呢?答案是肯定的.接著選擇使用趙爽所構建的一組“勾股圓方圖”(八個)之五的“并實圖”[1](又稱“勾股弦圖”)作為素材，證明了這個結論成立，得到了勾股定理這一數學知識點.

筆者從長期的數學教學經驗中發現，在學習勾股定理的內容以前，學生整天坐在鋪地方磚的教室中接受教育，卻沒有學生能夠像畢達哥拉斯那樣提出這個具體的問題[2]；而教科書選擇使用趙爽的“勾股圓方圖”論證勾股定理成立，這個“勾股圓方圖”對于學生來說，更是神來之筆，用波利亞的話說就是“從帽子里變出了兔子”[3].數學教學實踐告訴廣大數學教師，學生難以像趙爽這樣地構造出“勾股圓方圖”.總之，即使在教師的啟發下，學生也難以提出畢達哥拉斯這樣的問題，從而發現勾股定理這個命題，也難以構造出“勾股圓方圖”證明勾股定理.

關于數軸概念，人教版教科書使用了“以一個公交車站(抽象為一個點——筆者注)為出發點，向這個公交車站的兩端每間隔5米，植一棵樹”的表述方式，幫助學生形成數軸概念；上?？茖W技術出版社編制的教科書使用了“一臺機器人從某直線上的一個定點出發，向兩端取物，以機器人走出的步數作為間隔(相等距離——筆者注)”的表達方式，幫助學生形成數軸概念；過去的人教版教材使用了“溫度計”作為類比幫助學生發生數軸概念的認識；等等.

構造數軸概念的目的在于，將上一節課引入的有理數“可視化”.因為，有理數作為一種序列的數系統，這個數系統比小學學習的正有理數構成的數系統要復雜得多，對于剛剛學習了有理數概念的學生而言，難以抽象地理解它、掌握它.通過構建數軸概念，將有理數“可視化”以后，就能夠將有理數用數軸上的點表示，實現將抽象地理解有理數概念轉化為使用感知直觀地理解有理數概念，從而極大地降低了思維的強度，有利于學生理解有理數概念，并為建立有理數的運算法則創造條件.

為了幫助初學有理數的學生理解數軸概念本質，必須找到理解數軸概念的關鍵性標志，這些標志在于理解構成數軸概念中的“原點”“正方向”“單位長度”的內涵，簡稱“數軸三要素”.首先，要幫助學生各自獨立地理解“數軸三要素”各自內涵；其次，幫助學生理解數軸獨立的三項“要素”整合起來的認識過程；最后，幫助學生從整體上理解數軸概念.

對于數軸概念，分析教科書所提供的內容發現，剛剛學習數軸概念的學生難以理解“原點”“正方向”“單位長度”各個要素的獨自內涵，進而在理解“三要素”的基礎上理解數軸概念則更難以實現.筆者對忠實地使用教科書提供的教學素材進行課堂教學活動的學生提問，問他們數軸“三要素”各具有什么作用?偶爾有極個別學生能夠給出正確答案，由此推測出大部分學生都不能從本質上理解數軸概念.

關于勾股定理與數軸概念這兩個知識點，從分析教科書所提供的教學素材的內容、形式與數學教師忠實執行這種素材的教學設計及其課堂實施所產生的結果中，可以提出問題：對于少數具有統攝性的數學知識的表述，為什么數學教科書選擇使用的關鍵性教學素材存在這樣的瑕疵：學生難以通過獨立地閱讀教科書，取得本應該能夠取得的學習進展呢?

2 教科書編制極少數統攝性知識點的艱難處境的緣由

對于發生認識的學生而言，極少數存在疑難且重要的、具有統攝性的數學知識點進入教科書時，由于教科書的編者所選擇使用的素材存在瑕疵，導致學生通過閱讀數學教科書的學習方式，通常只能體現為一種緩慢的、乏味的與艱辛的認識與理解過程，造成他們難以獲得從本質上理解具體的數學知識點的結果.為什么會出現這種情況呢?通過分析認識到，教科書的編者對于少數具有統攝性的數學知識點，選擇進入數學教科書的素材所依據理念(教科書編制者未必能夠意識到)，存在幾方面特點：

其一，偏向邏輯化.依據數學知識的結構性，少數統攝性的數學知識點尤其如此[4]，這種結構性主要體現在編制教科書時，對于某些難以處理的數學知識，編者不得不偏向于依據知識的邏輯過程，選擇教學素材.例如，人教版選擇“勾股定理”知識點的教學素材，所使用的提出問題、啟發發現命題的方式(具體表達成了勾股定理語言形式)雖然存在牽強的地方，但總體上能夠過得去的；然而，發現命題與推理論證這個命題之間的過渡卻無法銜接，致使學生只能接受“勾股圓方圖”所擬定的邏輯方式，如此，導致學生無法與趙爽一樣完成構造出“勾股圓方圖”的心理活動過程.其教學結果是，不能在完成證明命題過程中，相應地提高自己的數學思維能力，特別是創造性能力.

