宏觀交通流模型的自適應迭代學習辨識策略

仇江辰，閆 飛，田建艷

(太原理工大學 電氣與動力工程學院，太原 030024)

城市交通系統作為現代生活的重要組成部分，其運行狀況直接影響居民的生活水平，采用先進的信號控制策略是緩解交通擁堵最有效的解決方法[1]，我國大部分城市采用基于數學模型的SCOOT自適應控制系統[2]，而許多智能控制理論也相繼應用于交通領域，如文獻[3]利用線性二次型調節器實現路網的邊界反饋控制；文獻[4-5]利用迭代學習控制策略實現路網的流量均衡控制；文獻[6]針對大規模路網提出具有分層結構的模型預測控制策略；文獻[7]將顯示模型預測控制方法應用于交通信號控制領域。目前，常見的信號控制策略大多基于交通流模型進行配時，其控制效果取決于模型的質量和準確性。

交通信號控制系統的模型大多為基于流體力學理論的宏觀模型，其主要圍繞交通流量、密度和車輛速度之間的數學關系，用連續變量來構造交通流中的車輛綜合行為[8]。為了提高控制策略的有效性，我們需要建立一個能準確描述城市路網交通流穩態和動態特性的數學模型，并對模型中的相關參數進行辨識。目前，已有不少學者對交通流模型的參數辨識問題展開研究，如文獻[9]采用離散顯式有限差分方程對高速公路一階宏觀交通流模型的參數進行估計；考慮到交通流系統具有很大的隨機性，文獻[10]利用Monte Carlo方法對宏觀基本圖中的隨機變量進行一般化處理；文獻[11]分別利用Nelder-Mead算法、隨機遺傳算法、隨機交叉熵算法對特定高速公路的Metanet模型進行參數估計；文獻[12-13]結合期望最大化算法、隨機逼近算法和在線實時自估計算法對路網交叉口的轉向比、飽和流量及自由流速等參數進行辨識；文獻[14]利用馬爾科夫鏈對交叉口不同狀態下的交通流進行控制，采用期望最大化算法實現模型的參數估計。

上述有關參數辨識的研究成果，大多忽略了交通流系統的重復性特征，即在不同天的同一時刻具有相似的交通流狀態[15]。在控制理論研究領域中，通常采用迭代學習控制解決具有重復特性的受控系統。迭代學習辨識是迭代學習控制理論的重要組成部分之一，其目的在于解決有限時間區間內重復運行系統的參數辨識問題，根據量測獲取的系統輸出，利用迭代學習辨識算法通過不斷地更新模型參數使得系統輸出逼近理想值，實現時變參數的辨識[16]。文獻[17]針對高速公路宏觀交通流模型，提出了一種基于離散化非線性模型的迭代學習辨識策略。但在城市路網交通流方面，尚未見報道。

本文在交通流存儲轉發模型的基礎上，根據“速密流”三者間的車輛動態關系，提出了一種離散化的非線性宏觀交通流模型?？紤]到交通流系統具有很強的時變性和隨機性，且從宏觀角度出發具有明顯的周期性。因此，設計了一種自適應迭代學習辨識策略，通過在有限時間區間內，辨識出交通流模型的時變參數，進一步提高城市路網交通信號控制系統的控制效果。

1 非線性宏觀交通流模型

1.1 模型建立

本文采用的交通流模型是由Gazis等提出的“存儲轉發”模型，該模型利用采樣周期內的平均車流量代替實際路段的車流量，避免了因信號燈轉化導致的計算量過大問題。但由于城市路網交通流具有很強的非線性特征，采用存儲轉發模型無法描述其復雜的隨機動態特性，因此引入文獻[18]提出的排隊車輛動態到達方程。將存儲轉發模型與排隊車輛動態模型相結合，提出了一種非線性宏觀交通流模型，具體建模過程如下：

假設城市路網交叉口間的車輛運行情況如圖1所示，根據路網車輛數守恒原則，路段I0,1在第k個采樣時刻的車輛數xI0,1(k)的空間及時間離散化模型可用下式描述：

(1)

圖1 宏觀交通流模型與相位圖Fig.1 Macroscopic traffic flow model and phase diagram

(2)

式中：II0代表駛入交叉口I0的所有支路段集合；PI0代表交叉口I0的相位方案集合；tLI0,i,I0,1代表車輛由上游路段LI0,i經交叉口I0駛入路段I0,1的轉向比；sL0,i代表駛入交叉口I0的上游各路段車輛飽和流率，pcu/h；gI0,j(k)代表交叉口I0的各相位綠燈時長，s；TI0代表交叉口I0的信號周期時長，s；ΔT代表采樣周期時長，s.

