從《楊輝算法》看南宋區域農業經濟史的兩個側面*

呂變庭 武晨琳

《楊輝算法》是南宋后期楊輝所編撰的一部算學著作集，它由《乘除通變本末》（成書于1274年）《田畝比類乘除捷法》（成書于1275年）和《續古摘奇算法》（成書于1275年）三部分內容構成，因其算題大都源自南宋各地的生產和生活實際，故算題中蘊含著大量區域社會經濟史方面的史料信息?？上?，以往研究者多關注《楊輝算法》本身的數學成就，鮮有留意《楊輝算法》與南宋區域社會經濟發展史之間的關系問題。故本文不揣淺陋，擬結合近年來在讀史過程中所獲之部分心得，拾零成篇，以期推動對這一問題的研究。

一、從《臺州量田圖》看南宋“負山濱?！钡赜虻霓r業經濟開發

南宋孝宗朝之后，采取對墾田者“免稅三年”的政策，甚至通過“止宜實田起稅”［1］4176的措施來抑制民間的“告訐之風”，鼓勵勤勞之民于“閑曠磽確之地，墾成田園”［1］4176，以此保護農民墾荒的積極性。經過一段時間的開墾，出現了“浙間無寸土不耕，田壟之上又種桑種菜”［2］的現象，這說明兩浙路增收的途徑日趨多元化。正是在這種歷史背景下，如何量田計賦就成了南宋政府比較迫切解決的現實問題。

在宋代的兩浙東路諸州中，臺州經濟開發速度較快，因而人多地少的矛盾比較突出。南宋陳耆卿在《嘉定赤城志》中描述臺州的人地關系說：“州負山濱海，沃土少而瘠地多，民生其間，轉側以謀衣食，寸壤以上未有萊而不耕者也?！保?］7389在“負山濱?！钡纳姝h境里，山區開發與海洋開發是臺州農業經濟發展的兩條主要途徑。限于論題所及，本文重點考察臺州的山區農業開發狀況。

臺州多山多水，因地制宜地發展多元農業有其特殊優勢。從行政區劃的角度看，臺州由臨海、黃巖、天臺、仙居、寧海五縣構成，“提封之境”為“東西三百九十里，南北三百九十里”；“四正之境”為“東一百八十里入海，西二百一十三里蒼嶺入處州，南一百三十九里盤山入溫州，北一百四十五里關嶺入紹興府”［3］7288。這是整個臺州農業生產發展的空間，按《筭數書》“一平方里等于3 頃75 畝”［4］計算，這里的州面積約為20927250 畝。

依《嘉定赤城志》的統計數據，當時臺州五縣的土地開發程度，一如下表所示。

表1 南宋時期臺州五縣田、地、山土地開發情況統計表

以上統計數據是南宋臺州地方政府征收賦稅的物質基礎，其可靠性毋庸置疑。因此，《嘉定赤城志·版籍門》敘錄云：

按：紹興十八年（1148年）李侍郎椿年建行經界，俾編戶實書其產，依土風水色，認兩稅，履畝授砧基，貳藏之官，于是州縣無隱田。余聞長老言，李健而明，吏不得弄毛發，以故得事集，集后無敢議者。今七十有五載，猾吏豪民，相倚仗為蠹，賦役龐亂，遂有舉行前說者焉。往歲寧海、黃巖嘗行之矣，臨海、仙居則方行而未備也。［3］7389

這段記載表明臺州一地曾經在南宋寧宗嘉定十五年（1222年）重新施行經界［5］，其主要成果就是編訂了《臺州量田圖》。據考，與李椿年所行經界的內容相比，這次臺州經界則在原來分五個等級的基礎上，又增加了新圍田、海涂田、生熟山、生熟地等名目，目的在于增加賦額［6］。換言之，《嘉定赤城志》所載田、地、山面積實際上都是賦稅面積。所以有論者云，南宋“國狹用廣，賦斂多立名色”［7］71，而“李椿年奏行經界法，履畝授號，尺土寸壤皆輸于官（即繳納賦稅），當時有新圍田、新開田、生熟地、生熟山等名色。故邑之山陬海灘無有萊而不耕者”［7］71。這表明南宋時期臺州山地的開墾已經到了極限。然而，即使如此，也仍然無法改變臺州耕地嚴重匱乏的生存局面。如果我們把當時的戶數與田畝數進行比較，那么，臺州每戶平均擁有耕地才僅僅10.01 畝。其中寧?？h每戶平均擁有耕地10.86畝，臨?？h每戶平均擁有耕地9.03 畝，黃巖縣每戶平均擁有耕地13.90 畝，天臺縣每戶平均擁有耕地7.14畝，仙居縣每戶平均擁有耕地9.12畝［8］74。在已知南宋各地的統計數據中，臺州每戶平均擁有耕地數量最低。按照梁庚堯先生的說法：“每戶只有20 畝的土地已嫌過少，12.5 畝自然更感不足。其他地區缺乏可資比較的資料，但從南宋若干州縣每戶平均所能擁有的耕地數量看來，至少可以說明此一數量不足以供一家生活之需?！保?］73不過，前揭臺州所屬各縣每戶平均擁有的耕地數量，僅僅是一個宏觀數據，至于每塊耕地的具體情況，一般史書所載均不詳。好在《楊輝算法》以算題形式為我們保存了當時臺州地籍的一些原始資料，而這些原始資料的史學價值則往往被學界同仁所忽視。