由于數學家所寫作的數學論文，通常都是經由長時間艱難的探究發現的成果，字斟句酌地推敲以后，所形成的最終文本，因此，探究數學知識發生的真實艱難火熱的發現活動所得到的結果，自身被美化了的文字裝飾起來，發現過程本身從表達發現結果的描述中消除殆盡了[4]，教科書與數學家的表述無須提供關于發現某一知識點活動的文獻記錄.最為典型的例子就是維爾斯特拉斯評價高斯的數學表達，“他(指高斯——引者注)像一只非常精明的老狐貍，在最終表述所發現數學知識的結論時，總是用自己的尾巴抹去自己走過的路中所留下任何腳印的痕跡”[5].

對于極少數統攝性知識點，教科書編者也難以跳出高斯的這種表述方式，這其中的主要原因是，進入數學課程的不少數學知識點都是出自歷代數學家的論文表述，這就不能輕易地排除教科書編者在沒有辦法處理的情況下，將原文不加變更地搬進數學教科書，趙爽的“勾股圓方圖”就是一個較為典型的例子，如此，學生自然就不能從教科書的教學素材中徹底地弄清楚趙爽的“勾股圓方圖”是如何構造出來的.

眾所周知，在長期積累起來的數學知識公庫中，數學家無論是通過哪種途徑和方法得到數學知識(定理及其證明)，總是選擇文字與數學符號表述這一內容，并且按照邏輯演繹方式重新組織整理出來.作為表述數學知識結論所要求的審美意向是如此；數學歷史表述的慣例——數學的古希臘傳統——要求也是如此；實際生活事實中的經濟需要，例如，出版社的經濟效益要求在最小的紙張中容納最大的文字信息量還是如此[6].

這就導致在編制教科書時，數學知識的表述趨向邏輯化的目標狀態.也就是說，簡潔與單純的邏輯表述，乃是表述數學知識時心智能力天賦的文采、美感、華章與靈魂，從而形成了數學表述的習慣或者說數學表述的文化規范.反之，在書寫數學結論時，過于詳細地解釋探究活動的心理過程，被認為是冗長乏味的，也是浪費的，從而被認為是不符合數學美感的.如此，數學教科書編者在不知不覺中，就步入這種表述數學知識的心理準備狀態之中了[7].

其二，傾向生活化.在新一輪義務教育數學課程改革中，生活化作為數學教育教學理念，或許被數學教育教學專家強調得過分了，變成了時代數學教育教學的優勢理念.這本質上是對編制教科書依靠邏輯途徑的一種矯正，但是，在優勢數學教育理念的強化下，形成了矯枉過正的結果.例如，關于數軸概念，教科書提供的這些生活情境的素材體現得淋漓盡致，學生通過閱讀這些素材，很難實現從本質上理解數軸概念的目標.

對于數學概念，最終必然是精確的語辭表述(當然受到了數學文化規范的限制)；對于數學原理(包括數學運算法則、數學公式、數學定理等)及其推導或論證，最終是使用邏輯三段論式的語辭表述，然而，這些數學本身的要求被數學課程的生活化優勢理念銷蝕了，在編制教科書時，走入了生活化的一端.這種過度生活化的教科書編制必然會產生這樣的結果，將那么一點點數學知識，裹挾在鋪天蓋地的與這個數學知識本質內涵沒有多大關系的生活內容中，學生難以理清這一堆亂麻，從中抽象出所要的本質，形成數學知識.例如，上文引入的教科書提供的關于數軸概念的教學素材，就屬于過度生活化范圍.

從這些生活化素材中，學生在閱讀時，無論如何理解總是難以獲得數軸概念中關于“原點”“正方向”“單位長度”本質內涵的，更談不上整合這“三要素”成為整體，從而理解數軸概念本身了.如果數學教師對于教科書提供的教學素材亦步亦趨之，那么無論如何進行教學設計及其課堂實施活動，都難以取得較好的教學效果.