(3)

式中：OI1代表駛離交叉口I1的所有支路段集合；PI1代表交叉口I1的相位方案集合；tI0,1,LI1,j代表車輛由上游路段I0,1經交叉口I1駛入LI1,i各路段的轉向比；sI0,1代表路段I0,1的車輛飽和流率，pcu/h；gI1,j(k)代表交叉口I1的各相位綠燈時長，s；TI1代表交叉口I1的信號周期時長，s.

城市路網宏觀交通流模型的非線性動態特征，可通過交通流密度、速度及流量間的關系式進行表達，路段I0,1在第k個采樣時刻的排隊隊列車輛數yI0,1(k)的空間及時間離散化模型可用下式描述：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

從流體力學角度考慮，速度與密度間還存在著進一步的相互關系，當道路車輛增多，車流密度增大時，駕駛員被迫降速；而車流密度由大變小時，車速又會增加。因此，車輛從路段I0,1上游到路段I0,1排隊隊列末端的平均速度vI0,1(k)取決于其對應路段的密度值，具體的速密關系式如下：

(9)

(10)

(11)

整理式(1)-式(5)和式(11)可得，在第k個采樣時刻路段I0,1的累積車輛數xI0,1(k)和動態排隊車輛數yI0,1(k)具有如下關系：

(12)

(13)

由于

(14)

(15)

定義

(16)

根據式(16)可將式(12)和式(13)重新寫為狀態方程：

xI0,1(k+1)=xI0,1(k)+AI0,1uI0,1(k)+dI0,1(k) .

(17)

yI0,1(k+1)=yI0,1(k)+f(xI0,1(k),yI0,1(k),
θI0,1(k))+BI0,1uI0,1(k) .

(18)

1.2 模型的狀態空間表達

根據以上描述，可將任意拓撲結構和規模大小的城市路網，列寫為狀態空間方程[式(17)、式(18)]：

(19)

式中：n代表整個路網的路段總數；x(k)=[x1(k),x2(k),…,xn(k)]T為狀態向量，xi(k)代表在第k個采樣時刻路網中各路段的車輛數；y(k)=[y1(k),y2(k),…,yn(k)]T為輸出向量，yi(k)代表在第k個采樣時刻路網中各路段的排隊車輛數；u(k)=[u1(k),u2(k),…,un(k)]T為控制向量，ui(k)代表在第k個采樣時刻路網中各路段的相位綠燈時長；d(k)=[d1(k),d2(k),…,dn(k)]T為狀態擾動向量，將路網在第k個采樣時刻受到的外部擾動因素用車輛數形式表達，具體指：1) 交通事故，因偶發性交通事故導致某路段的通行能力在短時間內急劇下降；2) 亂穿馬路，因行人或非機動車亂穿馬路導致路段內車輛產生非正常的減速行為，降低路網的通行能力；3) 停車場出入，因商場、住宅小區和停車場等區域缺少車輛信息檢測裝置，導致車流量信息不充分，對路網造成額外的負載；狀態矩陣A和傳遞矩陣B為定常矩陣，由路網中各交叉口的相位方案、周期時長、采樣時長、飽和流率及轉向率等因素決定。

2 自適應迭代學習辨識策略及收斂性分析

2.1 辨識器設計

為了提高迭代學習辨識算法的抗干擾性和收斂速度，本文將去偽控制概念引入其中，提出一種自適應迭代學習辨識算法，其結構示意如圖2所示。

圖2 自適應迭代學習辨識結構示意圖Fig.2 Structure chart of adaptive ILI

去偽控制是一種數據驅動類型算法，利用當前迭代批次的實時輸入輸出數據和上一批次的歷史數據對迭代學習律的增益進行適當調整。

為了便于自適應迭代學習的收斂性證明，本文做如下定義：

定義‖·‖為1范數，即對于矩陣Am×n而言，均滿足如下關系：

其中，ai,j代表矩陣Am×n的任意元素。

定義向量θn(k)的λ范數為：

其中，λ>0，α>1.

