基于Jacobian+RBF的3-PTT并聯機構末端精確控制方法

陳明方 黃良恩 魏松坡 鄭仕高 陳中平

(1.昆明理工大學機電工程學院，昆明 650500；2.河南平原光電有限公司工程信息部，焦作 454150)

0 引言

并聯機構的末端運動精度影響其應用范圍[1]，為提高運動精度，國內外學者提出了多種策略[2-5]。張俊等[6]提出了以幾何誤差源最優區間制定并聯機構關鍵零部件精度等級及配合公差的精度設計方法。于今等[7]通過參數辨識的方法修正正向運動學，顯著提高了機構的位置精度。李國江等[8]通過多種群協同進化算法補償了并聯機構的位置誤差。董慧芬等[9]基于RBF設計控制器，控制了并聯機構末端位置。劉毅等[10]提出了一種輪式并聯調姿機器人的冗余控制策略，保障了調姿精度。覃志奎[11]提出了一種由機構末端修正位姿修正各關節變量的機構誤差補償的方法。余躍慶等[12]通過改進標準的PSO算法，補償了機構的末端位姿。謝平等[13]利用粒子群算法修正機構的期望軌跡，并基于自適應迭代學習控制算法補償了機構動態誤差。高鵬宇[14]提出基于種群粒子群算法的靜態誤差補償和基于RBF網絡的動態誤差補償，提高了打撈機器人的控制精度。侯雨雷等[15]基于模糊神經網絡建立機構的綜合誤差預估模型，提高機構的運動精度。JIAN等[16]利用激光跟蹤儀測量機構末端執行器，完成了5自由度串聯機構的標定。趙磊等[17]通過全局數值尋優獲取機器人的誤差補償數據，完成了標定和補償。楊強等[18]考慮機構的形位誤差、轉動副間隙建立了機構的誤差模型。MANSOUR等[19]通過測量關節變量向量和參考位置差，完成了并聯機構的標定。張憲民等[20]分析關節間隙對重復定位誤差分布的影響，通過標定的方法提高了機構定位精度。孟慶梅等[21]提出了一種基于模糊神經網絡的誤差參數識別模型和誤差補償方法。

并聯機構機械誤差獲取較為繁瑣和困難，補償模型復雜且模型精度不高。另外隨著機構使用年限增加，機構誤差也會發生不同程度的擴大，補償方法不能滿足要求。為避免上述問題，本文提出一種基于Jacobian和RBF神經網絡相結合的機構誤差補償策略，并通過實測數據進行驗證。

1 并聯機構分析

圖1a為3-PTT并聯機構的模型，結構簡圖如圖1b所示，點o、o1分別為靜平臺、動平臺中心。機構滑塊通過滾珠絲杠驅動，從而形成移動幅P。3個連桿對稱布置，在靜平臺上投影夾角為120°。連桿兩端通過虎克鉸T分別連接動平臺與滑塊，構成PTT支鏈，3條支鏈完全相同。并聯機構相關參數如表1所示。

圖1 3-PTT并聯機構

表1 并聯機構參數

1.1 逆運動學分析

圖2為機構運動學模型，為求解機構逆運動學，分別以點o、o1為原點建立靜、動坐標系。P1A1位于靜坐標系x軸正上方且平行于x軸。

圖2 并聯機構運動學模型

設末端中心點o1在靜坐標系中的坐標為o1=(X,Y,Z)。根據圖2，表示靜坐標系中Ai(i=1,2,3)的坐標，在△oo1Bi(i=1, 2, 3)中，通過封閉三角形矢量法，表示靜坐標系中點Bi(i=1, 2, 3)的坐標，即可得到機構各連桿向量lAiBi(i=1,2,3)。機構動平臺位置約束條件和連桿矢量滿足的等量關系可表示為

(1)

如圖1b所示，記滑塊位置為bi(i=1,2,3)。將表1中的參數代入式(1)并化簡，可得機構逆運動學方程為

(2)

式(2)簡記為bi=f(R,r,L,X,Y,Z)(i=1, 2, 3)。

1.2 正運動學分析

運動學正解是根據滑塊位置，求解末端點o1位置的過程，是逆運動學的反過程。根據式(2)反解出機構運動學正解，并以隱方程表示為

(3)