考《楊輝算法》有多處引用南宋《臺州量田圖》的例題，茲轉錄如下：

臺州量田圖，有牛角田，用弧矢田法。［9］1078臺州黃巖縣圍量田圖，有梭田樣，即二圭田相并，今立小題驗之。［9］1080

臺州量田圖，有曲尺田，內曲十二步，外曲二十六步，兩頭各廣七步，問田幾何？答曰：一百三十三步（約為0.55 宋畝）。［9］1082

臺州量田圖，有箭筈田，兩畔各長八步，中長四步，闊十二步，問田幾何？答曰：七十二步（約為0.3 宋畝）。［9］1083

臺州量田圖，有箭翎田，中長八步，東西兩畔各長四步，闊一十二步，問田幾何？答曰：七十二步。［9］1083

在上述例題中，出現了兩類“田圖”，即《臺州量田圖》與《臺州黃巖縣圍量田圖》。由《嘉定赤城志·版籍門一》陳耆卿按語知，臺州在嘉定十五年重新施行經界法時，不是五縣同時鋪開，而是有步驟地循序漸進，先黃巖、寧海兩縣，次臨?？h和仙居縣。所以楊輝在《田畝比類乘除捷法》卷上所引《臺州黃巖縣圍量田圖》應是臺州五縣中最先完成的“量田圖”，至于楊輝為何沒有引用其他四縣的量田圖，可能的解釋是楊輝曾在臺州擔任過負責地籍的官職。對此，有學者分析說：“楊輝在《田畝比類乘除捷法》卷上曾五次引用臺州（今浙江臨?？h）量田圖，其中一條引作臺州黃巖縣圍量田圖。據此推測，楊輝可能在臺州當過官，甚至可能《田畝比類乘除捷法》一書正是在臺州任上寫成。否則，楊輝何以對臺州文獻如此熟悉，又何以專用臺州量田圖出題而不用他處文獻？”［10］經界法不僅需要一定的算學知識，而且具體工作既繁難又瑣細，沒有人敢保證零差誤。在此條件下，如何減少計算差誤，從而保證田畝丈量結果的客觀、準確，就是當時臺州地方政府面臨的重要課題。而楊輝很可能親臨第一線去指導過臺州各地的經界工作，因為他在《詳解九章算法·自序》中明確提出“僭比類題，以通俗務”［9］951的算學思想。把“比類題”與“俗務”（社會經濟生活實際）聯系起來，這是楊輝對“比類題”性質的深刻說明。當然，也是他長期從事地籍管理實踐工作的科學總結。這樣，我們就容易理解楊輝在《田畝比類乘除捷法》中引用的“臺州量田圖”算題，為什么都是以“比類題”的形式呈現給讀者。

在《田畝比類乘除捷法》卷上最后，一方面為了強化“通俗務”的算學思想，另一方面也為了推廣“梯田法”在“田畝乘除捷法”中的應用，楊輝特別指出：“以后比類一十四題，并借用梯田法?！保?］1081文中所言“一十四題”分別是：簫田、墻田、圭垛、梯垛、腰鼓田、鼓田、三廣田、曲尺田、環田、方箭、圓箭、圭梯垛、箭筈田、箭翎田［9］1081?？肌杜_州量田圖》才僅僅給出了曲尺田、箭筈田和箭翎田三題，其余十一題盡管沒有指明來源，但可以肯定的是，它們作為一種具有普適性的數學模型（即“借用梯田法”）也都是楊輝田畝實踐經驗的提煉。如果承認“一十四題”皆來自江浙一帶的農業生產實際，那么我們就可以通過這些算題對南宋后期整個江浙丘陵地區的農業生產狀況作一粗略估計。