定義第n次迭代學習辨識的系統輸出誤差en(k)=yd(k)-yn(k)，第n次迭代學習辨識的狀態誤差Δxn(k)=xd(k)-xn(k)，第n次迭代學習辨識的參數誤差Δθn(k)=θd(k)-θn(k).

定義向量值函數f(·,·,·)的偏導數為：

考慮到交通運行的實際情況，θn(k)應滿足一定的約束條件，即θn(k)∈[θmin(k),θmax(k)]，其中，θmin(k),θmax(k)分別為參數的最小值和最大值，定義sat[θn(k)]為參數θn(k)的飽和函數，即：

因此，為了證明參數在受限條件下，迭代學習辨識算法仍具有收斂性，宏觀交通流模型的時變多參數迭代學習辨識算法構造如下：

θn+1(k)=sat[θn(k)]+ηn(k)en(k+1) .

(20)

為證明受限情況下的收斂性問題，此處還需介紹一個重要引理。

引理1

‖θd(k)-sat[θn(k)]‖≤‖θd(k)
-θn(k)‖ .

(21)

證明過程參見文獻[19].

定義去偽控制在第n次迭代時的虛擬參考為：

(22)

去偽控制的代價函數如下所示：

(23)

式中，w為正常數，用于調整函數的嚴格程度。

控制器的切換條件為：

Jn(k)≤Q.

(24)

式中，Q是通過實驗獲得的先驗值。

定義去偽控制的備選迭代學習律增益集合為：

η={η1,η2,…,ηm} .

(25)

去偽算法通過遍歷所有的學習律增益，計算去偽代價函數，根據最小化原則，在符合條件的增益集合中選擇最小的學習增益作為下一次迭代過程的學習律增益：

ηs={ηi|Jn(ηi)≤0},ηn+1=min(ηs) .

(26)

將上述定義整理可以得到自適應迭代學習辨識算法的數學表達：

θn+1(k)=sat[θn(k)]+ηn(k)en(k+1) ,
en(k)=yd(k)-yn(k) ,
ηs={ηi|Jn(ηi)≤0} ,
ηn+1=min(ηs) .

(27)

2.2 基本假設

假設1 向量值函數f(·,·,·)關于其所有的自變量均滿足全局一致的Lipshitz條件，即：

‖f(xn(k),yn(k),θn(k))-f(xn-1(k),yn-1(k),
θn-1(k))‖≤gfx‖xn(k)-xn-1(k)‖+gfy‖
yn(k)-yn-1(k)‖+gfθ‖θn(k)-θn-1(k)‖ .

(28)

其中，gfx,gfy,gfθ分別為Lipschitz常量。

假設2 當給定路網相位綠燈時長u(k)(k∈[0,K])，且系統初態位于xd(0)時，可獲得量測數據yd(k)(k∈[0,K])，并將其相應的狀態軌跡記為xd(k)(k∈[0,K])，則一定存在一組參數θd(k)(k∈[0,K])滿足下列條件：

(29)

假設3 在迭代過程中系統滿足嚴格重復的初始化條件，即：

xn(0)=xd(0),yn(0)=yd(0)?n.

(30)

其中，xd(0),yd(0)分別代表系統期望狀態和期望軌跡的初始值，n代表系統的迭代次數。

假設4 系統的狀態擾動向量有界且為md，即：

‖dn(k)‖λ≤md.

(31)

假設5 在去偽控制的備選迭代學習律增益集合中，最大值ηmax保證迭代系統穩定，使第二次迭代辨識的誤差范數小于第一次迭代的誤差范數；最小值ηmin滿足迭代學習辨識算法的收斂性條件：

‖e2(k)‖<‖e1(k)‖
‖I-ηmindθ‖<1 .