根據正逆解方程，設計Matlab/GUI界面。任意給定5組末端位置，分別進行正逆解計算，其算例詳見表2。由表2可知，本文的正逆運動學模型正確。

表2 運動學正逆解算例

2 末端誤差補償策略

由于機構幾何誤差、運動副誤差、制造誤差等分析及補償方法復雜，且誤差項難以完全獲得，運動學標定不適用于無法修改運動學參數的場景[22]。由于機構的Jacobian能夠表征機構末端與滑塊位置間的誤差關系，因此本文提出一種基于Jacobian和RBF神經網絡的末端精確控制方法。通過對滑塊位置誤差的控制，補償末端誤差，以提高末端的位置精度。

2.1 Jacobian分析

Jacobian是描述機構輸入、輸出端的速度映射矩陣，在本機構中為表示滑塊速度、末端速度間的映射矩陣。對式(2)進行時間微分，整理后得

(4)

2.2 奇異性分析

當Jacobian行列式為零時，機構將存在奇異性，因此取式(4)的行列式為

(5)

其中

行列式為零的情況分為4種：當R=r時，機構存在約束奇異，由于r

(6)

整理得

(7)

當k1、k2均為零而det(J)的其余項不為零時，可得

(8)

整理得

(9)

因此，當機構末端的運動不滿足式(7)或式(9)時，機構將不存在運動奇異。

根據奇異性分析，機構的Jacobian可以表征滑塊、末端的位置誤差關系。設機構末端和滑塊的位置誤差矢量分別為Δp、Δb，則機構末端誤差與滑塊誤差的關系為

Δb=JΔp

(10)

2.3 基于Jacobian和RBF網絡的補償策略

由于機械誤差的客觀存在，導致機構實際運動學不等于理論運動學。因此，對于給定同一末端位置時，滑塊實際位置與理論位置并不相等。

當以滑塊理論位置Hm(b)驅動機構實體，其末端將完成實際運動Pm(p+Δp)，其中Pm(p)為末端理論位置。為使機構末端到達理論位置Pm(p)，則修正的滑塊位置應為Hm(b-Δb)。由Δb與Δp滿足式(10)，為得出符合實際機構的運動學模型，首先，根據式(10)，通過Δp與Pm(p)獲得機構末端修正位置Pm(p-Δp)。進而Pm(p-Δp)通過理論逆解獲得滑塊修正位置Hm(b-Δb)，具體為

Hm(b-Δb)=f(R,r,L,Pm(p-Δp))

(11)

其次，由于Hm(b-Δb)=Hm(b)-Δb，因此Hm(b-Δb)滿足

Hm(b-Δb)=f(R,r,L,Pm(p))-JΔp

(12)

根據式(12)可知，當等式右邊為末端理論位置Pm(p)時，等式左邊為修正滑塊位置Hm(b-Δb)，即式(12)為Pm(p)到Hm(b-Δb)的映射方程。因此，根據實測值將式(12)中的J變為實際值，對應的末端理論位置Pm(p)變為Pm(pa)，以此得到機構實際逆解為

Hm(b-Δb)=f(R,r,L,Pm(pa))-JaΔp

(13)

式中Ja——實際Jacobian矩陣

Pm(pa)——補償后末端位置

由末端理論位置得到末端修正位置的過程和末端修正位置得到補償后末端位置的過程互為逆過程，具體過程如圖3所示。因此，由式(11)可獲得Hm(b-Δb)，將式(13)寫入控制器，得到機構補償后末端位置，補償后末端位置與理論位置相等或兩者的誤差滿足機構精度要求。

圖3 末端誤差補償策略

由徑向基函數(Radial basis function，RBF)設計的神經網絡為徑向基神經網絡，也稱為RBF神經網絡[23]。RBF神經網絡能逼近任意非線性函數，且無局部最優。本文搭建RBF神經網絡，以Pm(p)和Pm(p-Δp)作為網絡的輸入和輸出進行訓練，使得網絡具有由Pm(p)映射到Pm(p-Δp)的能力，給定Pm(p)后，通過RBF網絡便獲得Pm(p-Δp)?；贘acobian和RBF網絡的末端精確控制模型如圖4所示。