諸多奇形怪狀的農田，廣泛分布在臺州、明州、溫州等丘陵地區，這些農田即成為養活南宋兩浙約1847 萬余人［11］的主要物質載體。與平原地區的大面積農田布局不同，丘陵地區的農田分布不僅零零散散，而且地形復雜，土地貧瘠。在唐代，這里本是“貶謫之地”，進入兩宋以后，隨著北方人口的大量擁入，臺州的人口增長速度較快。據吳松弟研究，北宋崇寧元年（1102年）臺州的人口密度為每平方公里14.4 戶，增加到南宋嘉定十五年的23.9 戶［12］，120年間增長了近1 倍，遂成為一個典型的生齒日繁、人稠地狹的經濟區域。尤其是這里本來可利用的耕地就不多，加之人口增長速度過快，這就迫使人們不得不盡力與山水爭田，諸如臺州出現的海涂田與新圍田便是例證。而在有限的地域內，荒崖浮沙，因勢墾山造田，于是經過人工“層蹬橫削”［13］的各種奇形怪狀的小塊梯田便應運而出了。

除了土地資源比較緊張外，臺州地區的農業生產環境也十分惡劣。南宋淳熙二年（1175年）臺州知州尤袤有詩云：“三日霪霖已渺漫，未晴三日又言干。自來說道天難做，天到臺州分外難?！保?4］淳熙十二年（1185年）臺州知州熊克又有詩云：“低田傍海仰依山，雨即橫流旱即干。時決時潴能自力，轉成沃壤不為難?！保?］7581兩任知州關注同一個現象，表明當時臺州的農業生產環境確實不容樂觀。陳傅良在總結閩浙地區的農業生產經驗時也指出：“閩、浙（指浙江臺、嚴、溫等州的丘陵地區）之土，最是瘠薄，必有鋤耙數番，加以糞溉，方為良田?！保?5］563由此我們反思楊輝偏從《臺州量田圖》里選取算題，其深意恐怕還在于通過例題這種形式來引導人們高度重視臺州的土地利用問題。只可惜，《楊輝算法》沒有具體給出臺州梯田的單位面積產量，但楊輝在《乘除通變本末》中有兩道計算畝產量的例題，或許能給我們某種啟示。其題云：“每畝收粟二石七斗，今共收粟六百四十二石六斗，問元田若干？答曰：二百三十八畝?！保?］1059另一題則云：“二百三十八畝，每畝收粟二石七斗。問共幾何？答曰：六百四十二石六斗?！保?］1059由于這兩道算題沒有明確所指何地，故它們究竟是指平原地區的畝產量還是丘陵山地的畝產量，不得而知。然而，陳傅良在講述閩浙丘陵山地的農業生產狀況時特別指出：“閩、浙上田收米三石，次等二石?！保?5］563文中的“收米”與“收粟”是否同一個概念，其中“收米”是指脫粒還是不脫粒的谷物，學界尚有爭論。在此，我們重點考察臺州人的“食粟米”問題。

南宋初年浙人尚不習慣以粟為食，《宋史·成閔傳》載：“金兵北遁，委棄戈甲、粟米山積，諸軍多仰以給。惟閔軍多浙人，素不食粟，死者甚眾?！保?］11502-11503寧可餓死也不食粟米，可能有些夸張，但浙人至少在南宋初期還不食粟米應當不是虛構。盡管宋太宗端拱初年，針對“江南專種粳稻”［1］4159的單一種植結構，詔令兩浙、福建諸州長吏，“勸民益種諸谷，民乏粟、麥、黍、豆種者，于淮北州郡給之”［1］4159。但終北宋一朝，兩浙尤其是臺州、溫州等沿海地區“雜種”尚未普及。隨著南宋初年大量北方人口遷入臺州、溫州等丘陵地區，原本不宜耕種的荒山曠野，到嘉定年間已經是“寸壤以上未有萊而不耕者”了?？肌都味ǔ喑侵尽肪砣肮戎畬佟敝杏小八凇?，并注云：“粟，有秈、糯二種，江東呼為粢?！保?］7559因粟物的擇地性不強，故人們在臺州丘陵山田廣泛種植麥、粟等旱地農作物，對于維持生計很有必要。故時人有所謂“高田種早，低田種晚，燥處宜麥，濕處宜禾，田硬宜豆，山畬宜粟”［16］之說，學界也有人將此稱為“南宋時期中原漢人生計模式”［17］。臺州丘陵地區的旱地較多，粟的種植面積也較大。因此，《楊輝算法》出現了多道與粟物有關的例題。如“粟二千七百四十六石，給一千一百一十一人。問各幾何？答曰：二石四斗七升一合四勺”［9］1052。又“粟一百五十六石八斗七升，每人支六斗三升。問給幾人？答曰：二百四十九文（人）”［9］1058。再有“粟四百四十七石九斗三升，各支一石八斗九升。問給幾人？答曰：二百三十七人”［9］1070。這些算題所隱含的社會經濟史意義是多方面的，但它們至少告訴我們這樣一個問題，那就是到南宋中后期，臺州人食粟米已經屬于生活常態了。