(32)

假設1中有關向量值函數f(·,·,·)的全局一致性Lipshitz條件可作如下解釋，宏觀交通流模型式(17)和式(18)在整個區間[0,K]內對所有變量均為連續可微的，在實際道路情況下，路段內的車輛數x(k)和排隊車輛數y(k)不能無窮大，會受限于路段本身的承載能力，且區間[0,K]也是有限集合，因此滿足假設1的條件。

假設2為參數可以辨識的合理假設，若不滿足，則該問題不具有研究意義。

假設3是對系統做出的限制，要求系統的狀態初值與期望值保持一致，但在實際情況中，并不要求它嚴格重復，可采用文獻[20]提出的方法進行調整。

假設5是關于去偽控制的收斂性說明，若不滿足則系統的收斂性不能得到保證。具體情況如下：

在首次迭代過程中，系統的輸出誤差非常大，滿足式(23)的學習律增益為ηmax，根據式(27)可知，η2≤ηmax.隨著迭代的不斷進行，系統誤差逐步降低：

(33)

根據式(23)可得：

(34)

2.3 收斂性證明

根據路網的狀態空間方程式(19)和參數的受限條件定義，可將辨識模型描述為：

(35)

其中，εn(k)代表系統的輸出量測噪聲。

定理1 對于滿足假設1-5且其輸出量測噪聲‖εn(k)‖λ≤mε的宏觀交通流模型式(19)，采用自適應迭代學習辨識算法式(27)，若存在增益矩陣η使得式‖I-ηdθ‖<1成立，則系統輸出誤差e(k)在區間[0,K]內收斂于一個界內，即：

(36)

當系統輸出量測噪聲mε→0時，有：

(37)

證明

根據系統參數誤差定義和迭代學習辨識算法式(27)可得

Δθn+1(k)=θd(k)-θn+1(k)=θd(k)-
sat[θn(k)]-ηn(k)en(k+1) .

(38)

根據系統誤差定義、假設2和式(35)可得

en(k+1)=yd(k+1)-yn(k+1)=en(k)+dx
Δxn(k)+dyen(k)+dθ(θd(k)-
sat[θn(k)])-εn(k) .

(39)

將上式(38)和式(39)整理可得

Δθn+1(k)=θd(k)-sat[θn(k)]-ηn(k)en(k+1)=
(I-dθηn(k))(θd(k)-sat[θn(k)])-dxηn(k)
Δxn(k)-ηn(k)εn(k)-(1+dy)ηn(k)en(k) .

(40)

對式(40)兩邊同時取范數，并根據引理1可得

‖Δθn+1(k)‖≤‖I-dθηn(k)‖‖θd(k)-
sat[θn(k)]‖+dx‖ηn(k)‖‖Δxn(k)‖+
‖ηn(k)‖‖εn(k)‖+(1+dy)‖ηn(k)‖
‖en(k)‖≤‖I-dθηn(k)‖‖Δθn(k)‖+
dxδη‖Δxn(k)‖+δη‖εn(k)‖+(1+dy)δη
‖en(k)‖≤‖I-dθηn(k)‖‖Δθn(k)‖+δη
‖εn(k)‖+ω1(‖Δxn(k)‖+‖en(k)‖) .

(41)

對系統誤差兩邊同時取范數，并根據假設1和引理1可得

‖en(k)‖=‖yd(k)-yn(k)‖≤‖en(k-1)‖+
gfx‖xd(k-1)-xn(k-1)‖+gfy‖yd(k-1)-
yn(k-1)‖+‖εn(k-1)‖+gfe‖θd(k-1)-
sat[θn(k-1)]‖≤(1+gfy)‖en(k-1)‖+gfx
‖Δxn(k-1)‖+gfθ‖Δθn(k-1)‖+
‖εn(k-1)‖ .

(42)

對狀態誤差兩邊同時取范數，并根據假設4可得

‖Δxn(k)‖=‖xd(k)-xn(k)‖≤
‖Δxn(k-1)‖+‖dn(k-1)‖ .

(43)

將上式(42)和式(43)整理可得

(44)

將上式(41)和式(44)整理可得

(45)

(46)

根據假設3可得，‖Δxn(0)‖+‖en(0)‖=0，因此式(46)右邊第二項為零，式(46)右邊第三項可化簡為：

(47)

式(46)右邊第四項可化簡為：

(48)

式(46)右邊第五項可化簡為：

(49)

若存在足夠大的λ，則式(47)、式(48)的值趨向于零，可將上式(46)-式(49)整理為：

(50)

其中，σ=max(‖I-dθηn(k)‖),ω=δηmε.