圖4 末端誤差補償模型

2.4 RBF神經網絡建立

根據末端精確控制模型搭建機構末端理論位置(Pm(p)=(Xt,Yt,Zt))到機構末端修正位置(Pm(p-Δp)=(Xr,Yr,Zr))映射的RBF神經網絡，網絡結構如圖5所示。網絡輸入層m=3、輸出層n=3，隱含層為q1。

圖5 RBF神經網絡結構

隱含層選高斯函數作為激活函數，為

(14)

其中x1=(Xt,Yt,Zt)

式中x1——輸入樣本g1——中心向量

ε——帶寬向量

因此第d1個輸入層到隱含層映射為

(15)

隱含層與輸出層連接權值wd1n1計算式為

(16)

式中η——學習速率，取0～1

ytn1——第n1個輸出層期望值

yn1——第n1個輸出層實際值

第n1個輸出層實際值yn1計算式為

(17)

式中θn1——隱含層閾值

首先通過無監督學習的方式確定中心向量和帶寬向量，當中心向量確定后通過有監督學習的方式進行訓練確定權值向量，進一步根據式(17)即可確定網絡輸出。其中，徑向基函數的擴展速度Sp對訓練結果的影響較大，過大時雖擬合平滑，但較多神經元會被隱藏，過小會導致網絡性能不佳。

3 實驗驗證

為獲得驗證本文補償方法的數據集，給定末端中心的運動方程為

(18)

式中r1、C——常數

α——末端運動軌跡弧度

t——末端位置點，初值為1

末端位置測量實驗共計5組，實驗條件如表3所示，各組實驗數據采集過程如圖6所示。

表3 實驗條件

圖6 數據采集過程

3.1 回程誤差補償前后末端位置測定

3.1.1回程誤差測量及補償

對比實驗1以絲杠回程誤差是否補償為單一變量。因此，首先需測量絲杠回程誤差并完成補償，再通過激光跟蹤儀測定回程誤差補償前后機構的末端位置?；爻陶`差通過光柵尺(量程300 mm，精度1 μm)、阿爾泰USB2010型數據采集卡等完成測量，如圖7所示，采集數據見表4。

圖7 回程誤差測量

表4 上位機數據

各支鏈上絲杠回程誤差ej計算式為

(19)

其中

式中ej1、ej2——回程誤差ejq——均值

S1——絲杠正轉時數據長度

S2——滑塊反向過程數據長度

S3——絲杠反轉時數據長度

u——電機正轉圈數，取10

由式(19)求得末端受不同負載時，各支鏈上絲杠回程誤差ej見表5。

表5 絲杠回程誤差

通過軟件補償方法在滑塊反向運動時給定補償量，完成回程誤差補償。將回程誤差補償前、后末端第k次位置，分別記為F1k和F2k(k=1,2，…,7)，滑塊位置分別記為E1k和E2k(k=1,2，…,7)?；爻陶`差補償前、后以滑塊移動固定行程時的重復定位精度驗證補償效果，衡量指標為單位行程下的重復定位誤差，分別記為σ1和σ2。具體求解過程如圖8所示。

圖8 重復定位誤差求解流程圖

根據重復定位誤差求解單位行程下重復定位誤差，計算式為

(20)

K——滑塊行程

求解結果見表6。由表6可知，回程誤差補償后滑塊的重復定位精度更高。

表6 單位行程重復定位誤差

3.1.2數據測量

數據測量方案如圖9所示。R-20 Radian型激光跟蹤儀具有自動跟蹤鎖定靶球的功能，將激光跟蹤儀放置在并聯機構周邊的合適位置并連接上位機(PC機)軟件TrackerClib，獲取靶球的位置坐標。首先，驅動機構至零位，并將激光跟蹤儀的靶球固連在機構末端的中心。其次，在控制系統中分別寫入回程誤差補償前和補償后的機構末端控制程序，通過伺服電機控制機構運動至預定位置。最后，利用激光跟蹤儀連續記錄靶球的位置坐標，在TrackerClib中獲得靶球在激光跟蹤儀坐標系下的位置坐標，即機構末端中心在激光跟蹤儀坐標系中的坐標。根據激光跟蹤儀坐標系與機構靜坐標系的變換矩陣，獲得機構末端中心在靜坐標系中的坐標數據，坐標數據分布如圖10所示。