二、從《正斛法》看南宋官量和民量之出入

《正斛法》是楊輝撰寫的一篇數學論文，其體例與一般的算題不同，故有學者評論：“于南宋時期，商業有所發展，尤其在京城商品交易很頻繁，校正度量單位顯得越來越重要。所以楊輝寫了這一段‘正斛法’。本卷內容之龐雜，由此可見一斑?！保?8］在古代，斛法與賦稅關系密切。前揭《嘉定赤城志》所云各種“皆輸于官”的田產，都需要繳納賦稅，故斛量的重要性不言而喻。而對于宋代的賦稅，《宋史·食貨志》載：

宋制歲賦，其類有五：曰公田之賦，凡田之在官，賦民耕而收其租者是也。曰民田之賦，百姓各得專之者是也。曰城郭之賦，宅稅、地稅之類是也。曰丁口之賦，百姓歲輸身丁錢米是也。曰雜變之賦，牛革、蠶鹽之類，隨其所出，變而輸之是也。歲賦之物，其類有四：曰谷，曰帛，曰金、鐵，曰物產是也。谷之品七：一曰粟，二曰稻，三曰麥，四曰黍，五曰穄，六曰菽，七曰雜子。［1］4202

舊諸州收稅畢，符屬縣追吏會鈔，縣吏厚斂里胥以賂州之吏，里胥復率于民，民甚苦之。建炎四年，乃下詔禁止。令諸州受租籍不得稱分、毫、合、龠、銖、厘、絲、忽，錢必成文，絹帛成尺，粟成升，絲綿成兩，薪蒿成束，金銀成錢。［1］4203

凡歲賦，谷以石計，錢以緡計，帛以匹計，金銀、絲綿以兩計，藁秸、薪蒸以圍計，他物各以其數計。［1］4205

考楊輝《正斛法》為其《續古摘奇算法》中所關注的一個問題，系有感于《夏侯陽算經》“倉曹”題而發。他在引述了《夏侯陽算經》“言斛法不同”的內容后，無不為南宋的斛法狀況深感擔憂。他說：“輝伏睹京城見用官斗號杭州百合，浙郡一體行用。未較積尺積寸者，蓋斗勢上闊下狹，維板凸突，又有提梁，難于取用。況栲栳藤斗,循習為之。今將官升與市尺較證，少補日用萬一?！保?］1103“浙郡”是南宋國都所在，連這里的“官斗”都失之于“較積尺積寸”，更何況其他州郡。事實上，自紹興以后，南宋的量器已經弊端叢生，斛式非?；靵y。據郭正忠考證，宋人常用的加斛和省斛至少在16 種以上，而常用的加斗和省斗則在20 種以上［19］。故時人馬光祖深感其病弊嚴重，曾言：“苗倉受輸之斛，自紹興年間朝廷發下文思院式樣，之后，歲久更換不常。州府不曾仔細契勘，聽其添新換舊，創造一等新斛。所謂新斛者，多用碎板合成，厚薄不等。其口，或敞或撮；其制，或高或低；分寸差殊，升斗贏縮。官員每早入，倉斗級謬為呈斛，詭稱公當，其實不然。瞬息之間，納米叢雜，心機手法，捷若鬼神。病弊萬端，不可枚數?！保?0］官斗如此，民斗則更糟?！吧藤Z細民私置秤、斗，州縣雖有著令，然私相轉用，習以為常，至有百里之間，輕重多寡不同?！保?1］盡管真德秀、黃震等也曾力圖扭轉時弊，甚至真氏還做出了“索毀太平州私創之大斛”［1］12960的大膽舉措，可惜大局已定，勢難挽回。與真德秀、黃震等不同，楊輝針對南宋晚期的斛式亂象，站在數學的精確化角度，并根據南宋各地的斛量特點，對升、斗、石量器的形制，設計了一套標準斛式。