因此，當σ=‖I-dθη‖<1時，有

(51)

(52)

當系統輸出量測噪聲mε→0時，式(37)成立，證畢。

3 仿真研究

3.1 仿真參數設置

為了進一步驗證基于城市路網非線性宏觀交通流模型的時變多參數迭代學習辨識策略的有效性，本文選取太原市某區域路網(如圖3所示)的部分道路作為仿真研究對象，通過VISSIM和MATLAB軟件進行仿真實驗。

圖3 太原市某區域路網圖Fig.3 A regional road network in Taiyuan City

通過實地調研采集該區域內的道路基本數據及各交叉口的現有信號配時方案，更進一步提高仿真實驗的精確度。路網的道路結構拓撲圖如圖4所示，所研究的區域路網由12個交叉口和25條雙向行車道組成(由于交叉口C、F和D、G間的距離太短，導致其路段多為不可變的進口道，故在本文中不做研究)，各交叉口處的轉向率如表1所示(N，S，W，E分別代表不同方向的進口道)，路網各路段的基本情況均與實際情況相符，路段由進口道、交織區、行車道等3部分組成，各路段的車道數情況如表2所示，每條車道寬約3.5 m.

圖4 路網道路結構拓撲圖Fig.4 Road structure topology of the road network

表1 各交叉口轉向率(左轉∶直行∶右轉)Table 1 Turning ratio at each intersection (left-turn∶straight∶right-turn)

表2 各路段車道數Table 2 Number of lanes in each road

本文的研究對象為5:00-21:00的16 h日交通量，采樣周期為5 min，迭代學習辨識的仿真迭代次數為25次，每次仿真時長16 h.根據城市道路工程設計規范(CJJ 37-2012)可估算出每條單向行駛車道的飽和流量，同時實際路段的飽和流量還會受到道路環境等諸多因素的影響，因此實際的路段飽和流量計算如下：

CD=C·W1·W2·W3·W4.

(53)

式中：CD代表路段的實際飽和流量；C代表不同車速下的理想飽和流量；W1代表自行車影響修正系數，本文機動車道與非機動車道間設有隔離帶，故W1=1；W2代表車道寬度影響修正系數，本文車道寬度為3.5 m，故W2=1；W3代表車道數影響修正系數，2/3/4/7車道的修正系數分別為1.87/2.60/3.20/4.01；W4代表交叉口影響系數，計算如下：

(54)

式中：w0代表交叉口綠信比；l代表交叉口間距；w4最大值為1，x13,x14路段長度為450 m，x2,x4,x5,x8,x9,x12,x15,x23,x24,x25路段長度為600 m，最終計算出各路段的實際飽和流量如表3所示。根據百度智慧交通中的太原市日內15 min交通量均值指數設置路網的16 h仿真流量，具體如圖5所示，其他仿真參數均采用VISSIM的缺省值。

表3 路段實際飽和流量Table 3 Actual saturation flow of each road section

圖5 路網16 h輸入車流量圖Fig.5 The 16h input traffic flow of road network

在VISSIM軟件中，利用人行橫道功能對行人和非機動車亂穿馬路行為進行模擬仿真；參考實際路網情況，在相應路段旁設置不同容量的停車位模擬商場、住宅和停車場出入情況；偶發性交通事故則通過在路段內設置停車位進行模擬。路網內三種擾動的具體參數如表4所示。

表4 三種擾動的具體情況(每小時)Table 4 Specifics of the three perturbations (per hour)

3.2 仿真結果分析

為了驗證自適應迭代學習辨識策略的有效性，本文通過VISSIM和MATLAB軟件獲取交通流模型的待辨識參數，路網的排隊車輛數、各路段的密度熱力圖以及車輛的平均延誤和平均速度等指標進行效果評價，仿真結果如圖6-圖11所示。圖6分別給出不同迭代次數下各路段排隊車輛誤差值的變化情況，可以看出：隨著迭代次數的不斷增加，路網內各路段的排隊車輛誤差值逐漸減小并趨于穩定。圖7(a)反映了路網排隊車輛誤差最大值的整體迭代變化情況，圖7(b)和7(c)分別對迭代過程中部分迭代次數和部分采樣時段的誤差值進行橫向比較，更進一步反映迭代辨識策略的合理性。