圖9 末端位置測量

圖10 測量數據均值分布

3.2 末端受不同負載時位置測定

對比實驗2是以末端受不同負載為單一控制變量，即組別3～5。圖11為組別3～5的末端位置測定實驗方案，為降低偶然誤差的影響，實驗重復進行7次測量，并以均值代替實測值。

圖11 不同負載時末端位置測定

根據激光跟蹤儀坐標系與機構靜坐標系間的變換矩陣，獲得機構末端在靜坐標系中的坐標。表7為組別3中部分末端位置點的坐標值，測量結果的均值分布情況如圖12所示。根據實測坐標與理論坐標即可獲得末端軸向(x軸)、徑向(y軸)的位置差。為避免由于機構尺寸(l、hr、hR等)導致豎直方向(z軸)的位置差不準，機構豎直方向的位置差由各測量位置點與初始位置點獲得。

表7 激光跟蹤儀測量值

圖12 測量數據均值分布

3.3 結果分析

根據實測數據獲得末端修正位置，并搭建RBF神經網絡，設定網絡均方誤差為零。以末端理論位置、修正位置分別作為網絡輸入、輸出進行訓練，訓練完成后，實驗1～5網絡徑向基函數的擴展速度Sp為3.8、3.4、3.4、3.6、3.5。

隨機選取160組數據作RBF網絡的訓練集，其余20組作測試集。RBF網絡的MSE曲線如圖13所示，由圖13可知，當訓練達20次后，RBF網絡便有了較好的逼近效果。

圖13 MSE變化曲線

各組實驗中的計算修正位置與訓練所得修正位置之間的偏差如圖14所示。由圖14可知，將RBF訓練的修正位置Pm(p-Δp)替代計算修正位置，輸出精度滿足要求。

圖14 各組實驗RBF網絡訓練效果

由RBF神經網絡訓練的修正位置與理論逆運動學反解出滑塊的修正曲線如圖15所示。

圖15 滑塊修正位置曲線

將滑塊的修正位置代入實際逆解式(13)，得到機構補償后的末端位置。表8為誤差補償前、后部分末端位置點的誤差。補償后末端位置誤差與未補償時的末端位置誤差分布如圖16所示，由圖16可知，誤差補償后的末端位置精度明顯提高。

圖16 誤差曲線

表8 補償前后末端誤差對比

以誤差補償百分比評價末端誤差的補償效果，其計算式為

(21)

其中

式中Ab、Aa——誤差補償前、后平均誤差

e1t、e2t——誤差補償前、補償后末端位置誤差

Pg——末端誤差補償百分比

末端誤差補償百分比如圖17所示。由圖17可知，本文提出的末端誤差補償算法，具有較好的補償效果。各組實驗中末端軸向(x軸)、徑向(y軸)的位置誤差均降低90%以上、豎直方向(z軸)的位置誤差均降低80%以上。圖18為補償后末端運動曲線，與理論曲線吻合度較高。各組實驗結果均證明了本文補償方法的有效性，本文得到的滑塊修正位置可用以控制機構末端的運動，提高了末端位置精度。

圖17 誤差補償百分比

圖18 補償后末端曲線

4 結論

(1)完成了一種3-PTT并聯機器人的運動學分析。

(2)建立了機構的Jacobian，并分析了Jacobian的約束奇異和運動奇異。分析表明機構不存在約束奇異，當機構的運動不滿足式(7)或式(9)時，無運動奇異。

(3)提出了一種基于Jacobian和RBF網絡的末端精確控制策略。分別通過RBF獲取的末端修正位置和Jacobian獲得滑塊的修正位置，得到了一種可模擬機構實際運動的運動學模型。

(4)設置了兩種對比實驗。驗證了本文控制方法的有效性。補償結果表明，各組實驗中末端軸向(x軸)和徑向(y軸)的位置誤差均降低90%以上，豎直方向(z軸)的位置誤差均降低80%以上。