每方三寸謂四維，各三寸，高三寸，積二十七寸，受粟一勝（即升）。

每方五寸，深五寸四分，積一百三十五寸，受粟五勝（即升）。

每方一尺，深二寸七分，積二百七十寸，受粟一斗。

每方一尺，深一尺三寸五分，受粟五斗。

每方一尺，深二尺七寸，受粟一石。［9］1103

楊輝以上設計的5 種斛式，分一升、五升、一斗、五斗、一石五種類型。至于升、斗、石之間的進位關系，《葦航紀談》載：“韓彥古時為戶曹尚書，孝宗皇帝問曰：‘十石米有多寡？’彥古對曰：‘萬合、千升、百斗、廿斛?！旆Q旨?！保?2］即20 斛等于10 石（2 斛等于1 石），100 斗等于20 斛（5 斗等于1 斛），1000 升等于100 斗（10 升等于1 斗），10000 合等于1000 升（10 合等于1 升）。由此可見，楊輝所倡導的量器取消了“升”斛、“石”斛這些容量單位，而直接采用“五斗”斛制。誠如前述，既然南宋政府在征收賦稅時以石為法定單位，而且國家規定收稅要用省斛即文思院斛，那么，各地農民所分擔的賦稅應當是一致的。事實上，各地使用的市斛（亦稱加斛）都比省斛要大，也就是說各地農民所承擔的實際賦稅數額都會多于國家規定的賦稅數額，這也是南宋增加稅額的一種重要方式［23］。對此，南宋后期的另外一位數學家秦九韶在其所著《數書九章》一書中講得比較具體。其“課糴貴賤”算題云：

問差人五路和糴，據甲浙西平江府石價三十五貫文，一百三十五合，至鎮江水腳錢，每石九百文。安吉州石價二十九貫五百文，一百一十合，至鎮江水腳錢，每石一貫二百文。江西隆興府石價二十八貫一百文，一百一十五合，至建康水腳錢，每石一貫七百文。吉州石價二十五貫八百五十文，一百二十合，至建康水腳錢，每石二貫九百文。湖廣潭州石價二十七貫三百文，一百一十八合，至鄂州水腳錢，每石二貫一百文?！涿?，并用文思院斛，交量細數，欲皆以官斛計石錢，相比貴賤幾何（文思院斛，每斗八十三合）？［24］407-408

黃榦《復吳勝之湖北運判四》又說：

本軍市井有三樣斛：有文思院斛，此官省斛也；有黃池斛，客人所常用也；有打買斛，軍學所置，客旅交易必請此斛，官收斛錢以養士也。［25］

關于文思院斛、斗的形制，《續宣城志》載嘉定九年（1216年）三月寧國府所造文思院斛、斗云：“今措置，每斛各以尺為準。斛外自口至墻底，底高一尺二寸七分，斛內自口至底面，深一尺二寸八分，而斗外自口至墻底三寸九分，斗內自口至底面深三寸三分，明里口方九寸，明里底面方五寸六分?！保?6］1023由于文思院斛為圓柱體，其容積等于圓周率（或徽率）乘半徑平方再乘高，即1104.8 立方寸。從上述給出的數據看，文思院斗為梯形截面體，其容積為179 立方寸。按照宋朝的量制，5 斗等于1 斛，結果通過前面文思院斛所換算出來的1 斗容積，與文思院斗的容積不等值。對此，郭正忠、丘光明等學者都曾作過頗有深度的探討①，不贅。細心的人們可能會留意，秦九韶在“課糴貴賤”算題中所講的“文思院斛，每斗八十三合”，同楊輝在“正斛法”中所講的“官斗（杭州百合）”不是指同一種谷物，且“斛”的含義也不一樣。前者是指稻米的重量，后者則是指粟堆的容積。由于兩種谷物的顆粒大小有別，所以在同樣的斛斗量器中，其重量肯定是不相同的?！毒耪滤阈g·商功章》云：“程粟一斛，積二尺七寸。其米一斛，積一尺六寸五分寸之一。其菽、荅、麻、麥一斛，皆二尺四寸十分寸之三?！保?7］175劉徽注：“積二尺七寸者，謂方一尺，深二尺七寸，凡積二千七百寸?！保?7］175同理，“一尺六寸五分寸之一者，謂積一千六百二十寸”，“二尺四寸十分寸之三者，謂積二千四百三十寸”，“此為以精粗為率，而不等其概也”［27］175。那么，“積二千七百寸”到底是指面積還是容積？郭書春認為：“‘積二千七百寸’并不是2 尺37 寸3，而是2 尺3七尺2寸=2700 寸2?！保?8］與之相左，肖作政等則認為：“粟1 石的體積是2.7 立方尺?！保?9］本文認同體積說。顯然，楊輝所設計的量斛本自《九章算術》。同理，“每方三寸，高三寸，積二十七寸，受粟一升”，即量1 升粟，其容積為27 立方寸；“每方五寸，深五寸四分，積一百三十五寸，受粟五升”，即量5 升粟，其容積為135 立方寸；“每方一尺，深二寸七分，積二百七十寸，受粟一斗”，即量1 斗粟，其容積為270 立方寸；“每方一尺，深一尺三寸五分，受粟五斗”，即量5 斗粟，其容積為1350 立方寸；“每方一尺，深二尺七寸，受粟一石”，即量一石粟，其容積為2700 立方寸。從楊輝“少補日用萬一”的設計理念看，以上5 種量器主要是為了方便民間交易之用。這里需要注意一個問題，在《九章算術》的題例里，“程粟”與“其米”分開來計算容積，“其米一斛，積一尺六寸五分寸之一”，即量1 斛米，其容積為1650 立方寸。也就是說，米的容積為粟容積的一又九分之二。這樣容積之差應當是由糧食加工過程中的損耗所致。于是，量器就出現了“足斛”與“省斛”之分別，與之相應，“粟”一般是用來計算糧食的畝產量，而“米”則是一般用來計算口糧。