其三，文字量限制.一方面，盡管現代數學教科書使用的紙張越來越多，版權頁越來越大，但是，由于過度生活化的文字量擠進教科書，將發生數學知識點的線索淹沒在泛濫的生活化的文字洪流中，如此，并沒有實現增加文字量所希望達到的教育教學效果.另一方面，在某些學生發生具有比較疑難的數學知識點認識時，例如，數軸概念，勾股定理等，教科書編者很難找到發生認識的認知出發點，并從這個認知出發點出發，啟發鼓勵學生不斷探究活動，得到知識點的結論[8].

總的來說，編制數學教科書是一項體系化、并受到多元制約的活動，涉及方方面面，既有時代優勢數學教育教學理念的指導性因素；也有教科書編者對于數學知識的個性化理解，發現學生發生具體數學知識認識心理過程的因素；還有數學公庫中關于具體數學知識表述的因素；教科書的編者是否具有足夠數學課堂教學經驗的因素；文字量的絕對限制的因素等.但是，不變的規律是，進入數學教科書中的教材素材，確實制約著一般數學教師的施教，制約著普通學生的學習.這是教科書的編者必須深度思考的一項重要問題，必須肩負起的一項重要任務[9].

3 對教師施教與學生學習影響及其處置

教科書由于很難處理少數具有統攝性的數學知識點的素材呈現問題，常常出現在數學學習比較好的學生身上，其原因可能是，數學學習一般的學生沒有教師的幫助往往難于獨立性閱讀.但是，數學學習好的學生通過閱讀教科書內容，要求自己馬上理解載入教科書上的具體數學知識(簡稱為“直接理解教科書”)，因為這批學生長期的數學學習所形成的經驗是，數學對于他們來說，總是容易理解的，理解數學知識所要求的直覺能力也比較容易獲得，例如，義務教育小學階段的大部分數學知識就是如此.

然而，隨著年級的不斷升高，進入學習高層次(例如，從算術過渡到代數)數學知識階段，這種在小學階段“直接理解教科書”式的閱讀活動難以為繼，閱讀數學教科書就日益艱難起來，例如，學生在閱讀證明勾股定理的“勾股圓方圖”時，會感到理解這種精巧的構造圖形的由來無能為力，思維會卡在“這個“勾股圓方圖”是如何構造出來的?”的問題上，此時，對于他們來說，獨立學習數學知識往往就會止于此了.于是，學生為了通過閱讀理解與掌握數學知識，就會萌生出痛苦的厭惡情緒.

只要稍作思考，對于教科書所載的少數數學知識點(例如，勾股定理或數軸概念)，在數學發展史上，曾經是被幾十個乃至上百個優秀數學家經由相當長(數年乃至于幾百年)時間的接力思考活動，從而意識到問題進而提出問題、分析問題、解決問題，得到了的所表述的數學知識.現在卻要求學習這個具體數學知識點的學生，在幾十分鐘、最長幾個小時內，像過去的數學家那樣地發生認識，要想不經歷學習的痛苦，就輕易地理解這個具體數學知識點，那確實是一件絕難的事情[10].在這種情況下，希望很快地通過閱讀迅速理解具體數學知識點的學生，就不得不忍受閱讀數學知識的心理痛苦，才能獲得超越.

數學學習好的學生，在通過閱讀具體的數學知識發生認識過程中，關鍵性數學觀念的萌生常常需要展開卓越的思維活動，思維卓越性是與理解這個具體數學點的困難成正比的，就是說，越是發生困難的數學知識點認識，越需要卓越的數學思維的介入[11].沒有多少學習數學經驗的成績優異的學生，可能在心理上不愿意承認這個世界上存在著超越他們自己的數學天才.

但是，在閱讀教科書時，學生可能突然發現一些數學知識完全超出了他們理解與掌握的能力(例如，經由閱讀“勾股圓方圖”而推測其心理構造的來源)，這種心理上的落差，阻礙了學生學習數學知識活動過程，幾經掙扎，懷疑自己的數學天賦，磨滅了學習數學的興趣，于是，不愿意花時間進行鉆研，不愿意嘗試自己發現具體數學知識的心理活動過程，等等.