非線性宏觀交通流模型的參數辨識結果如圖8所示，此處根據所研究路網的實際情況，分別選取車道數為2/3/4/7的4條路段x7,x11,x21,x22作為參考并給出其對應的參數辨識結果，時變參數分別為阻塞密度ρjam(k)，自由流速度vfree(k)，交通流模型特征參數α(k)、β(k)、τ(k).通過計算可以得到路網各路段的速度密度值，仿真實驗與交通流模型的速密動態變化情況如圖9所示，圖9(a)和9(b)分別繪制了仿真實驗和交通流模型的密度熱力圖，圖9(c)為主干路x7的速密變化情況，可以看出雖然模型值與仿真值有所差異，但整體上符合交通流的真實變化情況。

圖6 不同迭代次數下各路段排隊車輛誤差值的變化情況Fig.6 Changes of the queuing vehicle error value of each road section under different iterations

圖7 路網排隊車輛誤差最大值的變化情況Fig.7 Variation of the maximum value of the road network queuing vehicle error

圖8 非線性宏觀交通流模型的參數辨識結果Fig.8 Parameter identification results of the nonlinear macroscopic traffic flow model

圖9 仿真實驗與交通流模型的速密動態變化情況Fig.9 Dynamic changes of speed and density of the simulation experiment and traffic flow model

為了更進一步說明迭代學習辨識策略的有效性，本文通過采用3種不同的交通信號控制策略對太原市某區域路網進行對比分析，仿真時間為6:00-10:00，其余仿真參數保持不變，控制策略詳情如下。

1) 固定配時：采用該區域路網的實際配時方案。

2) 模型預測控制：根據路網交通流的狀態空間方程式(19)，可將其改寫為非線性交通流模型：

y(k+1)=F(x(k),y(k),u(k)) .

(55)

其中，F(·)代表與f(·)相關的非線性函數，假定預測時域為Np則有：

(56)

其中，符號^代表預測值，模型預測控制策略的優化目標函數為：

(57)

3) 時變參數的模型預測控制：將迭代學習策略辨識得到的時變參數代入到路網狀態空間方程式(19)中，其余設置與方案2相同。

通過仿真獲得3種控制策略下路網的車輛平均延誤、平均車速及最大排隊長度等指標如圖10所示?？梢钥闯觯寒敳蓸又芷跒?:00-7:00和9:00-10:00時，3種控制策略的各項指標均無明顯差異，主要原因是當交通流處于欠飽和狀態時，固定配時方案已經能夠取得較好的控制效果，模型預測控制方法沒有明顯優勢；當采樣周期為7:00-9:00時，采用時變參數的模型預測控制方法效果更佳，路網的車輛最大排隊長度和平均延誤均明顯低于其他兩種方案，路網的車輛平均速度明顯優于其他兩種方案，主要原因是當交通流處于過飽和狀態時，模型預測控制方法能夠根據路網的實際情況進行在線校正，從而提高路網的通行效率，且當模型的參數為時變時，其控制效果更好。圖11的仿真結果為8:00時刻路網的擁堵情況，可以進一步看出，相比于其他兩種控制方案時變參數模型預測控制方案能夠更加有效地解決交通擁堵問題。

圖10 三種控制策略下路網的性能指標Fig.10 Performance index of the road network under three control strategies

圖11 三種控制策略下路網的擁堵情況Fig.11 Congestion of the road network under three control strategies

4 結論

本文針對城市路網交通流具有的隨機性和時變性等特征，提出了一種含有未知時變多參數的非線性宏觀交通流模型，并充分利用交通流系統所具有的重復性特征，設計了一種時變多參數的自適應迭代學習辨識策略，通過嚴格的數學理論推導證明了所提出算法的收斂性。最后，利用VISSIM軟件對太原市某區域路網進行仿真，并通過路網的固定配時方案，模型預測控制方案和基于本文的時變參數模型預測控制方案進行對比實驗。實驗結果表明，基于去偽算法的迭代學習辨識策略能夠在偶發性擾動的作用下有效地估計出非線性模型的時變參數，具有很好的自適應能力和抗干擾能力，為基于模型的信號控制系統提供有力的參數支撐，從而提高路網的通行效率，緩解交通擁堵現象。但本文所提出的交通流模型具有片面性，迭代學習辨識的初態問題仍需考慮，今后將重點展開有關此方面的模型辨識工作。