《楊輝算法》出現的“杭州百合”是指足斛，而《數書九章》出現的“每斗八十三合文思院斛”則是指省斛。實際上，秦九韶在題中已經講得很明確：“其米，并用文思院斛?！睋Q言之，文思院斛主要是用來計算作為口糧性質的谷米。在《楊輝算法》中，也有類似的題例。如“米八百九十石，每石省斛八斗三升，問：為足斛幾何？答曰：七百三十八石七斗”［9］1064。又如“米一百七石，每石增耗三升，問：共幾石？答曰：一百一十石二斗一升”［9］1064。題中“每石省斛八斗三升”是指文思院斛，其“米”不管是粟米還是稻米，應是指加工后的口糧或稅糧。例如，《昌國州圖志》載：“舊志輸納苗米之田，不載以秋稅之數，考之征米……該征二千八百三十一石六斗八升二合二勺，此文思院斛?！保?0］顯然，文思院斛所征之米基本上都是口糧或稅糧。這樣的例證還有很多，不妨再枚舉數例如下。

《寶慶四明志》載：“大要欲糴米谷各二萬斛（文思院斛）。米糴于吳，谷糴于鄞?！保?1］

《蔣侯傳》載：“長孺在武林，聞故老誦說，（南宋淳祐年間）趙忠惠公為臨安尹，會城中見口，日食文思院斛米三千石?！保?2］

《正德華亭縣志》載：“及考縣宰楊瑾所記宋末官民田土稅糧（注：粳米），共該四十二萬二千八百余石，乃宋之文思院斛?！保?3］

《至順鎮江志》載：“宋紹熙迄嘉熙中，……歲入租糧八百五十八石四斗一升二合，俱納糙粳米，舊收一千一百余石，乃用文思院斛?！保?4］

至元代，江南地區仍延續“其輸米者止用宋斗斛”的寬民之制，“蓋以宋一石當今（指元代）七斗故也”［35］2359。從畝產量的“粟”到稅糧之“米”，對應于不同的量器，反映了南宋中央集權統治者相對恤民的一面。這樣的史例在南宋也有，如《宋史》載：南宋人劉宰“更縣（即鎮江府）斗斛如制”［1］12169，把地方行用的市斛改用文思院斛［36］，從而減輕了民眾的負擔，便是一件“利于鄉人”［1］12169的事情。而宋太祖“詔廣南諸州受民租皆用省斗”的初衷，亦正在于此。事實上，南宋政府也一直把文思院斛作為法定量器。誠如南宋時人李道傳所說：“文思院斛斗天下所同，朝廷頒降銅式，付之提舉司?！保?6］1024不過，文思院斛雖然有“腹大口狹，難于作弊”的優點，但在具體執行的過程中，存在的問題也很多。除了像楊輝說的“難以取用”之外，更嚴重的是鑄造各種文思院斛斗需要消耗大量銅鐵。下面是《許國公奏議》中的一段史料，不妨轉引于茲：

隆興府管催秋苗一十九萬一千七百一十石八斗四升九合五勺，每一石以一石六斗為準，正耗義倉等米，并在其內，仍給五斗鐵斛十只，一斗鐵斛十只。

吉州苗鹽米一十六萬石，約收米二十四萬一千六百合，每一石以一石五斗為準，屯田米四萬石，約收米四萬九千六百石，每一石以一石二斗為準，正耗義倉等米，并在其內，仍給五斗鐵斛十六只，二斗鐵斛十六只。