在這種情況下，對于少數統攝性數學知識點，就會產生不利于學生獨立地通過閱讀教科書展開數學學習.因此，作為數學教師，在教學設計及其課堂實施中必須做出艱苦努力，否則學生就只能通過記誦的方法進行學習活動，而這種方式很難提高數學能力.在教師選擇使用教科書提供的教學素材進行教學設計及其課堂實施時，其合適行為應該是，引用新課程實施理念的一句話說，“不能教教科書，而應該使用教科書教”.

要實現“用教材教，而不是教教材”的目的，數學教師必須十分重視分析即將施教的那個具體數學知識點，發現其獨特的特點，以此判斷教科書所提供的教學素材是否合適，這又分為三種不同情況，如果是合適的，按照教科書提供的教學素材進行教學活動就行了；如果很不合適(例如，教科書提供的關于數軸概念的教學素材)，就有必要拋開教科書的內容，另起爐灶，自己選擇教學素材進入教學設計及其課堂實施環節；如果部分合適而部分不合適，教師可以視其具體情況，進行酌情處理.

關于“勾股定理”與“數軸概念”的具體教學設計及其課堂實施的實踐過程，筆者都是直接否定了教科書所提供的教學素材，采用另起爐灶的途徑進行了相應地處理[9].

4 充分發揮教科書素材教學價值的努力

從編制教科書所羅列的幾項艱難處境中，能夠認識到，期待或追求編制出至臻完善的數學教學素材的教科書，從實踐上來說，幾乎是難以實現的目標.因此，這就需要教科書的編者與一線施教的數學教師，互通信息，互相靠近，各自吸收對方的訴求.筆者從關于具有統攝性疑難的數學知識點的教學活動與作為編制教科書活動實踐中，清晰地認識到，教科書編者與廣大一線教師之間的親密接近，不僅能夠提高一線教師處理教科書素材的能力與水平，而且有助于完善教科書編者選擇素材，進入教科書的結果.

教科書編者與一線數學教師接近產生的有利結果在于，教科書編者通過一線教師的教學經驗，理解學生發生具體知識認識的心理活動過程；一線教師通過教科書的編者理解那些極少數的數學知識點難以選擇合適的素材呈現于教科書中，從而促使一線教師將自己主要的注意力聚焦于教科書編者難以通過文字有效處理的知識點上，如此，在教學設計及其課堂實施中，錨定這些疑難數學知識點，展開試驗與研究，力爭突破教學中的疑難.一線教師在教學實踐中的研究成果，反過來能夠促使教科書編者從中吸收教益，得到尋獲完善教科書素材的活水源頭[12].

教科書的編者與廣大一線數學教師都要在以下幾個方面不懈努力：其一，理解知識結構組成要素中的各項聯系線索.例如，數軸概念這個知識點的“合適根據地”[13]是全體有理數，而不是溫度計、在筆直的馬路上植樹等具體實物情境所能承載的.其二，比照前述分析的結論，推測學生發生具體知識認識時心理上的起承轉合的環節，判斷利用“合適根據地”接納新知識點的具體途徑.例如，在一條直線上表示所有有理數次第實現的心理環節在于，首先構建“原點”，其次構造“正方向”，最后構造“單位長度”[14].其三，找到合適的素材向學生呈現上述兩項分析的結果，以便于學生從比較獨立地閱讀中發生具體數學知識的認識.

如此，關于某個具有統攝性的疑難知識點，既有利于教科書的編者選擇與完善教學素材，又有利于一線數學教師在教學設計及其課堂實施中處理具體的數學知識點，從而形成正向合力，最大限度地提升進入教科書教學素材的有效性，從而發揮教科書的教學價值.

5 結束語

關于某個數學知識點，教科書選擇載入的教學素材，肯定是為方便數學教師施教與學生學習服務的.但是，在編制數學教科書時，由于受到幾方面的限制，如進入數學知識公庫的數學知識依據邏輯表述；體現時代數學教育教學理念，如強調生活化的數學情境等；教科書編制中的文字量的要求；編制專家親身數學教學設計及其課堂實施的實踐經驗等[15].導致載入數學教科書中的關于少數統攝性的疑難知識點的教學素材，不方便于教師施教，不利于學生通過比較獨立閱讀方式進行學習的結果.教科書的編者與數學教師，必須進行有效合作，做出合適處理，才能提高數學教學有效性，從而保質保量地實現數學課程目標.