吉州吉水、永豐、太和、萬安、龍泉縣，共受領九萬九千二百二十二石一斗六升，同前，仍各給五斗鐵斛四只，二斗鐵斛四只。

贛州歲催秋苗八萬六千五十七石五斗四升，每一石以一石三斗為準，正耗義倉等米，并在其內，仍給五斗鐵斛八只，三斗鐵斛六只。

袁州歲額催秋苗一十一萬九千四百五石五斗三升五合七勺六抄，每一石以一石五斗為準，正耗義倉等米，并在其內，仍給五斗鐵斛十只。

瑞州歲額催秋苗九萬七千三百五十七石一斗七升四合一勺四抄，每一石以一石六斗為準，正耗義倉等米，并在其內，仍給五斗鐵斛八只，一斗鐵斛六只。

江州歲額催秋苗四萬三千六十九石七斗八升，每一石以一石六斗為準，正耗義倉等米，并在其內，仍給五斗鐵斛六只，一斗鐵斛六只。

江州德安縣米一萬一千七百五十二石一斗七升五合，每一石以一石二斗五升為準，正耗義倉等米，并在其內，仍給五斗鐵斛四只，二斗五升鐵斛四只。

撫州額管實催臨川等五縣苗屯米一十三萬七千二百七十九石四斗九升，每一石以一石四斗五升為準，正耗義倉等米，并在其內，仍給五斗鐵斛十只，四斗五升鐵斛六只。［37］29-30

以上僅僅是南宋“江右”地區的情況，這些數量不等的文思院斛斗無疑會消耗大量熟鐵資源，故各州府逐漸改用木制。前揭楊輝所說的“杭州百合”即為木制，民間甚至還有用“栲栳藤斗”［9］1103作為量具者，而這些“栲栳藤斗”在斛量實踐中很難保證其精確性。因此，楊輝所設計的量器主要就是為了改變這種斛量亂象。

與《許國公奏議》中出現的五斗斛、四斗五升斛、三斗斛、二斗斛、二斗五升斛、一斗斛均為省斛不同，楊輝設計有足斛和省斛（即省量）兩種量器。其“一石斛”為足斛，余則4 種為“省斛”。明代董榖《碧里雜存》“論斛”云：“今官制，五斗為一斛，蓋取其輕而易舉耳，實當古斛之半也?！保?8］此外，《許國公奏議》里的斛均為“官斛”，而楊輝所設計的斛斗則為“民斛”。從“省斛”的角度看，其一石文思院斛的容積少于兩個五斗斛相加之積。按秦九韶《數書九章》“積倉知數”題給出一石文思院斛的容積為250 立方寸（即斛法二尺五寸）［24］388，而楊輝所設計的“一石斛”的容積則為270 立方寸，二者相差20 立方寸。至于《許國公奏議》里的斛為什么缺失“一石斛”，原因可能比較復雜，但有一點卻是肯定的。宋朝創立文思院斛的初衷本是“寬恤之目，以核二稅之中”，“寬恤”的本質雖然是“愛惜民力”［37］29，但在國家得利的前提下，地方政府的利益被減損了。于是，各地州府、縣鄉為了自身的經濟利益，便開始自行制造量器，如吉州斛、潭州斛等。如果說一石文思院斛屬于省量的官斛，那么，南宋各地政府所自造的一石斛就屬于加量的官斛了。這些“加量斛”的容積都大于一石文思院斛，有一石斛容積為130 升者，也有120 升、115 升者等，這還不包括各種形式的“加耗”。所以《許國公奏議》里缺失“一石斛”也就減少了國家和地方政府之間的經濟矛盾，同時也兼顧了雙方之間的經濟利益。楊輝生活在南宋末期，當時市場上的民量情形更加混亂。作為一位有責任心的地方官員，針對不法商人“大斗進，小斗出”的短斤少兩現象，他從維護江浙地區的市場秩序出發，同時考慮到交易雙方各自的切身利益，師法《九章算術》，對“一石斛”及“五斗斛”等量器都進行了實際測算，不論是形制還是容積，既實用又科學。尤其是根據民間糧食交易的客觀需要，楊輝還對“方斛”或“方積”與“圓斛”或“圓積”之間的數量關系進行了換算，從而為不同形制的量斛制造提供了科學依據。

余 論

農田開發和利用的程度在一定意義上標志著一個地區農業生產發展水平的高低。在南宋，臺州的農田開發已經到了極限，其農田利用程度也較高，這一點可以通過當時臺州居民抗擊自然災害的能力體現出來。據《浙江省氣候史料》統計，終南宋一代，臺州及所轄五縣發生旱澇雪等災害總計69 次［39］，其中從淳熙元年（1174年）到淳熙九年（1182年），臺州臨海、天臺、黃巖等縣多年遭受大旱，“饑甚”時甚至出現了“民多流亡”和“剽盜起，臺為甚”［1］1467的現象。但是，卻極少出現如元、明時期“餓死者無數”，清朝“民饑，挖白泥為食”以及同時期建康府、淮民“大饑，人相食”的極端社會后果。在應對災荒方面，除了如黃宜在淳熙二年（1175年）、唐仲友在淳熙七年（1180年）“奏請撥常平義倉賑濟諸縣災民”和國家對受災州縣蠲免稅賦外，家有積余應是一個重要因素。因此，熊克所言“黃巖出谷半丹邱”［3］7581絕非虛象。朱熹《奏巡歷至臺州奉行事件狀》亦云，黃巖縣“從來出谷最多，一州四縣皆所仰給”，“然其田皆系邊山瀕?！?，故“惟水利修則黃巖可無水旱之災，黃巖熟則臺州可無饑饉之苦”［40］。對于南宋時期臺州地區的農業發展，韓茂莉有一段精彩評論：“農作物種類的增新標志著農耕水平的提高，特別是旱地糧食作物小麥的廣泛種植，一方面說明沿海涂田地帶普遍掌握了稻麥兩熟水旱輪作技術，另一方面則意味著靠山高亢旱地得到了更充分的利用?！保?1］

楊輝算題中出現的各類小塊田畝，不愧是臺州先民開發丘陵山地農業的一種創造。與此相應，便是各種農田水利設施的修建。據《嘉定赤城志·山水門二》所載錄的數據統計，當時臺州郡屬縣境內的堰、涇、砩、埭等農田水利設施計有219 處［3］7477-7483。由于進入楊輝題例的各種山間谷地、丘陵梯田，甚至瀕海涂田，都是“履畝授砧（砧基簿，田畝清冊）”的稅田，故畝產量就是稅農重點考慮的問題。對于南宋兩浙地區的畝產量，學界迄今都沒有形成一致觀點。如前所述，臺州“沃土少而瘠地多”是基本事實，《光緒仙臺縣志》也說這里“石田瘠薄，依山臨溪，易為旱澇，而難為豐穰”［42］。在這樣的自然條件之下，順乎天時，再助以人力，畝產二石至三石之間是比較符合實際的。

我們考察楊輝算題所見糧食作物，主要有粟、麥、稻（米）三種。而在記錄南宋臺州諸縣遭受的自然災害史料中，又屢見“五谷無收”“久旱，無麥苗”“旱，無麥禾”“旱，稻麥無收”等語。結合《嘉定赤城志·風土門》“谷之屬”有稻、麥、麻、粟、豆五谷作物，可證當時臺州農業生產已經普遍推廣以稻麥復種為主的一年兩熟制了。就整個南宋農業而言，“南宋時期稻麥復種制和稻稻復種制的加速推廣，這是當時世界上最為驚人的農業變革，開創了人類農耕史上的嶄新紀元”［43］。

宋朝統治者規定以“石”為單位來征收田賦，為了減輕農民的經濟負擔，從宋太祖開始，宋朝就以文思院斛為征收稅糧的官方量器，民間交易則有不同于文思院斛的市井量器。然而，不論官量還是民量，那些貪官污吏和不法商人總是千方百計在量器上動心機，榨取民脂民膏。民量亂，官量更亂。所以南宋許多名臣如朱熹、吳潛等都對部分州府的“加量”斛斗進行整頓，收到了一定成效?？上?，由于南宋的賦稅情形比較復雜，且地方財政與國家財政之間存在著各種各樣的矛盾，特別是“自軍興，計司?；疾唤o，凡郡邑皆以定額窠名予之，加賦增員，悉所不問，由是州縣始困”［44］，遂造成“嚴重的地區地方財政赤字達預算的二倍、三倍，以至四倍、五倍不止”［45］，故量器之亂象，終南宋一朝都沒有得到有效治理。但這絕不等于說，那些貪官污吏和不法商人就可以肆意妄行，魚肉百姓了。楊輝在兩浙地區擔任地方官多年，他關注土地，了解民愿，深知量器與國計民生之利害。與官量的管理體制不同，市井民量多由各地地方官員和商人自行制造，毫厘出入，差別很大。楊輝所設計的量斛有“足斛”和“省斛”兩種，其中“足斛”為一石斛，“省斛”分一升、五升、一斗及五斗4 種類型，既照顧了交易雙方的切身利益，同時又兼顧交易量的大小情形，比較符合南宋社會的市井實際。盡管楊輝所設計的量斛是否行之于市井社會的日常交易，難以確知，但是在當時的歷史條件下，楊輝以數理科學為工具，對南宋市井民量進行大膽改造，從而使當時民間商品交易更趨于公平合理，作為南宋晚期的一名應用數學家，楊輝這種力行實踐的科學精神值得肯定。

注釋

①參見郭正忠：《三至十四世紀中國的權衡度量》，中國社會科學出版社1993年版，第357-380 頁；丘光明：《計量史》，湖南教育出版社2002年版，第444-451 頁。